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第九讲：导数与函数的单调性
【考点梳理】
1、求已知函数（不含参）的单调区间
①求 的定义域
②求
③令 ，解不等式，求单调增区间
④令 ，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令 （或 ）不跟等号.
2、由函数 的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数 在区间 上单调
①已知 在区间 上单调递增 ， 恒成立.
②已知 在区间 上单调递减 ， 恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数 在区间 上存在单调区间
①已知 在区间 上存在单调增区间 , 有解.
②已知 在区间 上存在单调减区间 , 有解.
（3）已知函数 在区间 上不单调 ，使得 （ 为变号零点）
3、含参问题讨论单调性
第一步：求 的定义域
第二步：求 （导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于 进行求导得到 ，对 初步处理（如通分），提出 的恒正部分，将该部分
省略，留下的部分则为 的有效部分（如： ，则记 为
的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定 的正负.
第四步：确定导函数有效部分 的类型：
① 为一次型（或可化为一次型）② 为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论 的单调性【典型题型讲解】
考点一：求函数的单调区间（不含参）
【典例例题】
例1.函数 的单调递减区间是（ ）．
A． B． C． D．
例2.函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
函数单调区间的求法：解不等式法，列表格法
【变式训练】
1.函数 的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
2.函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数f(x)满足 ，则f(x)的单调递减区间为（ ）
A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞)
390<417
4．函数 的单调增区间是( )
A． B． C． D．
5．函数 的单调递减区间为__________．
【典型题型讲解】
考点二：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
【典例例题】例1.如果函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2.若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数 的取值范围是
a
（ ）
A． B． C． D．
例3.函数 在 上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分
析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的
抛物线最小值落在端点等.
（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范
围.
（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.
【变式训练】
1．若函数 在区间 内单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数 在 上为单调递增函数，则实数m的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 在区间 上不是单调函数，则实数 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
3.已知函数 在区间 上存在单调递增区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围是（ ）
A．(-∞，-3] B．(-3，1)
C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞)
考点三：含参问题讨论单调性
【典例例题】
例1.已知函数 ，其中 .求函数 的单调区间；
例题2．设函数 ，求 的单调区间．
例3.已知函数 .
讨论 的单调性；例4.已知函数 ，函数 的导函数为 ．
讨论函数 的单调性；
【方法技巧与总结】
1．关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨
论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．
2．需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点
处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．
3．利用草稿图像辅助说明．
【变式训练】
1.已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
2．（2022·广东深圳·高三期末）已知定义在 上的函数 ．
(1)求 的单调递增区间；(2)对于 ，若不等式 恒成立，求a的取值范围．
3.已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
4．已知函数
讨论f（x）的单调性；
5.已知函数 ，记 的导函数为
讨论 的单调性；6.（2022·广东深圳·一模）已知函数 （ ）．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 ， ．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证： ．
【巩固练习】
一、单选题
1．已知函数 在 上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D． 或
2．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．“函数 在 上是增函数”是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数 在区间 上存在单调减区间，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．已知 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 处的切线方程为 B． 的单调递减区间为
C． 的极大值为 D．方程 有两个不同的解
6．已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，对于任意 ，都有 ，
则使不等式 成立的 的值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
三、填空题
7．写出一个具有性质①②③的函数 ____________.
① 的定义域为 ；
② ；
③当 时， .
四、解答题
8．已知函数(1)讨论函数 在区间 内的单调性；
(2)若函数 在区间 内无零点，求 的取值范围．
9.已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 恰有一个零点，求a的值．
10．已知函数 ，其中k∈R.当 时，求函数 的单调区间；
11．已知函数 .讨论 的单调性；12．已知函数 .当 时，判断 的单调性；
