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期中重难点复习之填空题分阶练（三阶75题）
（基础篇、提高篇、压轴篇）
二次根式基础题型
1．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）已知 ， ，则化简 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握性质是解题的关键，难度适中．利用二次根式的性
质化简 ( )即可．
【详解】∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）比较大小： 5（用 ， ， 填空）
【答案】
【分析】本题考查的是实数的大小比较及二次根式的性质，根据 求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）要使 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据当被开方数为非负数时，二次根式有意义即可解答．
【详解】解：要使 有意义，则 ，即 ．故答案为：
4．（2024·广东珠海·一模）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，首先计算负整数指数幂、二次根式的化简，然后从左向右依次计算，
求出算式的值即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
5．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知 ， ，求下列各式的值：
， ．
【答案】 11
【分析】本题考查了二次根式的化简求值．
（1）将 分解因式后代入求值；
（2）将 化为 后代入求值即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ；．
故答案为： ；11．
6．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）如果 与 同时有意义，那么 ．
【答案】0
【分析】题目主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件列出不等式是解题关键．
【详解】解：∵ 与 同时有意义，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：0．
7．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）最简二次根式 与 可以合并，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，最简二次根式的含义，一元一次方程的解法，掌握以上知识
是解题的关键．
根据题意得出 ，解方程可得答案．
【详解】解： 最简二次根式 与 可以合并，
．
．
故答案为：4．
8．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）最简二次根式 与 是同类二次根式，则
．
【答案】1
【分析】本题考查了同类二次根式，掌握被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式是解题关键．根据
同类二次根式的定义，得到 ，求出 的值即可．【详解】解： 最简二次根式 与 是同类二次根式，
，
，
故答案为：1．
9．（23-24八年级下·甘肃陇南·阶段练习）若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，根据二次根式有意义的条件正确求出x的
值是解题的关键；根据二次根式有意义的条件可得 ，解得x，进而可求出y，最后代入求值即可；
【详解】解：由题意知： ，解得： ，
，
，
故答案为： ．
10．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）若 为整数，且满足 ，则当 也为整数时，满足条
件的 的值有 个.
【答案】3
【分析】本题考查绝对值的性质，二次根式的性质，根据 得到 ，根据 得到 ，
得到 ，再根据整数计算即可得到答案；
【详解】解：∵ 为整数，且满足 ， 有意义，
∴ ， ，
∴ 为： 的整数，即 为： ， ， ，0，1， ， ，
∵ 也为整数，
∴ 取： ， ， ，
故答案为：3．
勾股定理基础题型
11．（23-24八年级下·甘肃武威·阶段练习）如果直角三角形的三条边分别为4、5、 ，那么 的值等于
．
【答案】9或41/41或9
【分析】本题主要考查了勾股定理，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
分a为直角边和斜边有两种情况，分别运用勾股定理解答即可．
【详解】解：当a为直角边时，则这个直角三角形的斜边的长为5，由勾股定理可得 ；
当a为斜边时，这个直角三角形两条直角边的长分别为4和5时，由勾股定理可得： ．
故答案为：9或41．
12．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）若直角三角形的三边长为6，8，m，则m的值为 ．
【答案】 或 / 或10
【分析】题目主要考查了根据勾股定理计算直角三角形的一条边长，分两种情况讨论是解题的关键．
已知直角三角形的两边长，求第三边，第三边可能是斜边，也可能是直角边，分两种情况根据勾股定理求
解．
【详解】解：分两种情况讨论：
若m为一条直角边， 在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，故直角边长
若m为斜边，在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，故斜边长 ；
故答案为： 或10．
13．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，长方形 的边 长为2， 长为1，点A在数
轴上对应的数是0，以A点为圆心，对角线 长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是．
【答案】
【分析】本题考查了数轴与实数，涉及到勾股定理，直接利用勾股定理得出 的长，进而得出点E表示
的实数．解题的关键是勾股定理得出 的长．
【详解】解：∵四边形 是长方形，
∴ ， ， ，
在 中，由勾股定理可得：
，
∵点A在数轴上对应的数是0，，
∴点E表示的实数是 ，
故答案为： ．
14．（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）老师在讲“实数”这节时，画了图(如图)，即以数轴的单位长
度为边长作一个正方形，然后以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A，则点A表示实
数 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理和无理数，实数与数轴上的点的关系，熟练掌握勾股定理，实数与数轴
上的点是一一对应的是解题的关键．根据勾股定理可得正方形的对角线长为 ，从而得到 ，即可
求解．
【详解】解：由勾股定理得：正方形的对角线长为 ，∵以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A，
∴ ，
∴点A表示实数 ．
故答案为： ．
15．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习） ， 是平面直角坐标系中的两点，线段 长度的
最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了坐标系中求两点间的距离，熟练掌握上两点间的距离公式是解题关键．根据两点之间
的距离公式即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
当 ，即 时，线段 的长度的值最小，
此时 ，
故答案为：4．
16．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，在 中， ， 的平分线交
于点D， ， ，点D到 的距离为 .
【答案】5
【分析】本题主要考查勾股定理及角平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及角平分线的性质定理是解题
的关键；过点D作 于点E，则有 ，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：过点D作 于点E，如图所示：∵ ， 的平分线交 于点D，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴点D到 的距离为5；
故答案为：5．
17．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作
注时给出的，标志着中国古代的数学成就．如图是弦图的示意图，四个直角三角形的直角边长均为 ，
斜边长为 ．若 比 长2，每个直角三角形的面积为15，则斜边 的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查勾股定理的应用．由直角三角形的面积可求出 ，再把 两边平方得
，再结合勾股定理可知 ，从而可求出结论．
【详解】解：∵每个直角三角形的面积为15，
∴ ，
∴ ，
由题意得 ，∴ ，
整理得， ，
又 ，
∴ ，
解得， 或 （负值舍去），
故答案为：8．
18．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，一艘轮船从港口O出发向东北方向航行了 到达A
处，在港口的东南方向 处有一灯塔B，此时A，B之间的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，再根据勾股定理，
即可求得两条船之间的距离．
【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴ ，
根据勾股定理得： （海里）．
故答案为： ．
19．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块．已知
米， 米，该木块的较长边与 平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点 爬过
木块到达 处需要走的最短路程是 米．【答案】10
【分析】本题主要考查了平面展开 最短路线问题，两点之间线段最短．将木块表面展开，然后根据两点
之间线段最短解答．
【详解】解：如图，将木块展开， 即为所求，
则 （米）， 米，
最短路径为： （米）．
故答案为：10．
20．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）若 ，且 ， ， 为 的三边，
则 的面积为
【答案】
【分析】
本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理；根据非负数的性质求得 ，进而根据勾股定
理的逆定理得出 为直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为直角三角形，
∴ 的面积为 ，
故答案为： ．
平行四边形基础题型
21．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，若， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质．根据菱形的性质可得
， ， ，根据勾股定理求出 ，进而即可求解．
【详解】解： 四边形 是菱形， ，
， ， ，
，
，
，
故答案为： ．
22．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如图：在 中， ， ，点D，E分别是 ，
的中点，连接 ， ，如果 ，那么 的周长是 ．
【答案】18
【分析】本题考查三角形的中位线性质、勾股定理的逆定理、直角三角形斜边的中线性质．先根据三角形
的中位线性质求得 ，再利用勾股定理的逆定理证得 ，再根据直角三角形斜边的
中线性质得到 即可求解．
【详解】解：∵点D，E分别是 ， 的中点， ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，∴ ，则 ，
∵点D是 的中点，
∴ ，
∴ 的周长是 ．
故答案为：18．
23．（2024·湖南长沙·一模）如图， 的对角线 相交于点 ．则
的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分、对边相等的性质是解题关
键．根据平行四边形的性质得出 ， ，进而可得 的周长．
【详解】解：∵ 的对角线 相交于点 ．
∴ ， ，
∴ 的周长为 ．
故答案为：
24．（2024·湖南长沙·一模）如图，如果要测量池塘两端 ， 的距离，可以在池塘外取一点 ，连接 ，
，点 、 分别是 、 的中点，测得 的长为 米，则 的长为 米．
【答案】
【分析】本题考查三角形的中位线，解题的关键是直接根据三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第
三边，并且等于第三边的一半）计算即可．
【详解】解：∵点 、 分别是 、 的中点，∴ 是 的中位线， 的长为 米，
∴ （米），
∴ 的长为 米．
故答案为： ．
25．（18-19八年级下·全国·单元测试）在 中， ，则 边上的中线
．
【答案】5
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质．先利用勾股定理求出 的长，再
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
∴ 边上的中线 ，
故答案为：5．
26．（2024·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形 中，过点 作 于点 ，过点 作 的平行线
，连接 、 ， ，四边形 的面积为 ，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，菱形的性质，平行线的传递性以及平行四边形的判定及性质，熟练掌
握平行线的传递性以及平行四边形的判定及性质是解题的关键．
先证明四边形 是平行四边形，进而得 的面积为 ，由面积公式求得 ，再利用勾股定
理求解得 ，即可得解．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 的面积为 ，
的面积为 ，， ，
，
在 中，由勾股定理可得 ，
．
故答案为：2．
27．（23-24八年级下·全国·随堂练习）如图，在 中，对角线 和 相交于点O，如果 ，
， ，那么m的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，平行四边形的性质，先证明 ， ，
再利用三角形的三边关系可得答案．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
28．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，点 是边长为 的菱形 对角线 上的一个动点，
点 ， 分别是 ， 边上的中点，则 的最小值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了将军饮马模型，实际为轴对称的实际应用，也考查了菱形和平行四边形的判定与性质，
关键是作点 关于 的对称点 ．根据菱形的性质，作点 关于 的对称点 ，然后连接 交 于 ，此时 的和最小，证
明四边形 是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到 ．
【详解】如图，
作点 关于 的对称点 ，
连接 交 于 ，
此时 有最小值，最小值为 的长．
∵菱形 关于 对称， 是 边上的中点，
∴ 是 的中点，
又∵ 是 边上的中点，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，即 的最小值为1．
故答案为：1．
29．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在矩形 中，对角线 相交于点O，点E是
边 的中点，点F在对角线 上，且 ，连接 ，若 ，则 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，根据矩形的对角线相等且互相平分得到
，再由 ，得到 ，由此可证明 是 的中位线，则．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即点F为 中点，
又∵点E是边 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
故答案为：3．
30．（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）如图，把一个长方形纸片沿 折叠后，点 ， 分别落在 ，
的位置．若 ，则 等于
【答案】 /65度
【分析】本题主要考查了长方形的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握长方形的性质和折叠的性质．根
据长方形的性质可得 ，进而得到 ，由折叠的性质 ，即
可求解．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ，
，
由折叠的性质得： ，
故答案为： ．二次根式提高题型
31．（2023·辽宁丹东·二模）如图所示， ．
【答案】 /
【分析】直接利用数轴上 ， 的位置，进而得出 ， ，再化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质和与化简、绝对值的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
【详解】由数轴可得： ， ，
故原式 ．
故答案为： ．
32．（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）已知实数a满足 ，则 的值是
．
【答案】
【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到 ，
则当 时，不满足 ，当 时去绝对值 ，进而
可得 ．
【详解】解：∵
当 时，
∵ 要有意义，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴此时不可能满足 ；
当 时
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
33．（23-24八年级下·北京·开学考试）已知 ，则 的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，利用二次根式的意义解题是解题的关键．
根据二次根式的意义得 ，解得 ，进一步得到 ，再利用平方根的定义，即得答案．
【详解】由题意，得 ，
解得 ，
，
，
即 的平方根是 ．
故答案为: ．
34．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：
特例1： ；特例2： ；特例3：……应用发现的运算规律求值 ．
【答案】
【分析】主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，根据题意找到规律 ，据
此规律代值计算即可．
【详解】解：特例1： ；
特例2： ；
特例3： ；
……，
以此类推，可知 ，
∴ ，
故答案为： ．
35．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知 ，则代数式 的值为 ．
【答案】11
【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式．将代数式 变形为 ，代入后运用二
次根式的性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ．故答案为：11．
36．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小明学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另
一个式子的平方，如 ．善于思考的小明进行了以下探索：设 （其中
均为整数），则有 ．
， ．这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法．请利用小明发
现的方法，化简 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了完全平方公式的运用及二次根式的混合运算，能根据完全平方公式展开是解此题的关
键．
根据完全平方公式先将 变形为 ，由 即可求解．
【详解】解： ，
，
故答案为： ．
37．（2024·辽宁盘锦·一模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①
；② 等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算：
．
【答案】 /
【分析】此题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，直接利用二次根式的性质化简得出答案，
正确化简二次根式是解题关键．【详解】解：原式
，
故答案为： ．
38．（23-24九年级下·山东潍坊·阶段练习）已知 ，当 分别取 时，所对应
的 值的总和是 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的化简求值，直接把已知数据代入进而得出变化规律即可得出答案，正确化
简二次根式是解题的关键．
【详解】解：当 时，
原式 ，
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ，
∴当 分别取 时，
所对应 值的总和是： ，
故答案为： ．
39．（23-24八年级下·山东泰安·阶段练习）已知 分别是 的整数部分和小数部分，则
的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，利用夹逼法求出 的范围，确定出 的值，再代
入代数式计算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∵ 分别是 的整数部分和小数部分，
∴ ， ，
∴
，
，
，
，
故答案为： ．
40．（2024·内蒙古乌海·一模）对于任意两个不相等的正实数 定义新运算“ ”，规定：
，求 中 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
本题考查了定义下的实数运算，二次根式的意义，分式的意义，根据新定义，由 ，
得到 且 即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
故答案为： 且 ．勾股定理提高题型
41．（23-24八年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，长方体的高为 ，底面长为 ，宽为 ．若一只
蚂蚁从点 爬到 ，则爬行的最短路程是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用以及平面展开图最短路径问题，分类讨论画出解答几何体的部分
侧面展开图，利用直角三角形的边的关系容易解得 的值，从而得出其中的最小值，利用分类讨论得出
是解题关键．
【详解】解： 如图1所示∶
如图2所示：如图3所示：
∴一只蚂蚁从点 爬到 则爬行的最短路程是 ．
故答案为： ．
42．（2024·重庆·一模）如图，在 中， ， ， ，点 ， 在斜边 上，
将边 沿 翻折，使点C落在 上的点 处，再将边 沿 翻折，使点A落在 延长线上的点G
处，则 的面积为 ．【答案】 /
【分析】本题考查了翻折变换、等腰直角三角形、等面积法，勾股定理．根据翻折的性质可知
，根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：在 中， ， ， ，
∴ ，
根据两次翻折可知： ， ， ，
，
，
，
，
，
，
．
．
在 中， ，
，
∴则
故答案为： ．
43．（23-24八年级下·福建漳州·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，的垂直平分线交 的延长线于点 ，交 于点 ，那么 的长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理；连接 ，根据垂直平分线的性质可得 ，设
，则 ，在 中，勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，
即
解得：
故答案为： ．
44．（2024·湖南长沙·一模）如图，在 中， ， 平分 ．若 ， 则
的面积为 ．【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质，过 作 于 ，由角平分线的性质推出 ，由勾股定
理求出 ，由三角形面积公式得到 ，因此 ，即可
求出 ，即可得到 的面积．掌握角平分线的性质及勾股定理是解题的关键．
【详解】解：过 作 于 ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
45．（23-24八年级下·广西钦州·阶段练习）如图， ，点D在射线 上，且 ，点P在射
线 上运动，当 是直角三角形时， 的长为 ．
【答案】4或
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是注意分类讨论，根据勾股定理和直角三角形的性质可求解；
【详解】解： 是直角三角形,
当 时，
,
当 时，
在直角 中 ，
，
，
故答为：4或
46．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在 中， ， ， ．
是 的平分线．若P，Q分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了最短距离问题，勾股定理，全等三角形的判定及性质；在 上截取 ，过
作 ，由 可判定 ，由全等三角形的性质得 ，当 时，取
得最小值，结合勾股定理，即可求解；找出取得最小值的条件是解题的关键．
【详解】解：如图，在 上截取 ，过 作 ，平分 ，
，
在 和 中
，
（ ），
，
，
当 时，取得最小值，
，
，
，
解得： ；故答案： ．
47．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）如图， 中， ， ， ，BD平分
，且 ，则 与 的面积和是 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，勾股定理，根据证明 是解题的
关键．延长 交 于 ，由BD平分 ，且 ，可证 ，得出 ，
即可解决．
【详解】解：延长 交 于 ，
∵BD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
48．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中，
是 边上一动点，将 沿 折叠，点B落在 处， 交
于D，则 的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查勾股定理，折叠问题，根据题意得出当 时， 最小， 最大，再根据面积
法求出 ，根据折叠得： ，进而可得出答案．
【详解】解：当 时， 最小， 最大，
∵ ， ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
根据折叠得： ，
∴
故答案为： ．
49．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，滑杆在机械槽内运动， 为直角，已知滑杆 长
，顶端 在 上运动，量得滑杆底端 距点 的距离为 ，当底端 向右移动 到达点 ，顶端
到达点 时，求滑杆顶端 下滑 米．【答案】
【分析】
本题考查正确运用勾股定理，由题意可知滑杆 与 、 正好构成直角三角形，故可用勾股定理进行
计算善于观察题目的信息是解题的关键．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴滑杆顶端 下滑 米，
故答案为： ．
50．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图， 中， ， ， 是 的
边 上的高，点 是 上动点，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】
本题考查垂线段最短，涉及等腰三角形的性质、勾股定理等知识．过点 作 于点 ，由勾股定理得 ．继而证明当 、 、 三点共线且 时， 的值最小为 ．
由等腰三角形腰上的高相等，解出 的长，即为 的长．
【详解】
解： ， ，
．
过点 作 于点 ，由勾股定理得 ．
．
当 、 、 三点共线，且 时，
的值最小为 ．
中， ， ， ，
由等腰三角形腰上的高相等，
，
在 中， ．
故 ．
故答案为： ．
平行四边形提高题型51．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为 、 、
，则第四个顶点 的坐标是 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了平行四边形的性质，先连接 ， ， ，已知平行四边形中三个顶点 、
、 ，则可以分 为对角线， 为对角线， 为对角线三种情况求出点 坐标即
可，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
【详解】解：如图，
当 ， 时， 和 的纵坐标相等，
若选择 为对角线，则 ；
若选择 为对角线，则 ；
当 ， 时，
选择 为对角线，则 ，
故第四个顶点坐标是： ， ， ，
故答案为： 或 或 ．
52．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图所示，在 中， 于点 分别是边的中点，连接 ，当 满足条件 时，四边形 是菱形．（填一个你认为恰当
的条件即可）
【答案】 （或 ）
【分析】解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下
的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．
可根据等腰三角形的性质、菱形的判定，分析得出当 满足条件AB=AC或 时，四边形
是菱形．
【详解】解：要使四边形 是菱形，则应有 ，
∵ ， 分别为 ， 的中点
∴ ， ，
∴ ，
∴ 应是等腰三角形，
∴应添加条件： 或
则当△ABC满足条件 或 时，四边形AEDF是菱形．
故答案为： （或 ）．
53．（2024·江苏宿迁·一模）如图，在 中，D为斜边 的中点，E为 上一点，F为 中点，
，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半和中位线的性质，根据题意可得 ，从而可得，再根据三角形中位线定理可得 ，即可求解．
【详解】解：∵D为斜边 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵D为斜边 的中点，F为 中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
故答案为： ．
54．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）如图，矩形 中， ， ， 是 上的一个动
点， 于 ， 于 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的对角线相等且互相平分的性质，勾股定理的应用，根据三角形的面积求出
是解题的关键，作辅助线是难点．
过点 作 于 ，连接 ，根据勾股定理列式求出 的长度，再根据 的面积求出 ，然
后根据 的面积求出 ，从而得解．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，连接 ，
， ，
，
，即 ，
解得 ，
在矩形 中， ，
，
．
故答案为： ．
55．（2024·陕西西安·二模）如图， 中， ，延长 至点 ，使 ， 为边
上的点，且 ，连接 ， ， 分别为 ， 的中点，连接 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理．连接 ，取 的中点 ，连接 、 ，根据
三角形中位线定理得到 ， ， ， ，根据平行线的
性质得到 ，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：如图，连接 ，取 的中点 ，连接 、 ，
， 分别为 ， 的中点，
是 的中位线， 是 的中位线，， ， ， ，
，
，
，
故答案为： ．
56．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点A、C的坐标
分别为 ，点D是 的中点，点P在 边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，
D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了平行线的性质、菱形的性质、勾股定理，先由点A和点C求得点D的坐标、点B的坐
标和点P的纵坐标，然后分类讨论求出点Q的坐标．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵点D是 的中点，
∴ ，
①如图1所示，以 为对角线，点P在点D的左侧时， ，过点P作 轴于点E，则 ．
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ，
此时，点Q的坐标为 ；
②如图2所示，以 为对角线，点P在点D的左侧时， ．
过点P作 轴于点E，则 ．
在 中，由勾股定理得： ，
∴点P的坐标为 ，
此时，点Q的坐标为 ；
③如图3所示，以 为对角线，点P在点D的右侧时， ，过点P作 轴于点E，则 ．
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ，
此时，点Q的坐标为 ；
综上所述，点Q的坐标为 或 或 ；
故答案为： 或 或 ．
57．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，四边形 是一张放在直角坐标系中的矩形纸片，O
为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上， ， ，在 边上取一点M，将纸
片沿 翻折，使点B落在 边上的点N处．求M点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，勾股定理等知识点，关键在于找到直角三角
形．先根据勾股定理求出 的长，从而可得出 的长，设 ，则 ，根据勾股定理
得出 ，即 ，求出 ，从而得出M点坐标．【详解】解：∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
根据翻折可知， ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
58．（23-24八年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，在 中， ，点 在边 上（不与点
A， 重合）， 于点 ， 于点 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、垂线段最短的性质、勾股定理等知识点，判断出 时，
线段 的值最小是解题的关键．
如图：连接 ，先利用勾股定理列式求出 ，再判断出四边形 是矩形，根据矩形的对角线相等可
得 ，再根据垂线段最短可得 时，线段 的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可．
【详解】解：如图：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
由垂线段最短可得 时，线段 的值最小，
此时， ，即 ,
解得： ，
∴ ．
故答案为： ．
59．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，菱形 的对角线 ， 交于点O，过点D作
于点E，连接 ，若 ， ，则菱形 的面积为 ．
【答案】96
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，由 中，点O是 的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半， ，则 ，根据勾股定理求出
，得出 ，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形 的面积为： ．
故答案为：96．
60．（21-22八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，在平行四边形 中， ， 于点
E，F为 的中点，连接 ， ，下列结论：① ；② ；③ ；
④ ，其中正确的结论有 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角
形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．如图延长 交
的延长线于G，取 的中点H，连接 ，交 于点M．证明四边形 ，四边形 都是菱
形，可判断①；证明 可判断②；根据 可判断③；根据
可判断④ ．
【详解】解：如图延长 交 的延长线于G，取 的中点H，连接 ，交 于点M．∵平行四边形 中， ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 ，四边形 都是菱形，
∴ ，
∴ ．
故①正确，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故②正确，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
故③正确，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
故④错误，
故答案为：①②③．
二次根式压轴题型
61．（22-23九年级下·湖南娄底·阶段练习）已知 为整数， ，则 的最小值是
．
【答案】7
【分析】
本题考查了算术平方根非负数的性质及因式分解的应用，主要利用了被开方数大于等于0．
根据被开方数大于等于0设 （a为非负整数），设 ，运用平方差公式分解因式再
计算即可得解．
【详解】解： 为整数， ，
，
即 ，
，
设 （a为非负整数），，
，
设 ，
，
，即 或 ，
或 ，
或7，
则 的最小值是7，
故答案为：7.
62．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习） ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式，算术平方根，不等式等知识．熟练掌握两个式子相等，对应部分相等，
是解决问题的关键．
先去括号，根据含 部分对应相等，得到 ，根据剩余部分对应相等，得到 ，即得．
【详解】∵
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 符合，
∴
故答案为： ．
63．（2024八年级·全国·竞赛） ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的运算，将式子进行平方，运用完全平方公式展开后化简，即可解答．
【详解】∵
，
又 ，
∴ ．
故答案为： ．
64．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）设 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式的混合运算-化简求值，直接利用混合运算法则化简，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】 ，
，
，
，
， ，
∴
，
∴，
∴原式 ，
故答案为： ．
65．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）可以用配方法化简二重根式，
例如： ，
请化简式子： ．
【答案】2
【分析】先把 ， 分别化为 与 ，再化简，结合分母有理化，最后计算加
减运算即可．
【详解】解：
；
故答案为：2
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的混合运算，分母有理化，掌握二次根式的化简的方法
与技巧是解本题的关键．勾股定理压轴题型
66．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 中，
，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理， 等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，设 ，根据导角
得出 ，以 为边向右作等边三角形 ，以 为边作等边三角形 ，连接 ，
，得出 进而可得 ，进而根据含 度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求
解．
【详解】解： ∵ ，
设 ，则 ， ，
∵
∴
∴
以 为边向右作等边三角形 ，以 为边作等边三角形 ，连接 ， ，∵ , ， ，
∴
∴ ，
，
，
又∵
∴
∴ ， ，
∵
∴ ，
又∵
∴
过点 作 于点 ，则
则
∴
∴ ， ，
∴
在 中， ，
故答案为： ．67．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， ，以 为斜边在 上方
作等腰直角 ，连接 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，以 为直角边构造等腰直角
三角形 ， ，连接 ，证明 ，得到 ，根据 ，求
出 的最大值，进而得到 的最大值即可．
【详解】解：以 为直角边构造等腰直角三角形 ， ， ，连接 ，
∵以 为斜边在 上方作等腰直角 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为8，
∵ ，
∴ 的最大值为 ；故答案为： ．
68．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在 中， ，点 是线段 上一
点，连接 ，将 沿直线 翻折，点 的对应点是 ，当点 恰好落在 的边上时， 的长
是 ．
【答案】1或
【分析】
本题考查勾股定理，翻折等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键．分点
在 ， 讨论即可．
【详解】解：当点 在 上时，
此时 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，即 ；
当点 在 上时，过B作 于H，过点D作 于点G，做 于点N，∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵翻折，且点 在 上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
设 ， ，
∵ ，
∴ ，
化简得 ，
∴ ，
解得 ， ，即 或 （不合题意，舍去）．
综上， 的值为1或 ．
69．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图， 中， ， ， 、 分别是 、边上的两个动点，满足 ，求线段 的取值范围 ．
【答案】
【分析】
本题考查等腰直角三角形，含 角的直角三角形及等腰三角形的知识．欲求 的取值范围即要找到最小
值和最大值时点 的位置，最小值即点 与点 重合时，最大即点 在 处，关键还要作辅助线构造直角
三角形，具体见详解．
【详解】
解：如图，当 与 重合时， 的值最小,过点 作 于 ,
，
，．
故答案为： ．
70．（2023·浙江金华·三模）如图，在 中， 于点 ， 为 上一点，且 ，
，连接 ，若 为 的中点，则 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质
等知识．证明 ，由全等三角形的性质得出 ，证出 ，过
点 作 于点 ，作 于点 ，由全等三角形的性质得出 ， ，得出
，由角平分线的性质 ，再根据 ，求出 的长，
最后利用等腰直角三角形的性质得出结论．
【详解】解： ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
如图，过点 作 于点 ，作 于点 ，，
， ，
， ，
，
平分 ；
，
，
， 为 的中点，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
平行四边形压轴题型
71．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，正方形 的边长为1，取 中点 ，取 中点 ，
连接 ， 与 交于点 ，连接 ，则 ．【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，
证明 得出 ，从而求出 ，作 于 ，证明
，得出 ，利用三角形面积公式结合勾股定理计算出
得出 垂直平分 ，由线段垂直平分线的性质即可得解，熟练掌握以上知识
点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ，
为 中点， 为 中点，
， ，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，，
，
如图，作 于 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
垂直平分 ，
故答案为： ．
72．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形 中， ，连接 ， 的平分线交 于点E，在 上截取 ，连接 ，分别交 于点 ，点P是线段 上的动
点， 于点Q，连接 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，根据角平分线的性质可得
，可知当 在同一条直线上时， 有最小值，即为 ，证明 ，
继而证明 ，再证明 ，即可得到 ，再利用勾股定理解出 ，即可得
到 的最小值．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴当 在同一条直线上时， 有最小值，即为 ，
∵在正方形 中，
∴ ， ，
∵在 和 中，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵在正方形 中，
∴ ，
∴ 为等腰三角形， ，
∵在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，解得： ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质及勾股定理，根据题意正
确作出辅助线是解题的关键．
73．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）菱形 中， ， ， ，垂足为 ，
点 在菱形的边上，若 ，则 的长为 ．【答案】 或 或
【分析】利用 为等腰直角三角形得到 ，所以 ，当 点在 上，
，当 点在 上，过点 作 于 点，如图1，证明 为等腰直角三
角形，所以 ， ，则 ，在 中利用勾股定理得到
，然后解方程求出 ，从而得到 的长；当点 在 上，过 点 于
点，连接 ，如图2，由于 ， ，所以 ，然后利用勾股定理计算
出 的长．
【详解】解：在 中， ，
为等腰直角三角形，
，
，
当 点在 上， ，
当 点在 上，过点 作 于 点，如图1，
四边形 是菱形，
， ，
为等腰直角三角形，， ，
，
在 中， ，
，
解得 ，
．
当点 在 上，过 点 于 点，连接 ，如图2，
， ，
，
，
，
综上所述， 的长为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题看了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等．也考查了等腰直
角三角形的性质．
74．（2023·山东济南·二模）如图，在矩形 中， ，点E是 边的中点，点F是线段
上任一点，连接 ，以 为直角边在 下方作等腰直角 ， 为斜边，连接 ，则
周长最小值为 ．【答案】
【分析】过点G作 于点H，根据矩形的性质得出 ，再由全
等三角形的判定和性质确定 ，过点G作直线 ，根据题意得出点G在直线l上运动，作
点D关于直线l的对称点T，连接 ，根据勾股定理及三角形三边关系求解即可．
【详解】解：如图，过点G作 于点H，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点G作直线 ，
∵ ， ，
∴点G在直线l上运动，
作点D关于直线l的对称点T，连接 ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ 的最小值为 ，
∴ 周长最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理解三角形等，理
解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
75．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，矩形 中， ， 为 上一动
点， 为 中点，连接 ，则 的最小值是 ．
【答案】2
【分析】
根据中位线定理可得出点 的运动轨迹是线段 ，再根据垂线段最短可得当 时， 取得最小
值；由矩形的性质以及已知的数据即可知 ，故 的最小值为 的长，由勾股定理求解即可．
【详解】解：如图：
当点 与点 重合时，点 在 处， ，
当点 与点 重合时，点 在 处， ，且 ．
当点 在 上除点 、 的位置处时，有 ．
由中位线定理可知： 且 ．
点 的运动轨迹是线段 ，
当 时， 取得最小值．
矩形 中， ， ， 为 的中点，
、 、 为等腰直角三角形， ．
， ．
．
．
，即 ，
的最小值为 的长．
在等腰直角 中， ，
的最小值是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质，中位线定理，直角三角形两内角互余，勾股
定理，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，
