文档内容
期中重难点真题特训之压轴满分题型（60题15个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
压轴满分题一、与三角形的高、中线与角平分线有关的计算
1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）【问题情境】
如图1， 是 的中线， 与 的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作 边上的
高 ，根据中线的定义可知 ．
又因为高 相同，所以 ，于是 ，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角
形的面积．
【深入探究】
（1）如图2， 的面积为4平方厘米，延长 到点 ，延长 到点 ，延长边 到点 ，使
， ， ，依次连接 得到 ，求 的面积．
【拓展延伸】（2）如图3．若四边形 的面积为 ，分别延长四边形 的各边，使得 ，
， ， ，依次连接 得到四边形 ．
①若 ，求四边形 的面积；（用含 的代数式表示）
②直接写出四边形 的面积（用含 的代数式表示）
2．（23-24七年级下·广东惠州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A、 在坐标轴上，其中 ，，且满足 ．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)将线段 平移到 ．点A的对应点是 ．点 的对应点是 ．且 、 两点也在坐标轴上，过
点 作直线 ，垂足为 ，交 于点 ．请在图1中画出图形，直接写出点 的坐标，并证明
；
(3)如图2，将 平移到 、点A对应点 ，连接 、 ， 交 轴于点 ，若 的面积
等于12，求点 的坐标及 的值．
3．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图所示，点 ，点B在y轴的正半轴上， ，点
是第一象限内一动点，且三角形 的面积为6，线段 与 交于点D．
(1)求三角形 的面积；
(2)若三角形 与三角形 的面积相等，求点C的坐标；
(3)将线段 沿射线 平移，得到线段 （点B与点A是对应点），连接 ，设三角形 的面积为，三角形 的面积为 ， ，当 时，求m的取值范围．
4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系 中， ，
．
(1)求 两点的坐标；
(2)将AB平移到CD，点 的对应点 ．
①若 ，求 的值；
②若 三点在同一直线上时，求点 的坐标．
压轴满分题二、三角形的内角
5．（2024八年级上·江苏·专题练习）在四边形 中， 的平分线交边 于点 ， 的平
分线交直线 于点 ．
(1)当点O在四边形 的内部时．①如图①，若 ， ， ，则 _______°，
(2)如图②，试探索 和 之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，当点 在四边形 的外部时，请你直接写出 和 之间的数量关系．
6．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在 中，点 在 上，过点 作 ，交
于点 ， 平分 ，交 的平分线于点 ， 与 相交于点 ， 的平分线 与
相交于点 ．
(1)若 ， ，则 ___________°， ___________°；
(2)若 （其中 是固定值），当 的度数发生变化时， 的度数是否发生变化？若有变化，说明
理由；若不变化，求 的度数（用 的代数式表示）；
(3)若 中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的 的度数．
7．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图1，在 中，分别在 边上放置两三角形 和
，其中 ．(1)求 的值；
(2)若 ，求 的度数；
(3)如图2，在（2）问的条件下， 绕点 以 /秒的速度顺时针旋转得 ，同时 绕点
以 /秒的速度顺时针旋转得 ，当 旋转一周时，两三角形同时停止运动．当 时，
______秒．
8．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在 中， ，D是 上一点，且
．
(1)求证：
(2)如图②，若 的平分线分别交 ， 于点E，F，求证： ；
(3)如图③，若E为 上一点， 交 于点F， ， ， ．
①求 的值；
②四边形 的面积是______．压轴满分题三、三角形的外角
9．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与探究
如图1，在 中， ， 的平分线相交于点O，老师通过度量角的度数，计算后发现
．
(1)请你证明老师的发现；
(2)老师在学生完成后说：“如果将三角形内角平分线改成外角平分线会怎样呢？”
①“兴趣小组”提出问题：如图2， 的外角 ， 的平分线相交于点O，请猜想 与
之间的数量关系，并加以证明；
②“智慧小组”提出问题：如图3， 的外角 的平分线与内角 的平分线相交于点O，请
猜想 与 之间的数量关系（请直接写出数量关系式）．
10．（21-22七年级下·江苏扬州·期中）已知 ， 平分 ，点A，B，C分别是射线 ，
， 上的动点（A，B，C不与点O重合），连接 ，连接 交射线 于点D，设 ．
(1)如图1，若 ，
① 的度数是_________；
②当 时， 的度数是_________；
当 时， 的度数是_________；
(2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若 ，延长 交射线 于点F，当四边形 为“完美四边形”时，求 的值．
11．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）下面是有关三角形内角、外角平分线的探究，阅读后请
按要求作答：
(1)如图1， 、 分别是 和 的平分线且相交于点 ，若 ，则 __________；
(2)如图2， 平分 ， 平分 ， 和 交于点 ，猜想 与 之间的数量关系，并说
明理由；
(3)如图3， ， 分别是 外角 和 的平分线且相交于点 ，直接写出 与 之间
的数量关系．
12．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）在 中， ，D，E分别是边 ， 上的点
（点D不与点A，C重合，点E不与点A，B重合），P是平面内一动点（点P不与点D，B在同一直线
上）．设 ， ， ．
【类比思考】
（1）如图②，若点 P 在 的外部，则 之间有何关系? 写出你的结论，并说明理由．
【拓展探究】
（2）当点P 在边 的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并直接写出对应的
之间的关系式．压轴满分题四、多边形的内角和与外角和综合
13．（21-22七年级下·山东聊城·期末）在五边形ABCDE中， ， ， ．
(1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线；
(2)如图②，若 比 小 ，求出 的度数；
(3)如图③，若CP，DP分别平分 与 的外角，试求出 的度数．
14．（20-21七年级下·江苏苏州·期中）已如在四边形 中， ．
（1）如图1，若 ，则 ________．
（2）如图2，若 、 分别平分 、 ，判断 与 位置关系并证明理由．
（3）如图3，若 、 分别五等分 、 （即 ， ），则
_______．
15．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给
同学们解答几何题带来很大的便捷．
(1)初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是 ，请你给予证明．
(2)模型求解：如图2，线段 在四边形 内部，连接 、 ，相交于点O，请借助“8”字模型的
结论求： 的度数．
(3)构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出
的度数．(4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、
“八角星”等，如图4“七角星 ”的七个内角和： ________ ；
猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）．
16．（24-25八年级上·湖南衡阳·开学考试）如图1，在 中， ．
(1) 、 的平分线交于点O，则 的度数为_______；
(2) 的外角 、 的平分线交于点 ，则 的度数为_______；
(3) 与 的数量关系是_______；
(4)【问题深入】如图2，在 中， 、 的角平分线交于点O，将 沿 折叠使得点
A与点O重合，请直接写出 与 的一个等量关系式：
(5)如图3，过 的外角 、 的平分线的交点 ，作直线 交 于点P，交 于点Q，
当 时， 与 有怎样的数量关系？请直接写出结果．
压轴满分题五、全等三角形的判定与性质1
17．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在 中， ，高 相交于点
，且 ．(1)求线段 的长；
(2)动点 从点 出发，沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动，动点 从点 出发沿射线
以每秒4个单位长度的速度运动， 两点同时出发，当点 到达 点时， 两点同时停止运动．设
点 的运动时间为 秒，当 为何值时， ；
(3)在（2）的条件下，点 是直线 上的一点且 ．是否存在 值，使以点 为顶点的三角
形与以点 为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的 值，若不存在，请说明理由．
18．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知 ．
【初步探究】（1）如图1， 为边 的中点，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ，求 与
的数量关系和位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】（2）如图2，若 ，过点 作 于点 ， 为边 上一点，过点 作 的
垂线交 的延长线于点 ，连接 ，若 ，试说明： ．
19．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图， 与 相交于点C，
，点P从点A出发，沿A→B→A方向以 的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以 的速
度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t
（s）．(1)当 时，线段 的长度 _______ ，线段 的长度 _______ ；
(2)求证： ；
(3)连接 ，当线段 经过点C时，直接写出t的值；
(4)连接 ，当 的面积等于 面积的一半时，直接写出所有满足条件的t值．
20．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）【问题背景】
在 中， 边上的高 交于点 ．
【问题探究】
（1）如图1，求证： ；
（2）如图1，求证： ；
【拓展延伸】
（3）如图2，延长 到点 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，连接 ，已知 ，
为 上一点，连接 ，有 ，请判断 与AD是否平行，并说明理由．压轴满分题六、全等三角形的判定与性质2
21．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践
问题情境：
数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在 中， ，直线 过点 ，点 是直线
上两点．
独立思考：
（1）如图1，当直线 在 的外部，满足 时，试探究线段 与 之间
的数量关系，并说明理由；
拓展探究：
（2）如图2，当直线 经过 的内部，交 于点 ，且 ，满足
时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段 ， 与 之间的
数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当直线 经过 的内部，交 于点 ，且 ，满足
时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段 与 之间
的数量关系．
22．（23-24八年级上·河南信阳·期末）阅读下面材料：
学习了三角形全等的判定方法（即“ ”“ ”“ ”“ ” 和直角三角形全等的判定方
法（即“ ” 后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究
小聪将命题用符号语言表示为：在 和 中， ， ， ．
小聪的探究方法是对 分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
第一种情况：当 是直角时
如图1， 和 中， ， ， ，根据“ ”定理，可以知道．
第二种情况：当 是锐角时
如图2， ， ，在射线 上有点 ，使 ，画出符合条件的点 ，则
和 的关系是 ；
．全等 ．不全等 ．不一定全等
第三种情况：当 是钝角时
如图3，在 和 中， ， ， ．过点 作 边的垂线交 延长
线于点 ；同理过点 作 边的垂线交 延长线于 ，根据“ ”，可以知道 ，请补
全图形，进而证出 ．
23．（22-23八年级上·贵州毕节·期末）如图①，在四边形 中， ，点E，F
分别是边 ， 上的点，且 ，求线段 之间的数量关系．小明提供了这样的
思路：延长 到点G，使 ，连接 ．
(1)根据小明的思路，请直接写出线段 之间的数量关系：___________；
(2)如图②，在四边形 中， ，点E，F分别是边 上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由．
(3)如图③，在四边形 中， ，点E，F分别是边 延长线上的点，
且 ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关
系，并证明．
24．（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴
负半轴和y轴正半轴上一点， ；
(1)分别求出 A、B两点的坐标；
(2)点P 从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒． 点P在动过程中，若
，求此时t的值；
(3)在（2）的条件下，连接 ，过点A作 垂足为C，交y轴交于点M，在坐标平面内是否存在点
N，使以B、A、M为顶点的三角形与 全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不
存在，请说明理由．
压轴满分题七、全等三角形的模型
25．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，
在 中， ， 是 的中点，求 边上的中线 的取值范围．
【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长 到点 ，使
，连接 ．根据SAS可以判定 ，得出 ．这样就能把线段 、 、
集中在 中．利用三角形三边的关系，即可得出中线 的取值范围是________．（提示：不等
式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若 ，则 ．）
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在 中， 是 边上的一
点， 是 的中线， ，试说明： ；
【问题拓展】（3）如图3， 是 的中线，过点 分别向外作 、 ，使得 ，
，判断线段 与 的数量关系与位置关系，并说明理由．
26．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景：如图1，在四边形 中，
， E、F分别是 上的点，且 ，探究图中线段
之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长 到点G，使 ．连接 ，
先证明 ，再证明 ，可得出结论．他的结论应是______________________．
（2）如图2，在四边形 中， 分别是边 ， 上的点，且
．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程．
（3）在四边形 中， ，E，F分别是边 所在直线上的点，且
．请直接写出线段 之间的数量关系．
27．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形 中， ，
， ， 、 分别是 、 上的点，且 ，探究图中 、 、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明：
，再证明 ，可得出结论，他的结论应是 ；
【灵活运用】（2）如图2，若在四边形 中， ， ， ， 、 分
别是 、 上的点，且 ，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，在四边形 中， ， ，若点 在 的延长线上，
点 在 的延长线上，满足 ，请判断 与 的数量关系．并证明你的结论．
28．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本
图形．
(1)如图1．已知：在 中， ， ，直线l经过点A， 直线l， 直线l，垂
足分别为点D、E．证明： ．(2)组员小明对图2进行了探究，若 ， ，直线l经过点A． 直线l， 直线l，
垂足分别为点D、E．他发现线段 、 、 之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段 、
、 之间的数量关系，
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
如图3，过 的边 、 向外作正方形 和正方形 （正方形的4条边都相等，4个角都
是直角）， 是 边上的高，延长 交 于点 ，若 ， ，求 的长．
压轴满分题八、全等三角形的综合
29．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在 中， ， ，射线 ，
的夹角为 ，过点 作 于点F，直线 交 于点 ，连接 ．
(1)如图1，射线 ， 都在 的内部．
①设 ，则 （用含 的式子表示）；
②作点 关于直线 的对称点 ，求证： ；
(2)如图2，射线 在 的内部，射线 在 的外部，其他条件不变，用等式表示线段 ，
， 之间的数量关系，并证明．
30．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图
1，在 中， ， ，求 边上的中线 的取值范围．
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长 到E，使得 ；②连接 ，通过三角形全等把 转化在 中；
③利用三角形的三边关系可得 的取值范围为 ，从而得到 的取值范围是 ．
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散
的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（2）如图2， 是 中线， 是 的中线，且 ，下列四个选项中：
直接写出所有正确选项的序号是 ．
① ；② ；③ ；④ ；
【问题拓展】
（3）如图3， ， 与 互补，连接 ，E是 的中点，求证：
．
（4）如图4，在（3）的条件下，若 ，延长 交 于点F， ， ，求 的
面积．31．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图1，在 中， ，点D在 的延长
线上，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，若点F为 的中点， 的延长线交 于点G，求证： ；
(3)在（2）的条件下，若 ，求 的面积．
32．（20-21七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形 中， ，
， ．点P从点A出发，以 的速度沿AB向点B匀速运动．设运动时间为
．
(1)如图①，连接BD、 ．当 时，求t的值；
(2)如图②，当点P开始运动时，点Q同时从点C出发，以 的速度沿CB向点B匀速运动．当P，Q
两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当 与 全等时，求a和t的值；
(3)如图③，点Q从点C出发，以 的速度沿CB向点B匀速运动，点M同时从点D出发以 的
速度沿DA向点A运动，当Q、M两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．连接 ，交
于点E．连接 ，当 时， ，请求出此时a的值．
压轴满分题九、角平分线的性质
33．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）综合与实践【情境再现】
如图①， 的平分线与 的外角 的平分线相交于点 ．
【提出问题】
（1）试说明 与 满足怎样的数量关系，请写出证明过程．
【数学感悟】
（2）如图②，在 中， 是 上一点，将 沿 翻折得到 与 相交
于点 ．延长 交 于点 ，若 平分 ， 平分 ，求 的度数．
【学以致用】
（3）如图③，在四边形 中， 平分 ，若 ，求 的
度数．
34．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在 中， 平分 ， 平分 ， 与 交
于点O．
(1)如图1，若 ，直接写出 的大小为__________；
(2)如图2，若 ，求证： ；
(3)如图3，若 ， ，则 __________．
35．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）（1）【问题解决】
如图①， ， 平分 ， 点 F在 上， 的两边分别与 ，
交于点 D， E． 当 ， 时，则 与 的数量关系为 ；
（2）【问题探究】如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线 ， ，分别交 ， 于点 M， N，
判断 与 的数量关系， 说明理由；
（3）【迁移应用】
某学校有一块四边形的空地 ，如图③所示， ， 是 的平分线，
， ，直接写出该空地的面积．
36．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在锐角三角形 中， ，AD是角平分线，
分别是 ， 的高，点E在 上，且 ，动点F在边 上（不包括两端点），
连接 ．
【问题感知】
(1)填空： （填“ ”，“ ”或“ ”）；
【探究发现】
(2)若 ，小杰经过探究，得到结论： ．请你帮小杰证明此结论；
【类比探究】
(3)若 ，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
【拓展提升】
(4)已知 ， ， ，若点E关于DF的对称点 落在边AC上，连接 ，请直接写出
的面积．
压轴满分题十、轴对称37．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在 中， ， 为 边上一动点，
为 外一点，且 在线段 的两侧， ， ．
(1)如图2，当 时，在线段 上取一点 ，使 ．
①求证： ；
②若 ，求 的面积；
(2)若点 与点 关于线段 成轴对称，且 与 其中的一条直角边垂直，求 的度数．
38．（24-25八年级上·浙江金华·开学考试）如图1，将一张宽度相等的纸条（ ）按如图所示方式
折叠，记点C，D的对应点分别为 ， ，折痕为 ，且 交 于点G．
(1)若 ，则 ______度．
(2)如图 ，在（1）的条件下，将四边形 沿 向下翻折，记 ， 的对应点分别为 ， ．再
将长方形 沿着 翻折，记 的对应点分别为 ， ，折痕为 （点 在 上，点 在
上）．若 ，求 的度数．
(3)如图 ，分别作 ， 的平分线交于点 ，连结 作 的平分线交 于点
，延长 交 于点 ．若 ， 比 多27°，求 的度数
39．（23-24七年级上·福建福州·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片 ，如图
1，点 在边 上，点 ， 分别在边 ， 上，分别沿 ， 把 ， 向内折叠并压平，点
， 分别落在点 和点 处．
小明同学的操作如图2，点 在线段 上；
小红同学的操作如图3，点 在 上，点 在 上．(1)在图1中，若 ，求 的度数；
(2)直接写出图2和图3中 的度数；
(3)若折叠后 ， 求 的度数(用含 的代数式表示)．
40．（22-23八年级上·北京丰台·期末）如图，在 中， ， ，射线 ， 的夹
角为 ，过点 作 于点 ，直线 交 于点 ，连接 ．
(1)如图1，射线 ， 都在 的内部．
①设 ，则 （用含有 的式子表示）；
②作点 关于直线 的对称点 ，则线段 与图1中已有线段 的长度相等；
(2)如图2，射线 在 的内部，射线 在 的外部，其他条件不变，用等式表示线段 ，
， 之间的数量关系，并证明．
压轴满分题十一、线段的垂直平分线
41．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）在 中， ， ．若点D在 的平分线所
在的直线上．(1)如图1，当点D在 的外部时，过点D作 于E，作 交 的延长线于F，且
．
①求证：点D在 的垂直平分线上；
② ________；
(2)如图2，当点D在线段 上时，若 ， 平分 ，交 于点E，交 与点F，过点F
作 ，交 于点G．
① ________；
②若 ， ，求 的长度；
(3)如图3，过点A的直线 ，若 ， ，点D到 三边所在直线的距离相等，则点
D到直线l的距离是________．
42．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）（1）如图1，在 中， ， ， 是 边上
的中线，延长 到点 使 ，连结 ，把 ， ， 集中在 中，利用三角形三边关
系可得 的取值范围．请写出 的取值范围，并说明理由
（2）如图2，在 中， 是 边上的中线，点 ， 分别在 ， 上，且 ，求证：
．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长 到点 ，使 ……，
请你帮她完成证明过程．
（3）如图3，在四边形 中， 为钝角， 为锐角， ， ， ，
点 ， 分别在 ， 上，且 ，连结 ，试探索线段 ， ， 之间的数量关系，
并加以证明．
43．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，
请你和他们一起活动吧．(1)如图1，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．小聪同学是这样思考的；
延长 至 ，使 ，连接 ．利用全等将边 转化到 ，在 中利用三角形三边关系即
可求出中线 的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：______；中线 的
取值范围是________．
(2)如图2，在 中， ，点 是 的中点，点 在 边上，点 在 边上，若 ．
试说明： ．
(3)如图3，在 中，点 是 的中点， ， ，其中 ，连接 ，
探索 与 的关系，并说明理由．
44．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在 中， ， ， 是 的中点，求 边上的中线 的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长 到点 ，使 ，连接 ．根据________可以判定 ________，得出
________．
这样就能把线段 ， ， 集中在 中．利用三角形三边的关系，即可得出中线 的取值范围
是________．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决．
【问题解决】
（2）如图，在 中， 是 边上的中线， 是 上一点，且 ，延长 交 于点 ，
求证： ．
【拓展应用】
（3）如图3， 中， ， ， 是 的中线， ， ，且 ，
直接写出 的长．
压轴满分题十二、等腰三角形的判定与性质
45．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）（1） 如图1， 平分 ．点 为 上一点，过点
作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，可根据 证明 ．
（2）如图2，在 中， 平分 ， 于 ，若 ， ，通过（1）中
构造全等的办法，可求得 ．
（3） ①如图3， 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在 的延长
线上，试探究 和 的数量关系，并证明你的结论．
②如图4， 中， ， ，点 在线段 上， ， ，垂足为 ，
与 相交于点 ．若 的面积为64，求 的长．
46．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在 中， 、 是角平分线，交于 点．
(1)如图1，AD是高， ， ，直接写出 和 的度数．
(2)如图2，若 ， ，求 的度数．(3)如图3，若 ， ， ， ，直接写出 ．
47．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）【探究学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角
形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个
三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类
似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”．
【概念理解】
（1）如图1，在 中， ， 平分 ，则 与 （填“是”或
“不是”）互为“类似三角形”．
（2）如图2，在 中， 平分 ， ， ．求证： 为 的完美分割线；
【概念应用】
（3）在 中， ， 是 的完美分割线，直接写出 的度数．
48．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，小明同学分享了一道题，如图1，在 中，点 分别在 和 上，
且 ，求 的度数．
（1）解答小明同学提出的问题．
【深入探究】李老师提出，连接 交 于点 ，当 时， 与 有一定的数量关系；
（2）如图2，请你猜想 与 的数量关系并证明．
【拓展应用】兴趣小组在课余时间研究了这道题，并提出了新的问题，在（2）的条件下，若
，求 的长．
（3）请你解答兴趣小组提出的问题．
压轴满分题十三、等腰三角形的存在性
49．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，在 中， ， 为射线 上（不与 、
重合）一动点在 的右侧射线 的上方作 ，使得 ， ，连接 ．
(1)证明： ；
(2)延长 交 的延长线于点 ，若 ，
①利用（1）中的结论求出 的度数；
②当 是等腰三角形时， ______；
(3)当 在线段 上时，若线段 ， 面积为6，则四边形 周长的最小值是______．
50．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我
们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把
这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1， 是 的“双等腰线”， 、 是
的“三等腰线”．
(1)请在图2三个图中，分别画出 的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．
① ；② ， ；③ ，(2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是________．
(3)如图3， 中， ， ．画出 所有可能的“三等腰线”，使得对 取值范
围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补
充）
51．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对
应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为
“融通角”．
(1)①如图1，在 中， ，D是 上任意一点，则 与 “融通三角形”；（填
“是”或“不是”）
②如图2， 与 是“融通三角形”，其中 ，则 ．
(2)若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数．
(3)如图3，在四边形 中，对角线 ，且 与
是“融通三角形”， ，求 的长．
52．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）上海教育出版社七年级第二学期《练习部分》第60页习题14.6
（2）第5题及参考答案．
5．过下面三角形的一个顶点画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形：参考答案：
小华在完成了以上解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣，并提出了以下三个问题，请你解答：
【问题1】
如图1， 中， ，请设计一个方案把 分割成两个小三角形，其中
一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请
直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数（示意图画在答题卡上）；
【问题2】
如果有一个内角为 的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三
个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为
______；
【问题3】
如图2，在 中， ，在 中， ，分别用
一条直线分割这两个三角形，使 分割成的两个小三角形三个内角的度数与 分割成的两个小三
角形三个内角的度数分别相等，请设计两种不同的分割方案，直接画出示意图并标出相应的角的度数（示
意图画在答题卡上）．压轴满分题十四、等边三角形的判定与性质
53．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）已知在等边三角形 中，点E在 上，点D在 的延长线上，
且 ．
(1)【特殊情况，探索结论】
如图①，当点E为 的中点时，确定线段 与 的大小关系，请你直接写出结论： ______ （填
“＞”“＜”或“＝”）．
(2)【特例启发，解答题目】
如图②，当点E为AB边上任意一点时，确定线段 与 的大小关系，请你直接写出结论， ______
（填“＞”“＜”或“＝”）．
理由如下，过点E作 ，交 于点F（请你完成以下解答过程）．
(3)【拓展结论，设计新题】
在等边三角形 中，点E在直线 上，点D在 的延长线上，且 ，若 的边长为1，
，求 的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
54．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，射线 平分 ，在射线 ， 上分别
截取线段 ． ；使 ；在射线 上任取一点D，连接 ， ．则 与 的数量关系为
______．
（2）如图2，在 中， ， 平分 ，求证： ；
（3）如图3，在四边形 中， ， ， ，C为 边中点，若 平分 ， 平
分 ， ，求 的值．55．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在四边形 中，C是 边的中点．
(1)如图1，若 平分 ， ，则线段 满足数量关系是 ；
(2)如图2， 平分 ， 平分 ，若 ，则线段 ， ， ， 之间存在怎
样的数量关系？写出结论并证明；
(3)如图3， ， ， ，若 ，则线段 长度的最大值是 ．
56．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）已知，在等边三角形 中，点O在 上，点P在 的延
长线上，且 ．
(1)如图1，当点O为 的中点时，确定线段 与 的大小关系，请你直接写出结论；
(2)如图2，当点O为 边上任意一点，确定线段 与 的大小关系，请你写出结论，并说明理由；
(3)在等边三角形 中，点O在直线 上，点P在直线 上，且 ，若 的边长为2，
，求 的长．
压轴满分题十五、最短路径问题
57．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）教材呈现：以下是华师版八年级上册数学教材第94页的部分
内容．
线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线 是线段 的垂直
平分线，P是 上任一点，连结 ．将线段 沿直线 对折，我们发现 与 完全重合．由
此即有：
线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图1， ，垂足为点C、 ，点P是直线 上的任意一点．
求证： ．图中有两个直角三角形 和 ，只要证明这两个三角形全等，便可证得 ．
请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在 中， 的垂直平分线分别交 于点D、E，垂足分别为M，N， ，
直接写出 的周长为__________．
（2）如图③，在 中， ， ，E、P分别是 上任意一点，若 ，
的面积为30，直接写出 的最小值是__________．
58．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B
两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
(1)如图②，作出点A关于l的对称点 ，线段 与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气
站，所得路线 是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点 ，连接 ，
，证明 ．请完成这个证明；
(2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道
不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）．
59．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建
筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很
大的作用．【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使
A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．
【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作A关于直线m的对称点 ，连接 与直线m交于点C，点C就是所求的位置．
（1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：
证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结 ， ， ，
∵直线m是点A， 的对称轴，点C，D在m上，
∴ ， ，
∴ ．
在 中，
∵ ，
∴ ．
∴ ，即 最小．
（2）如图4，在等边 中，E是 上的点， 是 的平分线，P是 上的点，若 ，则
的最小值为 ．
【拓展应用】
（3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平
面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E
表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享
雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关
于 对称，请你用尺子在 上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)．60．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知线段 ，点C是平面内一动点，且 ，连接 ，将
线段 绕点B顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ， 交 于点E．
(1)如图1，若 ．
①求 的度数；
②如图2，作 的角平分线 交 于F，试探究线段 与 之间的数量关系，并说明理由；
(2)若 ，当 最长时，求 的长．
