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第九章 平面解析几何章末检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线 和 轴都相切，则该圆的标准方程是
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】考点：圆的标准方程．
分析：设圆心，然后圆心到直线的距离等于半径可解本题．
解答：解：
设圆心为（a，1），由已知得d= =1，∴a=2(舍- )．
故选B．
点评：本小题主要考查圆与直线相切问题．还可以数形结合，观察判定即可．
2．已知抛物线 ： 的焦点 ，准线为 ，点 ，线段 的中点 在 上，则点
到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得 点的坐标，代入抛物线方程，由此求得 ，进而求得点 到直线 的距离.【详解】焦点 为 ，线段 的中点 为 ，将点 代入 得 ，解得 ，点
到直线 的距离为 .
故选：C
3．若直线 与圆 相交于A、B两点，且 (其中O是原点)，则k的值为（ ）
A． B． C．- D．
【答案】A
【分析】
由 得 是等边三角形，从而得 到直线 的距离，然后由点到直线距离公式求解．
【详解】 ，则 是等边三角形，圆半径为1，因此 到直线 的距离为 ，
所以 ，解得 ，
故选：A．
4．已知双曲线 ，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 、 两点， 是坐
标原点．若 ，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设右焦点 则 由对称性知 即
所以 解得 故选C
5．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆 的蒙日圆
方程为 ．若圆 与椭圆 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意先写出椭圆的蒙日圆方程，然后根据条件判断出两圆内切或外切，由此列出方程求解出
结果.
【详解】由题意可知 的蒙日圆方程为 ，
因为圆 与圆 仅有一个公共点，
所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，
所以 或 ，
由此解得 ，
故选：B.
6．已知 为椭圆的焦点且 ，M，N是椭圆上两点，且 ，以 为直径的圆经过
M点，则 的周长为( )
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】D
【分析】根据椭圆定义，结合勾股定理即可求解 ，由焦点三角形的周长公式即可求解.
【详解】由于 为直径的圆经过M点，所以 ，
不妨设 则 ，
由椭圆定义可得
由勾股定理可得 和 ，即 和 ，
解得 ，
故 的周长为 ，
故选：D
7．设抛物线 上一点 到 轴的距离为 ，点 为圆 任一点，则 的最小
值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据抛物线定义结合圆外一点到圆上一点最值问题即可得到答案.
【详解】因为 ，则抛物线焦点坐标为 ，准线方程为 ，
则 ，即 ，
所以 ，则要使其最小，则需 最小，
因为圆 的圆心为 ，半径 ，
所以 .
故选：C.8．双曲线C： 的左、右顶点分别为 ， ，左、右焦点分别为 ， ，过 作直线与双曲线
C的左、右两支分别交于A，B两点.若 ，且 ，则直线 与 的斜率之积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，利用双曲线定义推出相关线段的长，进而在 和 中利用余弦定理，求出
以及 ，继而求得 ，再结合双曲线方程推出 ，即可求得答案.
【详解】由题意结合双曲线定义可知 ，且 ，不妨设 ，则 ， ， ，
.
在 中， ，由余弦定理得 ，
即 ，即 ，
解得 .
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，即 ，结合 ，
即得 ，故得 ，即 .
又可设 ，则 ，
而 ，故 ，
故选：A
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据所给 ，分别在 和 中利用余弦定
理，求出 ，继而求得 ，再结合双曲线方程推出 ，即可求解.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线 ： ，圆 ： ，则（ ）
A．直线 恒过定点 B．直线 与圆 相交
C．圆 被 轴截得的弦长为 D．当圆 被直线 截得的弦最短时，
【答案】BD
【分析】根据给定条件求出直线l经过的定点及圆 的圆心、半径，再逐一分析、计算各选项判断作答.
【详解】依题意，直线 ： 可化为 ，
由 解得 ， ，即直线 过定点 ，A不正确；
圆 ： 的圆心 ，半径 ， ，
即点P在圆 内，直线 与圆 恒相交，B正确；
圆心 到x轴的距离 ，则圆 被 轴截得的弦长为 ，C不正确；
由于直线 过定点 ，圆心 ，则直线PC的斜率 ，
当圆 被直线 截得的弦最短时，由圆的性质知， ，于是得 ，解得 ，D正确.
故选：BD
10．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，椭圆上两点A，B关于原点对称，点P（异于A，B
两点）为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的周长为12 B．椭圆的离心为
C． 的最大值为 D．若直线PA，PB的斜率都存在，则
【答案】BCD
【分析】根据椭圆定义判断A，直接计算离心率判断B，根据椭圆的几何性质判断C，利用作差法求
判断D.【详解】由椭圆方程 可知， ，
所以 ，
由椭圆定义知， 的周长等于 ，故A错误；
椭圆的离心率 ，故B正确；
由椭圆的几何性质可知， 的最大值为 ，故C正确；
设 ， ，则 ，所以 ，
由点在椭圆上可得 ，两式相减可得 ，
化简可得 ，即 ，故D正确.
故选：BCD
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 为双曲线上一点，且 ，
若 ，则下面有关结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】利用同角三角函数基本关系式、双曲线定义、双曲线性质、余弦定理、离心率公式运算即可得解.
【详解】解：当 为锐角时，如下图，则 ，∵ ，∴ ，
∴ ，
∴解得： ，∴ ，则 ，
∴ ，故BD正确；
当 为钝角时，如下图，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴解得： ，∴ ，则 ，
∴ ，解得： ，故A错误，C正确.故选：BCD.
12．已知斜率为 的直线 经过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于点 两点（点 在第一象限），与抛物线的准线交于点 ，若 ，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D． 为 中点
【答案】BCD
【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.
【详解】如下图所示：
分别过点 作抛物线 的准线 的垂线，垂足分别为点 、 .
抛物线 的准线 交 轴于点 ，则 ，
由于直线 的斜率为 ，其倾斜角为 ，
轴， ，由抛物线的定义可知， ，
则 为等边三角形，
，则 ，
设 ，，由 ，则 ，可得 ，
所以 ，
,解得
所以 ,所以B正确.
，得 ，
A选项错误；所以 ,满足 ,所以C正确.
而 ,所以D正确.
故选：BCD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知 ， ， 为平面内的一动点，且满足 ，则点 的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设 ，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解.
【详解】设 ，由 ，则 ，
即 ，
即 ，
所以点 的轨迹方程为 .
故答案为：
14．已知 ， 为椭圆 的两个焦点， 是椭圆 上的点，且 ，则三角形 的
面积为 .
【答案】4
【分析】由椭圆定义以及勾股定理即可求得 ，即可求得三角形 的面积为4.
【详解】根据椭圆定义可知 ，
由勾股定理可得 ，所以可得 ，
因此可得三角形 的面积为 .
故答案为：4
15．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角
线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲
线 的左、右焦点分别为 ， ，双曲线C上关于原点对称的两点 ， 满足
，若 ，则双曲线 的离心率 .
【答案】
【分析】由题意可得四边形 为平行四边形，根据 及托勒密定理可
得四边形 为矩形．利用双曲线的定义、直角三角形的边角关系即可得出结论．
【详解】由双曲线 的左、右焦点分别为 ， 及双曲线上关于原点对称的两点 ， ，
则 ， ，可得四边形 为平行四边形，
又 及托勒密定理，可得四边形 为矩形．
设 ， ，
在 中， ，
则 ， ，， ， ，
，解得 ． 双曲线的离心率为 ．故答案为： ．
16．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交 于 两个不同点，则下列结论正确的是
.
①若点 ，则 的最小值是3
② 的最小值是2
③若 ，则直线 的斜率为
④过点 分别作抛物线 的切线，设两切线的交点为 ，则点 的横坐标为
【答案】①③④
【分析】过点 分别作准线的垂线，垂足分别为 ，进而根据抛物线的定义判断①；
根据 判断②；设直线 的方程为 ， ，进而联
立方程，结合韦达定理，根据 解方程即可得判断③；根据直线与曲线的位置关
系得过点 ，分别与抛物线 相切的直线方程为 ， ，进而联立方程解
得 可判断④.
【详解】由题知 ， ，准线方程为 ，对于①选项，如图，过点 分别作准线的垂线，垂
足分别为 ，
故 ，故①正确；对于②，设 ，
故 ，故②错误；
对于③，当直线 的斜率不存在时， ，不成立；
故直线 的斜率存在，设方程为 ，与抛物线方程联立 ，
得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，解得 ，故③正确；
对于④，设过点 与抛物线 相切的直线方程为 ，
与抛物线方程 联立得 ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，故 即为 ，整理得 ，
同理得过点 与抛物线 相切的直线方程为 ，
所以，联立方程 ，解方程得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即点 的横坐标为 ，故④正确.
故选：①③④
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数
的最值或范围．
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．已知圆 过三点 .
(1)求圆 的方程；
(2)设直线 的斜率为 ，且与圆 相切，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) 或 ．
【分析】（1）利用三点坐标可根据待定系数法求解圆方程；
（2）利用直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径建立等式即可求解．
【详解】（1）设圆 的方程为 ，其中 ，
因为圆 过三点 ，
所以 ，解得 ，
圆 的方程为 ．
（2）由（1）知圆 是以 为圆心，以 为半径的圆，
设直线方程为 ，即 ，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为 ，
解得 或 ，所以切线方程为 或 ．
18．在平面直角坐标系 中,已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 、 ,且点、 与椭圆 的上顶点构成边长为2的等边三角形．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知直线 与椭圆 相切于点 ,且分别与直线 和直线 相交于点 、 ．试判断 是
否为定值,并说明理由．
【答案】（1） （2） 为定值 ．
【分析】（1）根据题意,得出 ,从而得出椭圆 的标准方程．
（2）根据题意设直线方程 ： ,因为直线与椭圆相切,这有一个交点,联立直线与椭圆方程得
,则 ,解得 ①
把 和 代入 ,得 和 ,
, 的表达式,比即可得出 为定值．
【详解】解：（1）依题意, , , ．
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2） 为定值 .
①因为直线 分别与直线 和直线 相交,
所以,直线 一定存在斜率．
②设直线 ： ,由 得 ,
由 ,
得 ． ①
把 代入 ,得 ,
把 代入 ,得 ,
又因为 ,
所以 ,
,②
由①式,得 , ③
把③式代入②式,得 ,
,即 为定值 ．
【点睛】本题考查椭圆的定义、方程、和性质,主要考查椭圆方程的运用,考查椭圆的定值问题,考查计算能
力和转化思想,是中档题.
19．在平面直角坐标系中，已知圆心为点 的动圆恒过点 ，且与直线 相切，设动圆的圆心
的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2) 为直线 ： 上一个动点，过点 作曲线 的切线，切点分别为 ， ，过点 作 的垂
线，垂足为 ，是否存在实数 ，使点 在直线 上移动时，垂足 恒为定点？若不存在，说明理由；若
存在，求出 的值，并求定点 的坐标．【答案】(1)
(2)存在这样的 ，当 时， 坐标为 ．
【分析】（1）依题意，由几何法即可得出圆心的轨迹 是以 为焦点， ： 为准线的抛物线．
（2）设直线 的方程 ，对抛物线方程求导化简也可得直线 的方程，由恒等思想可得
， ，构造直线方程为 ，故 两点代入化简可得恒过点 ，再
由 得 ， 恒过点 ，从而可得结论.。
【详解】（1）依题意，圆心的轨迹 是以 为焦点， ： 为准线的抛物线．
所以抛物线焦点到准线的距离等于2，故动圆圆心的轨迹 为 ．
（2）假设存在实数 ，使点 在直线 上移动时，垂足 恒为定点，
设 ， ， ，直线 的方程为 ，
将抛物线方程变形为 ，则 ，所以 ，
所以 的方程为 ，
因为 ，所以直线 的方程为 ，
把 代入 的方程得 ．
同理可得 ．
构造直线方程为 ，易知 ， 两点均在该直线上，
所以直线 的方程为 ，
故 恒过点 ．因为 ，所以可设 方程为 ，
化简得 ，
所以 恒过点
当 ，即 时， 与 均恒过 ，
故存在这样的 ，当 时， 坐标为 ．
20．已知动点P到定点 的距离和它到直线 距离之比为2；
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)直线l在x轴上方与x轴平行，交曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.设OD的中点为M，是否存
在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N， ， 均成立；若
存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）设 ，由 化简可求轨迹C的方程；
（2）设直线PQ的方程为 ，与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共线的坐标表示
求得m，得到直线l的方程.
【详解】（1）设 ，由动点P到定点 的距离和它到直线 距离之比为2，可得 ，化简得 ，即 ，
故点P的轨迹C的方程为 ；
（2）设l的方程为 ，则 ，故 ，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为 ，故 .
与双曲线方程联立得： ，
由 对应渐近线方程为： ，易判断 ，
得 ，设 ， ，
则 ， ①，
由 ， 得：
，
，
即 ， ，
消去 得： ，
即 ②
由①②得： ，化简得 ，由已知 ，
故存在定直线l： 满足条件.21．已知椭圆 ： ， 为椭圆 的右焦点，三点 ， ，
中恰有两点在椭圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设点 为椭圆 的左右端点，过点 作直线交椭圆 于 ， 两点（不同于 ），求证：直
线 与直线 的交点 在定直线上运动，并求出该直线的方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）由对称性得到点 ， 在椭圆 上，结合焦点坐标，得到方程组，求出
， ，求出椭圆方程；
（2）设直线 的方程为 ，联立椭圆方程，设 ， ， ，得到两根之和，
两根之积，由 和 共线得到方程组，联立后得到 ，求出 ，得到交点 在定直
线上，并求出该直线的方程.
【详解】（1）因为 为椭圆 的右焦点，所以 ①,由对称性得，点 ， 在椭圆 上，代入得 ②,
联立①②解得， ， ，
所以椭圆 的标准方程为： .
（2）由条件知直线 与直线 不重合，故直线 的斜率不为0，
设直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
设 ， ， ，
则 ， ， ，
由（1）可得 ， ，
由 共线得： ③，由 共线得： ④，
由③÷④消去 并整理得， ，即 ，所以 ，
综上所述，直线 与直线 的交点 在定直线 上运动.
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
22．已知抛物线 ，其中 ．点 在G的焦点F的右侧，且M到G的准线的距离是M与F距离的3倍．经过点M的直线与抛物线G交于不同的A，B两点，直线OA与直线 交于点P，经过
点B且与直线OA垂直的直线l交x轴于点Q，
(1)求抛物线的方程和F的坐标；
(2)试判断直线PQ与直线AB的位置关系，并说明理由．
【答案】(1) ，焦点 .
(2) ，理由见解析
【分析】（1）根据题意，列出方程 ，求得 ，即可求得抛物线的方程；
（2）设 ，直线 ，联立方程组得到 及 ，由直线
的方程求得 ，再由 的方程求得 ，分 和 ，两种情况，求得 ，
即可求解.
【详解】（1）解：由抛物线 的准线方程为 ，交点坐标为 ，
点 在G的焦点F的右侧，且M到G的准线的距离是M与F距离的3倍，
所以 ，解得 ，
所以抛物线的方程为 ，焦点坐标为 .
（2）解：准线 .
理由如下：设 ，直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，所以 ，则 ，
由题意得 ，
直线 的方程为 ，令 ，可得 ，则 ，因为 ，所以 ，直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，所以 ，
①当 时，直线 的斜率不存在， ，可得直线 的斜率不存在，所以 ；
②当 时， ，则 ，
综上可得， 与 的位置关系为 .
