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期中重难点真题特训之压轴满分题型（60题15个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
压轴满分题一、与三角形的高、中线与角平分线有关的计算
1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）【问题情境】
如图1， 是 的中线， 与 的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作 边上的
高 ，根据中线的定义可知 ．
又因为高 相同，所以 ，于是 ，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角
形的面积．
【深入探究】
（1）如图2， 的面积为4平方厘米，延长 到点 ，延长 到点 ，延长边 到点 ，使
， ， ，依次连接 得到 ，求 的面积．
【拓展延伸】（2）如图3．若四边形 的面积为 ，分别延长四边形 的各边，使得 ，
， ， ，依次连接 得到四边形 ．
①若 ，求四边形 的面积；（用含 的代数式表示）
②直接写出四边形 的面积（用含 的代数式表示）
【答案】（1）28；（2）① ；②
【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积计算、列代数式，解题的关键在于添加适当的辅助线，正确
表示出三角形面积．
（1）连接 ， ，根据三角形中线有关的面积计算出 、 、 、 ，再根据
计算即可得出答案；
（2）①连接 、 、 、 、 ，设 的面积为 、 的面积为 ，则 ，结合题意求出 ，同理可得： ，再根据
计算即可得出答案；②同①的方法计算即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，连接 ， ，
，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）①如图，连接 、 、 、 、 ，，
设 的面积为 、 的面积为 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ；
②如图，连接 、 、 、 、 ，
，
设 的面积为 、 的面积为 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ．
2．（23-24七年级下·广东惠州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A、 在坐标轴上，其中 ，
，且满足 ．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)将线段 平移到 ．点A的对应点是 ．点 的对应点是 ．且 、 两点也在坐标轴上，过
点 作直线 ，垂足为 ，交 于点 ．请在图1中画出图形，直接写出点 的坐标，并证明
；
(3)如图2，将 平移到 、点A对应点 ，连接 、 ， 交 轴于点 ，若 的面积
等于12，求点 的坐标及 的值．
【答案】(1)点A的坐标为 ，点 的坐标为
(2)图见解析， ，证明见解析
(3)点 的坐标为 ， 的值为
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求出a、b的值，即可得出答案；（2）根据平移得出 ， ，根据平行线的性质得出 ，即可得出
；根据点的坐标确定平移方式，然后再根据平移方式，求出点D的坐标即可．
（3）过点 作 轴于点 ，根据 的面积等于12，求出 即可；过 作 于 ，过
A作 于 ，根据 的面积等于12，求出 ，即可得出答案．
【详解】（1）解： ，
，且 ，
， ，
点A的坐标为(0,3)，点 的坐标为 ；
（2）解：如图1，由平移的性质可知： ， ，
，
∴ ，
∴ ，
；
∵将线段 平移到 ，点A(0,3)的对应点是 ．即将线段 向左平移4个单位，向下平移3个
单位；
故点 的对应点 ．
．
（3）解：如图2，过点 作 轴于点 ，由（1）可知，A、 两点的坐标为 ， ，
， ，
点 的坐标为 ，
， ，
的面积等于12，
，
，
即 ，
解得： ，
点 的坐标为 ；
过 作 于 ，过A作 于 ，
则 ， ， ， ，
，
的面积等于12，
，
即 ，
解得： ，
，，
即点 的坐标为 ， 的值为 ．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，三角形面积的计算，三角形全等的判定
和性质，平行线的性质，平移的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等，平移的性质．
3．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图所示，点 ，点B在y轴的正半轴上， ，点
是第一象限内一动点，且三角形 的面积为6，线段 与 交于点D．
(1)求三角形 的面积；
(2)若三角形 与三角形 的面积相等，求点C的坐标；
(3)将线段 沿射线 平移，得到线段 （点B与点A是对应点），连接 ，设三角形 的面积为
，三角形 的面积为 ， ，当 时，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3) ，且
【分析】本题考查了坐标与图形、整式的加减运算以及解不等式组，根据三角形的面积建立关系式是解题
的关键．
（1）根据题意可得出点B的坐标，再根据三角形面积公式即可得出答案；
（2）根据 得出 ，展开即可得出 ，再根据 ，将
值代入即可得出 ，从而得出点C的坐标；
（3）根据平移可得出 ，再根据 得出 ，然后根据得出 ，最后根据 列不等式，分类讨论求解即可得出答案．
【详解】（1）解： 点 ，
点B在y轴的正半轴上， ，
，
三角形 的面积为： ；
（2）解： ，
即
，
即
点 的坐标为： ；
（3）解：如图：， ，
，
，
，则
∵点C在第一象限，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 存在，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ，且 ，
∵ ，
∴ ，而 ，
∴ ，
①当 时， ，由 得， ，
解得： ，
∴ ；
②当 时， ，
符合 ，
综上所述： ，且 ．
4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系 中， ，
．
(1)求 两点的坐标；
(2)将AB平移到CD，点 的对应点 ．
①若 ，求 的值；
②若 三点在同一直线上时，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)①−2或 ；②
【分析】（1）根据绝对值，平方数的非负性即可求解；
（2）①根据图形平移的性质，点 对应点 ，可得向下平移 个单位，可得点 在直线
上，分类讨论 的情况，当 时；当 时；当点 共线时；当CD在AB直线
右边时；根据 ，图形结合分析面积的关系即可求解；②根据平移的性质，点 共线可确定CD的位置，在确定点 ，图形结合分析面积，即可
求解．
【详解】（1）解：已知 ，
∵ ，
∴ ，
解得， ， ，
∴ ；
（2）解：①点 ，平移后对应点 ，可得向下平移 个单位，
当 时，即点 在 的位置，点 ，如图所示，
∴ ，不符合题意，舍去；
当 时，即点 在 的位置，如图所示，过点 分别作 轴的平行线，分别交于点
，得矩形 ，∴ ， ， ， ， ， ，
∴ ，
，
解得， ，符合题意；
当 时，即点 在 的位置，如图所示，过点 作 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
，
解得， ，不符合题意；
如图所示，点 在 的位置，即 共线时，不符合题意；当CD在AB直线右边时，即点 在 的位置，点 在 右边，如图所示，过点 作 轴于点 ，
则 ，
∴ ，
，
解得， ；
综上所述，当 的值为−2或 ；
②∵点 平移后对应点 ，即点 在 的直线上，且点 三点共线，作图如下，
过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，∴点 向右平移 个单位，向下平移 个单位，且 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
解得， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查绝对值、平方数的非负性，坐标于图形的变换，图形平移的性质，几何图形面积与
坐标的位置关系的综合，理解题意，掌握坐标的性质，坐标与图形面积的计算方法是解题的关键，尤其注
意点 在直线 的直线上是解题的突破口．
压轴满分题二、三角形的内角
5．（2024八年级上·江苏·专题练习）在四边形 中， 的平分线交边 于点 ， 的平
分线交直线 于点 ．(1)当点O在四边形 的内部时．
①如图①，若 ， ， ，则 _______°，
(2)如图②，试探索 和 之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，当点 在四边形 的外部时，请你直接写出 和 之间的数量关系．
【答案】(1)125
(2) ，理由见解析
(3) ，理由见解析
【分析】（ ）由平行线可得 ， ，再根据 得出
，根据角平分线的定义即可得出 ，
，进而得出答案；
（ ）由平行线可得 ， ，再根据角平分线的定义即可得出
， ，又由外角的性质得出答案；
（ ）根据角平分线的定义得出 ， ，再根据四边形的内角和得出
，最后根据三角形的内角和得出答案即可；
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 的平分线交边 于点 ， 的平分线交直线 于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，∵ 的平分线交边 于点 ， 的平分线交直线 于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： ，理由如下：
∵ 的平分线交边 于点 ， 的平分线交直线 于点 ，
∴ ， ，
在四边形 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和，三角形内角和定理应用，掌握
以上知识点是解题的关键．
6．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在 中，点 在 上，过点 作 ，交
于点 ， 平分 ，交 的平分线于点 ， 与 相交于点 ， 的平分线 与
相交于点 ．(1)若 ， ，则 ___________°， ___________°；
(2)若 （其中 是固定值），当 的度数发生变化时， 的度数是否发生变化？若有变化，说明
理由；若不变化，求 的度数（用 的代数式表示）；
(3)若 中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的 的度数．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3) 或 或 或 ．
【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（3）设 ，由（ ）可知 ， ．再由 不变，即可分类讨论①当
时，②当 时，③当 时和④当 时，分别列出关于
的等式，解出 即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ；
∴ ．
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ．
∵ ，∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为： ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ．
∴
．
∴ ．
由（ ）可知 不变，
∴ ．
（3）解：设 ，
由（ ）可知 ， ．
∵ ，
∴可分类讨论：①当 时，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
②当 时，∴ ，
解得： ，
∴ ；
③当 时，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
④当 时，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
综上可知 或 或 或 ．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余，三角形内角和定理等知识．
利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
7．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图1，在 中，分别在 边上放置两三角形 和
，其中 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的度数；(3)如图2，在（2）问的条件下， 绕点 以 /秒的速度顺时针旋转得 ，同时 绕点
以 /秒的速度顺时针旋转得 ，当 旋转一周时，两三角形同时停止运动．当 时，
______秒．
【答案】(1)
(2)
(3)35或95或155
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质：
（1）根据三角形内角和定理分别求出 ， ，再根据角之间的关系求解即可；
（2）设 ，则 ， ，可得 ，再根据
建立方程求解即可；
（3）根据题意可得当把 看作不动时， 绕点 以 /秒的速度顺时针旋转得 ，
且要求 时t的值，即要求 时，t的值，如图所示，当 时，设 交于T，由
平行线的性质得到 ，由（2）可知 ，则 ，此时
；再 的基础上，再旋转90度或270度或450度时都有 ，据此求解即可.
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：设 ，则 ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；（3）解： 秒，即旋转总时间为200秒，
∵ 绕点 以 /秒的速度顺时针旋转得 ，同时 绕点 以 /秒的速度顺时针旋转得
，
∴当把 看作不动时， 绕点 以 /秒的速度顺时针旋转得 ，且要求
时t的值，即要求 时，t的值，
如图所示，当 时，设 交于T，
∴ ，
由（2）可知 ，
∴ ，
∴此时 ；
当在上图的基础上 绕点B旋转90度时，此时有 ，
∴ ；
在第35秒后， 继续绕点B旋转180度时，此时有 ，
∴ ；在第95秒后，继续旋转180度时，此时有 ，
∴ ；
在第155秒后，继续旋转180度时，此时有 ，
∴ ，不符合题意；
综上所述，当 时， 或 或 .
8．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在 中， ，D是 上一点，且
．
(1)求证：
(2)如图②，若 的平分线分别交 ， 于点E，F，求证： ；
(3)如图③，若E为 上一点， 交 于点F， ， ， ．
①求 的值；
②四边形 的面积是______．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)①3；②21
【分析】本题属于四边形的综合题，考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形的面积计算、
三角形的外角性质，得到 是解题的关键．
（1）根据直角三角形的性质、三角形内角和定理即可解决问题；
（2）根据角平分线的定义得到 ，根据三角形的外角性质计算，即可解决问题；
（3）①根据 ， ， ，可以求出 、 ，结合图形计算即可；②连接 ，设 ，根据三角形的面积公式列出方程，求出 ，把 代入计算得到答案．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
，
（2）证明： 平分 ，
，
， ，
而 ，
；
（3）① ， ， ，
， ，
；
②如图，连接 ，
设 ，
则 ，
，
，
，
，，
，
解得 ，
四边形 的面积 ，
故答案为：21．
压轴满分题三、三角形的外角
9．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与探究
如图1，在 中， ， 的平分线相交于点O，老师通过度量角的度数，计算后发现
．
(1)请你证明老师的发现；
(2)老师在学生完成后说：“如果将三角形内角平分线改成外角平分线会怎样呢？”
①“兴趣小组”提出问题：如图2， 的外角 ， 的平分线相交于点O，请猜想 与
之间的数量关系，并加以证明；
②“智慧小组”提出问题：如图3， 的外角 的平分线与内角 的平分线相交于点O，请
猜想 与 之间的数量关系（请直接写出数量关系式）．
【答案】(1)见解析
(2)① ，证明见解析；② ，证明见解析．
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用
等量代换思想是解题关键．
（1）根据角平分线的性质可以得到 ， ，再根据三角形的内角和定理得
到 和 的三个内角的和是 ，对角度进行等价代换即可证明结论；（2）①根据角平分线的性质可以得到 ， ，再根据三角形的内角和定理得
到 和 的三个内角的和是 ，最后再结合平角的性质对角度进行等价代换即可．②根据角平
分线的性质可以得到 ， ，再根据三角形外角的性质得到
和 ，最后对角度进行等价代换即可．
【详解】（1）证明：∵ ， 的平分线相交于点O，
∴ ， ，
∴
．
∴ ．
（2）解：①如图2： ，证明如下：
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴，
∴ ．
②如图3： ，证明如下：
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴
．
∴ ．
10．（21-22七年级下·江苏扬州·期中）已知 ， 平分 ，点A，B，C分别是射线 ，
， 上的动点（A，B，C不与点O重合），连接 ，连接 交射线 于点D，设 ．
(1)如图1，若 ，
① 的度数是_________；
②当 时， 的度数是_________；
当 时， 的度数是_________；
(2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图
2，若 ，延长 交射线 于点F，当四边形 为“完美四边形”时，求 的值．
【答案】(1)① ； ② ，(2) 的值是 或 或
【分析】（1）①先利用角的平分线的定义，得到 ，再根据两直线平行，内错角相等，
等量代换求得 的度数即可；
②当 时，根据①得 ，再根据两直线平行，同旁内角互补，求得
，结合 ；当 时，根据①得
， ，再根据两直线平行，同旁内角互补，求得 ，
结合 解答即可；
（2）利用分类思想，分 ； 三种情况解答即可．
【详解】（1）解：①∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②当 时，
根据①得 ，
∵ ，
∴ ；
∴ ，
∴ ；
当 时，根据①得 ， ，
∵ ，
∴ ；
∴ ，
∴ ，
故答案为：① ； ② ， ；
（2）①当 时，如图，∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②当点C在F左边， 时，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ；
③当点C在F右边， 时，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ；
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述，当四边形 为“完美四边形”时， 的值是 或 或 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理和三角形的外角性质的应用，垂直的定义，直角三
角形的性质，角的平分线定义，分类思想．本题利用角平分线的定义，三角形内角和定理求出的度数是关
键，注意分类讨论思想的运用．
11．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）下面是有关三角形内角、外角平分线的探究，阅读后请
按要求作答：
(1)如图1， 、 分别是 和 的平分线且相交于点 ，若 ，则 __________；
(2)如图2， 平分 ， 平分 ， 和 交于点 ，猜想 与 之间的数量关系，并说
明理由；
(3)如图3， ， 分别是 外角 和 的平分线且相交于点 ，直接写出 与 之间
的数量关系．
【答案】(1)
(2) ，见解析
(3)
【分析】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和是解题的关键．（1）先根据角平分线的性质得出 ， ，再由三角形内角和定理得出
，利用等量代换即可得出结论；
（2）先根据角平分线的性质得出 ， ，再由三角形外角的性质即可得出
结论；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出 与 ，
然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】（1）解： 、 分别平分 和 ，
， ，
，
,
，
故答案为： ；
（2）解： ，理由如下：
平分 ， 平分 ，，
， ．
是 的外角， 是 的外角，
∴ ，
又 ，
故答案为： ；（3）解： 与 是 的外角，
， ，
， 分别是 外角 和 的平分线，
， ．
，
，
，
，
，即 ．
12．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）在 中， ，D，E分别是边 ， 上的点
（点D不与点A，C重合，点E不与点A，B重合），P是平面内一动点（点P不与点D，B在同一直线
上）．设 ， ， ．
【类比思考】
（1）如图②，若点 P 在 的外部，则 之间有何关系? 写出你的结论，并说明理由．
【拓展探究】
（2）当点P 在边 的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并直接写出对应的
之间的关系式．
【答案】（1） ，理由见解析；（2）图见解析， 或
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质等，灵活运用定理进行计算是解题的关键．
（1）根据三角形外角的性质 ， ，求出 ， ， 之间的关系；
（2）画出符合条件的图形，根据图形和（1）的结论解答即可．
【详解】解：（1）结论： ，理由如下：如图1所示：
根据三角形外角的性质可知，
， ，
∵ ，
∴ ．
（2）如图2，
由外角的性质得：
， ，
∵ ，
∴ ．
如图3，
由外角的性质得：
， ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
综上所述， 或 ．压轴满分题四、多边形的内角和与外角和综合
13．（21-22七年级下·山东聊城·期末）在五边形ABCDE中， ， ， ．
(1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线；
(2)如图②，若 比 小 ，求出 的度数；
(3)如图③，若CP，DP分别平分 与 的外角，试求出 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据对角线的定义作出所有对角线即可；
（2）先根据多边形的内角和公式求得内角和，再求出∠C+∠D的度数，最后 求得∠D即可；
（3）先根据多边形内角结合外角的定义求得 ，然后根据角平分线的定义、等量代换、
角的和差解答即可．
【详解】（1）解：如图即为所求．
（2）解：五边形ABCDE的内角和为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
（3）解：五边形ABCDE的内角和为 ，
∵ ， ， ，∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∵CP平分 ，DP平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角、对角线以及角平分线的定义等知识点，灵活运
用多边形的内角和定理成为解答本题的关键．
14．（20-21七年级下·江苏苏州·期中）已如在四边形 中， ．
（1）如图1，若 ，则 ________．
（2）如图2，若 、 分别平分 、 ，判断 与 位置关系并证明理由．
（3）如图3，若 、 分别五等分 、 （即 ， ），则
_______．
【答案】（1）70°；（2）DE∥BF，证明见解析；（3）54°
【分析】（1）根据四边形内角和计算即可；
（2）根据平角的定义和等量代换可得∠MBC+∠CDN=180°，再根据角平分线的定义得到
∠CBF+∠CDE=90°，从而推出∠EDB+∠FBD=180°，可得结论；
（3）根据五等分得到∠CDP+∠CBP=36°，连接PC并延长，证明∠DCB=∠DPB+∠CBP+∠CDP，即可计算．
【详解】解：（1）∵∠A=∠C=90°，∠ABC=70°，
∴∠ADC=360°-90°-90°-70°=110°，
∴∠NDC=180°-110°=70°；（2）DE∥BF，如图，连接BD，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
且∠MBC+∠ABC=180°，∠CDN+∠ADC=180°，
∴∠MBC+∠CDN=180°，
∵∠CBF= ∠MBC，∠CDE= ∠CDN，
∴∠CBF+∠CDE=90°，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠EDB+∠FBD=∠CBF+∠CDE+∠CBD+∠CDB=180°，
∴DE∥BF；
（3）∵∠MBC+∠CDN=180°，
∴∠CDP+∠CBP= （∠MBC+∠CDN）=36°，
连接PC并延长，
∵∠DCE=∠CDP+∠CPD，∠BCE=∠CPB+∠CBP，
∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=∠DPB+∠CBP+∠CDP，
∴∠DPB=90°-36°=54°．
【点睛】本题考查多边形内角和与外角，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
15．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给
同学们解答几何题带来很大的便捷．
(1)初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是 ，请你给予证明．
(2)模型求解：如图2，线段 在四边形 内部，连接 、 ，相交于点O，请借助“8”字模型的
结论求： 的度数．
(3)构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出
的度数．
(4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、
“八角星”等，如图4“七角星 ”的七个内角和： ________ ；
猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
(4)540；
【分析】（1）根据“三角形内角和是 “，进行等量代换即可求解；
（2）利用“8”字模型和四边形内角和进行计算即可；
（3）连接 ，构造三角形和“8”字模型即可求解；
（4）连接 ，构造三角形、四边形和“8”字模型即可求出七角星内角和，再根据五角星内角和，找出规
律即可求出n角星内角和．
【详解】（1）解： ， ， ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知， ，
∴；
（3）解：连接 ，
由（1）得： ，
在 中， ，
即 ，
即五角星的五个内角之和为 ．
（4）解：连接 ，如图所示，
由（1）可得， ，
∴
；
∵五角星内角和 ，七角星内角和 ，
∴“n角星”的n个内角的和为 ，
故答案为：540； ．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和多边形内角和，根据题意作出辅助线构造三角形和“8”字模型
是解答此题的关键．
16．（24-25八年级上·湖南衡阳·开学考试）如图1，在 中， ．(1) 、 的平分线交于点O，则 的度数为_______；
(2) 的外角 、 的平分线交于点 ，则 的度数为_______；
(3) 与 的数量关系是_______；
(4)【问题深入】如图2，在 中， 、 的角平分线交于点O，将 沿 折叠使得点
A与点O重合，请直接写出 与 的一个等量关系式：
(5)如图3，过 的外角 、 的平分线的交点 ，作直线 交 于点P，交 于点Q，
当 时， 与 有怎样的数量关系？请直接写出结果．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5)
【分析】（1）由三角形内角和定理得到， ，再根据角平分线的定义，推出
，即可求出 的度数；
（2）根据三角形外角的定义，推出 ，再根据角平分线的定义，推出
，然后利用三角形内角和定理即可求出 的度数；
（3）根据（1）和（2）的结果即可得到答案；
（4）由折叠的性质可知， ， ，得到 ，
，再根据三角形内角和定理，推出 ，由（1）同理可证
，据此即可得到答案；
（5）根据多边形内角和与角平分线的定义，推出 ，再根据三角形外角的性质，得到，最后根据 ，即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
故答案为： ；
（2）解： ， ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
故答案为： ；
（3）解：由（1）和（2）可知， ， ，
，
故答案为：
（4）解： ，理由如下：
由折叠的性质可知， ， ，
， ，
，
，
由（1）同理可证， ，，
；
（5）解： 四边形 的内角和为 ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，多边形内角和，根据图形
找出角度之间的数量关系是解题关键．
压轴满分题五、全等三角形的判定与性质1
17．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在 中， ，高 相交于点
，且 ．
(1)求线段 的长；(2)动点 从点 出发，沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动，动点 从点 出发沿射线
以每秒4个单位长度的速度运动， 两点同时出发，当点 到达 点时， 两点同时停止运动．设
点 的运动时间为 秒，当 为何值时， ；
(3)在（2）的条件下，点 是直线 上的一点且 ．是否存在 值，使以点 为顶点的三角
形与以点 为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的 值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当 或 时， ；
(3) 或 时， 与 全等．
【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，利用方程的思想解题
是关键：
（1）只要证明 即可解决问题；
（2）分两种情形讨论：①当点Q在线段 上时， ，②当点Q在射线 上时， ，
分别列方程求解即可；
（3）分两种情形求解：①如图2中，当 时， ，②如图3中，当 时，
；再进一步建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图1中，
，
∵ 是高，
∴ ，
∵ 是高，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
由题意得，
， ，
①当点Q在线段 上时，， ，如图，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
②当点Q在射线 上时， ，如图，∵ ，
∴ ，
解得 ，
综上可知，当 或 时， ；
（3）解：存在，理由如下，
①如图2中，当 时，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
②如图3中，当 时，
∵ ， ，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
综上所述， 或 时， 与 全等．
18．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知 ．
【初步探究】（1）如图1， 为边 的中点，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ，求 与
的数量关系和位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】（2）如图2，若 ，过点 作 于点 ， 为边 上一点，过点 作 的
垂线交 的延长线于点 ，连接 ，若 ，试说明： ．
【答案】（1） ， ；理由见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据线段中点的定义得出 ，进而证明 ，根据全等三角形的性质，
平行线的判定，即可得出结论；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，证明 ， 得出 ，
，证明 ，得出 ，证明 ， 得出
，即可得证．【详解】（1）解： ， ，理由如下：
为边 的中点，
，
在 和 中，
， ， ，
，
， ，
．
（2）证明：如图，过点 作 交 的延长线于点 ，
∵ ，
，
在 和 中，
， ， ，
，
， ，
，
，
， ，
，
．
在 和 中，
， ，
，
，
，∴ ，
即 ，
∴ ，
在 和 中，
， ， ，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角
形，熟练掌握三角形全等的判定方法， ， ， ， ， ．
19．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图， 与 相交于点C，
，点P从点A出发，沿A→B→A方向以 的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以 的速
度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t
（s）．
(1)当 时，线段 的长度 _______ ，线段 的长度 _______ ；
(2)求证： ；
(3)连接 ，当线段 经过点C时，直接写出t的值；
(4)连接 ，当 的面积等于 面积的一半时，直接写出所有满足条件的t值．
【答案】(1)3，2
(2)见详解
(3) 或
(4) 或
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，一元一次方程的应用，解题的关键是注意不同时间段内点P的运动方向不同，需要分情况讨论．
（1）根据点P、Q的运动速度、运动时间、运动方向即可；
（2）先根据 证明 ，得出 ，根据内错角相等、两直线平行，即可证明
；
（3）根据全等三角形的性质得出 ， ，当线段 经过点C时，根据 可证
，推出 ，用含t的代数式表示 ，分情况列出等式，即可求解；
（4）由题意得，点 为 的中点，分类讨论，建立一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：当 时． ，
∵ ，P从点A出发，沿A→B→A方向以 的速度运动
∴P从点A出发，到达点 时，用时 ，然后从点 返回向点 运动 ，则路程为 ，
∴
故答案为：3，2；
（2）证明：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由（2）得 ，
∴ ， ，
当线段 经过点C时，如下所示：
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，点P从点A出发，沿A→B→A方向以 的速度匀速运动，
∴ 时，点P到达点B， 时，点P返回点A，
∵ ，
∴当 时， ，
解得 ；
当 时， ，
解得 ；
综上所述，t的值为 或 ．
（4）解：∵ ， 时，
∴ ，
则当点 从点 向 运动时， ，
∴ ；
当点 从点 向 运动时， ，
∴ ，
综上所述， 或3．
20．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）【问题背景】
在 中， 边上的高 交于点 ．【问题探究】
（1）如图1，求证： ；
（2）如图1，求证： ；
【拓展延伸】
（3）如图2，延长 到点 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，连接 ，已知 ，
为 上一点，连接 ，有 ，请判断 与AD是否平行，并说明理由．
【答案】[问题探究]（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解；
[拓展延伸]（3） ，理由见详解
【分析】[问题探究]（1）根据垂直的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质即可求证；
（2）根据（1）的结论，运用“角角边”证明 即可求证；
[拓展延伸]（3）根据题意，运用“边角边”可证 ，可得 ，根据 可
得 ，则 ，结合“同位角相等，两直线平行”即可求证．
【详解】[问题探究]
（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ；
（2）证明：由（1）可得 ，
在 中，
，∴ ，
∴ ；
[拓展延伸]
（3） ，理由如下，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查垂直的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，全等三角形的判定和性质，平行线
的判定和性质等知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
压轴满分题六、全等三角形的判定与性质2
21．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践
问题情境：
数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在 中， ，直线 过点 ，点 是直线
上两点．
独立思考：
（1）如图1，当直线 在 的外部，满足 时，试探究线段 与 之间
的数量关系，并说明理由；
拓展探究：
（2）如图2，当直线 经过 的内部，交 于点 ，且 ，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段 ， 与 之间的
数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当直线 经过 的内部，交 于点 ，且 ，满足
时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段 与 之间
的数量关系．
【答案】（1） ，见解析；（2） ，见解析；（3）（1）中结论不成立．线段
与 之间的数量关系为
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义，理解题意，熟练掌握全等三角形的
判定和性质是解题关键．
（1）根据三角形外角的性质及等量代换得出 ，再由全等三角形的判定和性质得出
， ，结合图形即可求解；
（2）同（1）中方法类似，利用全等三角形判定和性质求解即可；
（3）同（2）中方法类似，利用全等三角形判定和性质求解即可．
【详解】解：（1） ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）结论不成立， ，理由如下：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）结论不成立， ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
22．（23-24八年级上·河南信阳·期末）阅读下面材料：
学习了三角形全等的判定方法（即“ ”“ ”“ ”“ ” 和直角三角形全等的判定方
法（即“ ” 后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究
小聪将命题用符号语言表示为：在 和 中， ， ， ．
小聪的探究方法是对 分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
第一种情况：当 是直角时
如图1， 和 中， ， ， ，根据“ ”定理，可以知道
．
第二种情况：当 是锐角时
如图2， ， ，在射线 上有点 ，使 ，画出符合条件的点 ，则
和 的关系是 ；
．全等 ．不全等 ．不一定全等
第三种情况：当 是钝角时如图3，在 和 中， ， ， ．过点 作 边的垂线交 延长
线于点 ；同理过点 作 边的垂线交 延长线于 ，根据“ ”，可以知道 ，请补
全图形，进而证出 ．
【答案】第二种情况选C；理由见解析；第三种情况补全图见解析；理由见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．
第二种情况选C．画出图形即可判断．
第三种情况：先证明 ，推出 ，推出 ，再证明
即可．
【详解】解：第二种情况选C．
理由：由题意满足条件的点 有两个，故 和 不一定全等（如图所示）
故选：C．
第三种情况补全图．
证明：由
得， ，又在 和 中
，
，
，
，
又在 和 中
，
．
23．（22-23八年级上·贵州毕节·期末）如图①，在四边形 中， ，点E，F
分别是边 ， 上的点，且 ，求线段 之间的数量关系．小明提供了这样的
思路：延长 到点G，使 ，连接 ．
(1)根据小明的思路，请直接写出线段 之间的数量关系：___________；
(2)如图②，在四边形 中， ，点E，F分别是边 上的点，且
，（1）中的结论是否仍然成立说明理由．
(3)如图③，在四边形 中， ，点E，F分别是边 延长线上的点，且 ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关
系，并证明．
【答案】(1)
(2)（1）中的结论 仍然成立，理由见解析
(3)结论 不成立，应当是 ，理由见解析
【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．
（1）如图中，延长 到 ，使 ，连接 ．利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，如图中，延长 至M，使 ，连接 ．只不过
证明三角形 和 全等中，证明 时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．
因此与（1）的结果完全一样．
（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在 上截取 ，使
，连接 ．根据（1）的证法，我们可得出 ，那么
．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．
【详解】（1）解：如图中，延长 到G，使 ，连接 ，
， ，
．
．
．
．
又 ，
，
，
．
．故答案为： ；
（2）解：（1）中的结论 仍然成立．
证明：如图中，延长 至M，使 ，连接 ．
， ，
，
在 与 中，
，
．
．
，
．
，即 ．
在 与 中，
，
．
，即 ，
．
（3）解：结论 不成立，应当是 ．
证明：如图中，在 上截取 ，使 ，连接 ．， ，
．
在 与 中
，
．
．
．
．
，
∴ ．
，
，
．
24．（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴
负半轴和y轴正半轴上一点， ；(1)分别求出 A、B两点的坐标；
(2)点P 从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒． 点P在动过程中，若
，求此时t的值；
(3)在（2）的条件下，连接 ，过点A作 垂足为C，交y轴交于点M，在坐标平面内是否存在点
N，使以B、A、M为顶点的三角形与 全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，N点坐标为 或 或
【分析】（1）由 及面积关系，即可求得；
（2）由 ，得 ，由面积公式即可求得t的值；
（3）当 时，得 ；证明 ，则得 ，从而得 ；分三种情况
讨论：①当点N在 上，且 时，有 ，可得点N的坐标；②过点 A 作
轴于 A， 使得 ，连接 ，则可得 从而可得点 的坐标；③过点 B作
轴于B，使得 连接 ，与②同理得： ，从而可得点 的坐标；综
合起来即可得到点N的坐标．
【详解】（1）解∶ ，
，
或 （舍），
；
（2）解：由题意知： ，
，
，
，，
，
；
（3）解：当 时， ；
轴⊥ 轴，
，
，
，
在 中， ，
，
，
；
在 和 中，
，
．
，
；
①当点N在 上，且 时，
则 ，且 ，
，
；
，
，
；
②过点 A 作 轴于 A， 使得 连接 ，
， ，
，
，
，，
则
轴，
，
，
；
③过点 B作 轴于B，使得 连接 ，
与②同理得： ，
轴， ，
；
综上所述，在坐标平面内存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与 全等， N点坐标为 或
或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，
注意分类讨论．
压轴满分题七、全等三角形的模型
25．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，
在 中， ， 是 的中点，求 边上的中线 的取值范围．
【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长 到点 ，使
，连接 ．根据SAS可以判定 ，得出 ．这样就能把线段 、 、
集中在 中．利用三角形三边的关系，即可得出中线 的取值范围是________．（提示：不等
式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若 ，则 ．）【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在 中， 是 边上的一
点， 是 的中线， ，
试说明： ；
【问题拓展】（3）如图3， 是 的中线，过点 分别向外作 、 ，使得 ，
，判断线段 与 的数量关系与位置关系，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） ，见解析
【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系
等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题．
（1）延长 到点 ，使 ，根据 定理证明 ，可得结论；
（2）延长 到点F，使得 ，连接 ．证明 ，得出 ，
得出 ，得出 ，即可证明结论．
（3）延长 ，使 ，连接BM，证明 ，得出 ， ，证
明 ，得出 ，再进一步证明 ，即可证明结论．
【详解】解：（1）如图1，延长 到点 ，使 ，
∵ 是 的中点，，
，
，
，
在 中， ，
，
；
（2）如图2，延长 至点 ，使得 ，连接 ，则 ，
∵ 是 的中点
∴
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴∴
（3） ，
理由：如图3，延长 交 于点 ，延长 到 ，使得 ，连接 ，
由（1）可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（2）可知， // ，
∴ ，
∵ 、 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∵∴ ，
∴ ．
26．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景：如图1，在四边形 中，
， E、F分别是 上的点，且 ，探究图中线段
之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长 到点G，使 ．连接 ，
先证明 ，再证明 ，可得出结论．他的结论应是______________________．
（2）如图2，在四边形 中， 分别是边 ， 上的点，且
．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程．
（3）在四边形 中， ，E，F分别是边 所在直线上的点，且
．请直接写出线段 之间的数量关系．
【答案】（1） （2）仍然成立，过程见详解（3） 或 或
；
【分析】（1）如图1，延长 到点G，使 ．连接 ，先证明 ，再证明
，可得 ，再结合线段和差关系，即可解题；
（2）如图2，与（1）同理可得： ；
（3）如图3，作辅助线，构建 ，同理证明 和 ．可得新的结论：
．
本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出 是解题关键，再利用全等三角形的判
定与性质得出 ，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题．
【详解】解：（1）如图1，延长 到点G，使 ．连接 ，∵
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
则 ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
即 ，
故答案为： ；
（2）（1）中的结论 仍然成立．
理由是：如图2，延长 到 ，使 ，连接 ．
， ，
，
在 与 中，
，，
， ，
．
．
又 ，
，
．
．
，
（3）① ．
证明：在 上截取 ，使 ，连接 ．
， ，
．
在 与 中，
，
，
， ．
．
．
，
易证 ，
，
，
．② ．
证明：在 上截取 ，
同第一种情况方法，证明 ，
证明 ，
；
③由（1）、（2）可知， ；
④如图，点 在 延长线上，点 在 延长线，此时线段 ， ， 之间并无直接数量关系．
综上， 或 或 ；
故答案为： 或 或 ；
27．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形 中， ，
， ， 、 分别是 、 上的点，且 ，探究图中 、 、
之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明：
，再证明 ，可得出结论，他的结论应是 ；
【灵活运用】（2）如图2，若在四边形 中， ， ， ， 、 分别是 、 上的点，且 ，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，在四边形 中， ， ，若点 在 的延长线上，
点 在 的延长线上，满足 ，请判断 与 的数量关系．并证明你的结论．
【答案】（1） ；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解答过程；（3）
．理由见解答过程．
证明见解析
【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决
问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角
的补角相等．
（1）根据 可判定 ，进而得出 ， ，再根据 判定
，可得出 ，据此得出结论；
（2）延长 到点 ，使 ，连接 ，先根据 判定 ，进而得出
， ，再根据 判定 ，可得出 ；
（3）在 延长线上取一点 ，使得 ，连接 ，先根据 判定 ，再根据
判定 ，得出 ，最后根据 ，推导得到
，即可得出结论．
【详解】解：（1） ．理由如下：
如图1，延长 到点 ，使 ，连接 ，，
，
又 ，
，
在 与 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
即 ，
；
在 与 中，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）（1）中的结论仍成立，理由如下：如图2，延长 到点 ，使 ，连接 ，
， ，
，
又 ，
，
， ，
， ，
，
，
，
又 ，
，
；
（3） ．
证明：如图3，延长 到点 ，使 ，连接 ，
， ，
，
在 与 中，，
，
， ，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，
，
即 ，
．
28．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本
图形．
(1)如图1．已知：在 中， ， ，直线l经过点A， 直线l， 直线l，垂
足分别为点D、E．证明： ．
(2)组员小明对图2进行了探究，若 ， ，直线l经过点A． 直线l， 直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段 、 、 之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段 、
、 之间的数量关系，
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
如图3，过 的边 、 向外作正方形 和正方形 （正方形的4条边都相等，4个角都
是直角）， 是 边上的高，延长 交 于点 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据 直线l， 直线l， ，可得 ，利用 可证明
，根据 即可得到 ；
（2）同（1）利用 可证明 ，根据 即可得到 ；
（3）过 作 于 ， 的延长线于 ，可构造两组一线三直角全等模型，即：
， ，从而可以得到 ， ，再根据 可得
，即可确定 的长度；
【详解】（1）证明：∵ 直线l， 直线l，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴
∴ ， ，
∴ ；
（2）∵ 直线l， 直线l，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴
∴ ， ，
∴ ；
（3）如图，过 作 于 ， 的延长线于 ，
∴
∵ ， ，
∴
在 和 中，
，
∴
∴ ， ，
同理可得：
∴ ， ，
即： ， ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的
计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键．
压轴满分题八、全等三角形的综合
29．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在 中， ， ，射线 ，
的夹角为 ，过点 作 于点F，直线 交 于点 ，连接 ．
(1)如图1，射线 ， 都在 的内部．
①设 ，则 （用含 的式子表示）；
②作点 关于直线 的对称点 ，求证： ；
(2)如图2，射线 在 的内部，射线 在 的外部，其他条件不变，用等式表示线段 ，
， 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)① ；②见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质，轴对称的性质是解题的关键．
（1）①根据 ，可求 ；②连接 ，证明
，即可得 ．（2）作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，设 ，证明 ，即可
得 ．
【详解】（1）解：① ， ，
，
，
；
故答案为： ；
②证明：如图，连接 ，
依题意得， 与 成轴对称，
， ，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
．
；
（2） ；
证明：如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，易得， 与 成轴对称，
， ， ，
，
，
设 ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
30．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图
1，在 中， ， ，求 边上的中线 的取值范围．【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长 到E，使得 ；
②连接 ，通过三角形全等把 转化在 中；
③利用三角形的三边关系可得 的取值范围为 ，从而得到 的取值范围是 ．
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散
的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（2）如图2， 是 中线， 是 的中线，且 ，下列四个选项中：
直接写出所有正确选项的序号是 ．
① ；② ；③ ；④ ；
【问题拓展】
（3）如图3， ， 与 互补，连接 ，E是 的中点，求证：
．
（4）如图4，在（3）的条件下，若 ，延长 交 于点F， ， ，求 的
面积．【答案】（1） ；（2）①④；（3）见解析；（4）
【分析】（1）由题意知， ，则 ， ， ，由
，可得 ，求解作答即可；
（2）如图2，延长 到 ，使 ，连接 ，证明 ，则 ，
， ，由 ， ，
可得 ，进而可证 ，则 ， ，可判断①、④
的正误；由 ，可知当 时， ，由 ， 的关系未知，
可判断②、③的正误；
（3）如图3，延长 到点P，使 ，连接 ，证明 ，则
，可证 ，则 ，由 与 互补，可得
，则 ，证明 ，可得 ，进而可得
；
（4）如图4，由 ， ，可得 ， ，
，由 ，可得 ，即
， ，由 ，根据 ，求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意知， ，
∴ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，即 ，
故答案为： ；
（2）解：如图2，延长 到 ，使 ，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，①④正确，故符合要求；
∵ ，
∴当 时， ，
∵ ， 的关系未知，
∴②③错误，故不符合要求；
故答案为：①④；
（3）证明：如图3，延长 到点P，使 ，连接 ，
∵E是 的中点，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 互补，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（4） 解：如图4，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，平行线的判
定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，平行
线的判定与性质是解题的关键．
31．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图1，在 中， ，点D在 的延长
线上，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，若点F为 的中点， 的延长线交 于点G，求证： ；
(3)在（2）的条件下，若 ，求 的面积．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)80
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是
解答本题的关键．
（1）根据 ，可得 ，然后根据 ，可证明
，继而可得出 ；
（2）延长 至 ，使 ，连接 ，证 ，可得出 ，证
，从而证得 ，通过 ，得到 ；
（3）求出 ，由（2）可求出 ，则 的面积可求出．
【详解】（1）证明：∵ ，
，
，
在 和 中，，
，
；
（2）证明：延长 至 ，使 ，连接 ，
在 与 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，∴ ，
，
，
，
，
即 ；
（3）解：如图，∵ ，
，
，
，
，
，
．
32．（20-21七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形 中， ，
， ．点P从点A出发，以 的速度沿AB向点B匀速运动．设运动时间为
．
(1)如图①，连接BD、 ．当 时，求t的值；
(2)如图②，当点P开始运动时，点Q同时从点C出发，以 的速度沿CB向点B匀速运动．当P，Q
两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当 与 全等时，求a和t的值；
(3)如图③，点Q从点C出发，以 的速度沿CB向点B匀速运动，点M同时从点D出发以 的
速度沿DA向点A运动，当Q、M两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．连接 ，交于点E．连接 ，当 时， ，请求出此时a的值．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3) ．
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ，根据线段的和差求出 ，
据此可求解；
（2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解；
（3）由 ，可求 的值，由面积和差关系可求 ，可求 的值．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
；
（2）若 ，
∴ ，
∵
，，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
若 ，
∴ ,
∴ ,
，
∵ ，
，
∴ ；
综上所述: ， 或 ；
（3）如图③, 连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，直角三角形的性质，
利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
压轴满分题九、角平分线的性质
33．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）综合与实践
【情境再现】
如图①， 的平分线与 的外角 的平分线相交于点 ．
【提出问题】
（1）试说明 与 满足怎样的数量关系，请写出证明过程．
【数学感悟】
（2）如图②，在 中， 是 上一点，将 沿 翻折得到 与 相交
于点 ．延长 交 于点 ，若 平分 ， 平分 ，求 的度数．
【学以致用】
（3）如图③，在四边形 中， 平分 ，若 ，求 的度数．
【答案】（1） ，证明见解析；（2） ； （3） ．
【分析】（1）由角平分线得 ， ，再由三角形的外角性质得
， ，进而得 ，即可得证；
（2）延长AD到 ，如图，由角平分线的定义得DE平分 ，进而由（ ）得 ，再根据折
叠及直角三角形的性质即可得解；
（3）过点 作 ， ， ，垂足分别为 、 、 ，由 ，
，得CD平分 ，进而得由（ ）得 ，
，再根据角平分线的性质定理及判定定理即可得解．
【详解】解：（1）∠ ，
证明：∵ 平分 ，CE平分 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）延长AD到 ，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴DE平分 ，
∵ 平分 ，
∴由（1）得 ，
由折叠得 ，
∴ ，
∵ ，∴ ；
（3）过点 作 ， ， ，垂足分别为 、 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴CD平分 ，
∵ 平分 ，
∴由（ ）得 ，
∴ ，
∵ 平分 平分 ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴AD平分 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理及判定定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，邻补角
性质，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键．
34．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在 中， 平分 ， 平分 ， 与 交
于点O．
(1)如图1，若 ，直接写出 的大小为__________；(2)如图2，若 ，求证： ；
(3)如图3，若 ， ，则 __________．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用三角形内角和及角平分线的定义求出即可；
（2）过点O作 ， ， ，证明 ，得到 ，
， ，得到 ， ，即可得到结论，
（3）在 上截取 ， ，连接 ， ，作 ， ，由 ，
平分 ， 平分 ，得到 ， ，由 ，得到
，设 ， ，由 ， ，得到
， ， ， ，进而得到 ，
，根据角平分线的性质定理，得到
，由 ， ，得到 ，根
据 即可求解，
本题考查了，角平分线的性质定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：等高三角形的面积比等于
底边之比．
【详解】（1）解：在 中， ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
（2）解：过点O作 ， ， ，垂足分别为 ， ， ，在 中， ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在四边形 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，（3）解：在 上截取 ， 连接 ， ，过点 作 于 ， 于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴设 ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
同理可证， ， ， ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ．
35．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）（1）【问题解决】
如图①， ， 平分 ， 点 F在 上， 的两边分别与 ，
交于点 D， E． 当 ， 时，则 与 的数量关系为 ；
（2）【问题探究】
如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线 ， ，分别交 ， 于点 M， N，
判断 与 的数量关系， 说明理由；
（3）【迁移应用】
某学校有一块四边形的空地 ，如图③所示， ， 是 的平分线，
， ，直接写出该空地的面积．
【答案】（1） ；（2） ，理由见详解；（3）
【分析】（1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得 ；
（2）先根据四边形内角和等于 可得 ，由 可得 ，再
根据 证明 ，则可得 ；
（3）过C点作 于E点， 的延长线于F点．由（2）得 ，则可得 ，
，进而可得 ．证明 ，则可得 ，由 、
可求得 的长，进而可得 、 的长，由此可得 的值，即可得 的值．
【详解】（1）解：∵ 平分 ， 点 F在 上，且 ， ，
∴ ．
（2）解： ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 中， ，∴ ，
∴ ，
又 ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
（3）解：如图，过C点作 于E点， 的延长线于F点，
由（2）得 ，
， ，
，
∵ 是 的平分线，
，
又 ， ，
，
，
又 ，
，
，
解得 ，
，，
，
答：该空地的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅
助线是解题的关键．
36．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在锐角三角形 中， ，AD是角平分线，
分别是 ， 的高，点E在 上，且 ，动点F在边 上（不包括两端点），
连接 ．
【问题感知】
(1)填空： （填“ ”，“ ”或“ ”）；
【探究发现】
(2)若 ，小杰经过探究，得到结论： ．请你帮小杰证明此结论；
【类比探究】
(3)若 ，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
【拓展提升】
(4)已知 ， ， ，若点E关于DF的对称点 落在边AC上，连接 ，请直接写出
的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
(4) 或
【分析】（1）由角平分线的性质定理可得 ；
（2）作 于点 可证明 ，再证明 得到 ；（3）延长 交 的延长线于点 ，证明 ，得 ，从而得 ，再由角
平分线的判定可得 ．
（4）分两种情况讨论： 和 时，分别画出图形，求出 和 ，得
的面积．
【详解】（1）∵ 平分 ， ， 分别是 ， 的高
∴ ．
故答案为： ．
（2）证明：如图1，作 于点 ，
在 和 中
，
∴ （ ），
∴ ．
又由（1）知 ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ （ ），
∴ ．
（3）成立，
证明：如图2，
∵ ，∴ ，
延长 交 的延长线于点 ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ （ ）
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ 平分 ，
∴ ．
（4）当 时，如图3，在线段 上取点 ，使得 ．∵ ，
∴点 是点 关于 的对称点，
∴ ，
∴ ，
可得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
当 时，如图4，
在线段 上取点 ，使得 ，
同理可得 ， ，
∴ ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定，关键是解决拓展提升时，要分
和 两种情况讨论．压轴满分题十、轴对称
37．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在 中， ， 为 边上一动点，
为 外一点，且 在线段 的两侧， ， ．
(1)如图2，当 时，在线段 上取一点 ，使 ．
①求证： ；
②若 ，求 的面积；
(2)若点 与点 关于线段 成轴对称，且 与 其中的一条直角边垂直，求 的度数．
【答案】(1)①见解析；②64
(2) 或
【分析】（1）①利用余角的性质可得出 ，然后利用 证明 ，再利用全等三
角形的性质即可得证；
②利用三角形面积公式求出 的面积，然后利用全等三角形的性质求解即可；
（2）分 、 两种情况讨论即可．
【详解】（1）①证明：∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ；
②解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；（2）解：∵点 与点 关于线段 成轴对称，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 时，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上， 的度数为 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的判定与性质，折叠的性质，三角形
的内角和定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．38．（24-25八年级上·浙江金华·开学考试）如图1，将一张宽度相等的纸条（ ）按如图所示方式
折叠，记点C，D的对应点分别为 ， ，折痕为 ，且 交 于点G．
(1)若 ，则 ______度．
(2)如图 ，在（1）的条件下，将四边形 沿 向下翻折，记 ， 的对应点分别为 ， ．再
将长方形 沿着 翻折，记 的对应点分别为 ， ，折痕为 （点 在 上，点 在
上）．若 ，求 的度数．
(3)如图 ，分别作 ， 的平分线交于点 ，连结 作 的平分线交 于点
，延长 交 于点 ．若 ， 比 多27°，求 的度数
【答案】(1)26
(2) 或
(3)
【分析】（1）根据对顶角和平行线的性质可得 ，再由折叠的性质可得
，即可求出 的度数．
（2）根据题意可分成两种情况，当 向下翻折时，当 向上翻折时，根据平行线的性质和折叠的性质，
即可求出 的度数．
（3）补全图形后，设 ，则 ，根据折叠的性质和平行线的性质，可得
，即 ，代入数值解得 ，根据对顶角，角平分线的性质，平行
线的性质，外角的性质，三角形内角和的性质，即可求出 的度数．
【详解】（1） ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴根据折叠的性质可得 ，，
∴
故答案为 ．
（2）当 向下翻折时，根据题意补充全图，如下图所示：
， ，
∵
，
∴根据折叠的性质可得 ，
，
∵再根据折叠的性质可得 ，
，
∴
，
∴
根据折叠的性质可得 ，
，
∵
．
∴
当 向上翻折时， 交 与点 ，如图所示：
由上可得
∵
∴
根据折叠的性质可得 ，
综上可得 的度数为 或 ．（3）补全图形，如下图所示：
设 ，则 ，
根据折叠的性质可得 ，
，
∵ ，
∴根据折叠的性质可得 ，
，
∴解得 ，
，
∴ ，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
， ，
∴
，
∵
，
∴
，
∵ ，
∴ ，
∵
，
∴
，
∴，
∵
．
∴
【点睛】本题考查了平行线的的性质、折叠的性质、对顶角性质、角平分线的性质、外角的性质、三角形
内角和的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
39．（23-24七年级上·福建福州·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片 ，如图
1，点 在边 上，点 ， 分别在边 ， 上，分别沿 ， 把 ， 向内折叠并压平，点
， 分别落在点 和点 处．
小明同学的操作如图2，点 在线段 上；
小红同学的操作如图3，点 在 上，点 在 上．
(1)在图1中，若 ，求 的度数；
(2)直接写出图2和图3中 的度数；
(3)若折叠后 ， 求 的度数(用含 的代数式表示)．
【答案】(1)
(2)图2中， ；图3中，
(3) 或
【分析】本题考查了折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关
键．
（1）根据折叠的性质可得 ，即可求解．
（2）图2根据折叠的性质得 ， ，从而可得 ，即
可求解；图3根据折叠的性质可得 ，再由 ，即可
求解；
（3）分两种情况：先表示出 的度数，再根据和 进行求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
由折叠的性质得： ，
，
；
（2）解：图2中，由折叠的性质得： ， ，
，
，
，
即 ，
；
图3中，由折叠的性质得： ， ，
，
，
，
即 ；
（3）解：分两种情况进行讨论：
①当 与 不重叠时，如图1所示：
由折叠的性质得： ， ，
，
，
即 ，
，；
②当 与 重叠时，如图4所示：
由折叠的性质得： ， ，
，
又 ，
，
即 ，
．
综上所述： 的度数为 或 ．
40．（22-23八年级上·北京丰台·期末）如图，在 中， ， ，射线 ， 的夹
角为 ，过点 作 于点 ，直线 交 于点 ，连接 ．
(1)如图1，射线 ， 都在 的内部．
①设 ，则 （用含有 的式子表示）；
②作点 关于直线 的对称点 ，则线段 与图1中已有线段 的长度相等；
(2)如图2，射线 在 的内部，射线 在 的外部，其他条件不变，用等式表示线段 ，
， 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)① ；②(2) ，证明见详解
【分析】（1）①根据 ，即可获得答案；
②连接 ，证明 ，即可获得答案；
（2）作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，设 ，证明 ，由全
等三角形的性质可得 ，即可获得结论．
【详解】（1）解：①∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②如下图，连接 ，
由对称的性质可得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
故答案为：① ；② ；
（2） ，证明如下：
作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，如下图，由对称的性质可得 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
压轴满分题十一、线段的垂直平分线
41．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）在 中， ， ．若点D在 的平分线所
在的直线上．(1)如图1，当点D在 的外部时，过点D作 于E，作 交 的延长线于F，且
．
①求证：点D在 的垂直平分线上；
② ________；
(2)如图2，当点D在线段 上时，若 ， 平分 ，交 于点E，交 与点F，过点F
作 ，交 于点G．
① ________；
②若 ， ，求 的长度；
(3)如图3，过点A的直线 ，若 ， ，点D到 三边所在直线的距离相等，则点
D到直线l的距离是________．
【答案】(1)①见解析；②1
(2)① ；②
(3)2或6．
【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质
定理是解决问题的关键．
（1）①点D在 的平分线所在的直线上, 过点D作 于E，作 交 的延长线于
F，得出 ，借助 ，得到 ，即可证明点D在 的垂直平分线上；
②通过 证出 ，从而有 ，即可得出 ；
（2）①先利用角平分线的定义求得 ，再利用三角形的外角性质求得
，即可求解；
②延长 交 于H，证明 ，得到 ，再由 ，即可求解；
（3）分2种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可．
【详解】（1）①证明：连接 ，
∵点D在 的平分线所在的直线上, 过点D作 于E，作 交 的延长线于F，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴点D在 的垂直平分线上；
②由①知： ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：1；
（2）①∵ 平分 ， 平分 ， ，∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ；
故答案为： ；
②延长 交 于H，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）当点D在 内部时，如图：∵ ，
∴ ，
∴ ，
点D到直线l的距离是 ；
当点D在 的下方时，如图：
设点D到三边的距离为x，
由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
点D到直线l的距离是 ；
综上，点D到直线l的距离是2或6．
故答案为：2或6．
42．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）（1）如图1，在 中， ， ， 是 边上
的中线，延长 到点 使 ，连结 ，把 ， ， 集中在 中，利用三角形三边关
系可得 的取值范围．请写出 的取值范围，并说明理由
（2）如图2，在 中， 是 边上的中线，点 ， 分别在 ， 上，且 ，求证：
．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长 到点 ，使 ……，
请你帮她完成证明过程．
（3）如图3，在四边形 中， 为钝角， 为锐角， ， ， ，
点 ， 分别在 ， 上，且 ，连结 ，试探索线段 ， ， 之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1） ，见解析；（2）见解析；（3） ，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系等知识．
（1）证明 ，推出 ，在 中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
（2）如图2中，延长 到 ，使得 ，连接 ， ．证明 ，推出
，再证明 ，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）结论： ．延长 到 ，使得 ，通过两次全等证明 ， 即可
解决问题．
【详解】（1）解： 是 边上的中线，
，
， ，
，
，
∵ ，
，
∵在 ， ，且 ，
∴ ，
∵ ，
，
；
（2）证明：延长 到 ，使得 ，连结 ， ．∵ 是 边上的中线，
∴ ，
∵在 和 中，
，
，
∵ ， ，
，
∵在 中， ，
；
（3）解：结论： ．理由如下：
延长 到 ，使得 ，
， ，
，
， ，
，
， ，
， ，，
，
，
，
，
，
．
43．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，
请你和他们一起活动吧．
(1)如图1，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．小聪同学是这样思考的；
延长 至 ，使 ，连接 ．利用全等将边 转化到 ，在 中利用三角形三边关系即
可求出中线 的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：______；中线 的
取值范围是________．
(2)如图2，在 中， ，点 是 的中点，点 在 边上，点 在 边上，若 ．
试说明： ．
(3)如图3，在 中，点 是 的中点， ， ，其中 ，连接 ，
探索 与 的关系，并说明理由．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析
(3) ， ；理由见解析
【分析】（1）证明 得出 ，在 中，由三角形的三边关系即可得出结
论；
（2）延长 至点 ，使 ，连接 、 ，同（1）得： ，由全等三角形的性质得出 ，由线段垂直平分线的性质得出 ，在 中，由三角形的三边关系即可得出
结论；
（3）延长 至 ，使 ，连接 ，由（1）得： ，由全等三角形的性质得出
， ，得到 ，证明 得出 ， ，
则 ．延长 交 于 ，证明 即可得出结论．
【详解】（1）解：延长 至 ，使 ，连接 ，
∵ 是 边上的中线， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ； ；
（2）证明：如图2所示，延长 至点 ，使 ，连接 、 ，
由（1）得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；（3）解： ， ．理由如下：
如图3所示，延长 至 ，使 ，连接 ，
由（1）得： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
延长 交 于 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ， ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质、三角形中线的定义，三角形的三边关系、
线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、角的关系等知识．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关
键．
44．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在 中， ， ， 是 的中点，求 边上的中线 的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长 到点 ，使 ，连接 ．根据________可以判定 ________，得出
________．
这样就能把线段 ， ， 集中在 中．利用三角形三边的关系，即可得出中线 的取值范围
是________．
【方法感悟】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角
形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决．
【问题解决】
（2）如图，在 中， 是 边上的中线， 是 上一点，且 ，延长 交 于点 ，
求证： ．
【拓展应用】
（3）如图3， 中， ， ， 是 的中线， ， ，且 ，
直接写出 的长．
【答案】（1） ；（2）详见解析；（3）8
【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系
等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题．
（1）延长 到点 ，使 ，根据 定理证明 ，可得结论；
（2）根据点 是 的中点，延长 到点 ，得到 ，利用全等三角形的对应角相等，
对应边相等进行等量代换，得到 中的两个角相等，然后用等角对等边证明 等于 ．
（3）延长 交于 ，证明 ，则 ，所以 ，根
据线段垂直平分线的性质可得 的长．
【详解】（1）解：如图1，延长 到点 ，使 ，
∵ 是 的中点，
，
，
，，
在 中， ，
，
，
故答案为： ；
（2）证明：如图，延长 到点 ，使得 ，连接 ．
∵ 是 边上的中线(已知)，
∴ ，
在 和 中，
，
，
又 ，
，
，
，
，
即： ，
．（3）解：如图3，延长 交于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ．
压轴满分题十二、等腰三角形的判定与性质
45．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）（1） 如图1， 平分 ．点 为 上一点，过点
作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，可根据 证明 ．
（2）如图2，在 中， 平分 ， 于 ，若 ， ，通过（1）中
构造全等的办法，可求得 ．
（3） ①如图3， 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在 的延长线上，试探究 和 的数量关系，并证明你的结论．
②如图4， 中， ， ，点 在线段 上， ， ，垂足为 ，
与 相交于点 ．若 的面积为64，求 的长．
【答案】（1） ；（2） ；（3）① ，证明见解析；②
【分析】（1）根据角平分线的性质得 ，垂直得性质得 ，结合 ，
可利用 证明 ；
（2）延长 交 于点F，由问题情境可知 ，得出 ，结合三角
形的外角性质即可得出结论；
（3）①延长 、 交于点F，利用 证 ，有 ，结合问题情境可知
，即可得出结论；
②过点F作 ，交 的延长线于点G，与 相交于H，可得 和 ，进一步
得 ，结合 有 和 ，利用 可证得 ，
说明 ，即可证明 ，根据三角形面积公式求出 即可．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）延长 交 于点F，如图，由问题情境可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
（3）① ，证明如下：
延长 、 交于点F，如图，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
由问题情境可知， ，
∴ ，
∴ ；
②过点F作 ，交 的延长线于点G，与 相交于H，如图，∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
根据解析（1）可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，负值舍去．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和证明三角形全等是解题的关键．
46．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在 中， 、 是角平分线，交于 点．
(1)如图1，AD是高， ， ，直接写出 和 的度数．
(2)如图2，若 ， ，求 的度数．
(3)如图3，若 ， ， ， ，直接写出 ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)10
【分析】（1）根据垂直的定义得到 ，根据角平分线的定义得到 ， ，
根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）连接OC，根据角平分线的性质得到 ，根据全等三角形的性质得到 ，根据
角平分线的定义即可得到结论；
（3）连接 ，过O作 于D， 于G， 于H，根据角平分线的性质得到
，根据三角形的面积公式即可得的结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，如图1，
∵ 、 是角平分线，∴ 是 的角平分线，
∴ ，
过O作 ， ，
则 ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 、 是角平分线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
（3）如图2，连接 ，过O作 于D， 于G， 于H，
∵ 、 是角平分线，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，等腰直角三角形的判定和性质，
正确的作出辅助线是解题的关键．
47．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）【探究学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角
形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个
三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类
似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”．
【概念理解】
（1）如图1，在 中， ， 平分 ，则 与 （填“是”或
“不是”）互为“类似三角形”．
（2）如图2，在 中， 平分 ， ， ．求证： 为 的完美分割线；
【概念应用】
（3）在 中， ， 是 的完美分割线，直接写出 的度数．
【答案】（1）是；（2）见解析；（3） 或 或 或 ．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角内角和定理等知识点，掌握分类讨论思想成为解
题的关键．
（1）先求出 、 、 ，然后根据“类似三角形”的定义即可解答从而得
出结论；
（2）可计算得出 ， ， ， ，再根据“完美分割线”
的定义即可证明结论；
（3）分为当 是等腰三角形和 是等腰三角形两种情况，当 是等腰三角形时，再分为：
三种情形讨论，同样当 是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分
别计算出 的度数即可．【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 与 互为“类似三角形”．
故答案为：是．
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形， ，
∴ 为 的完美分割线．
（3）（Ⅰ）当 是等腰三角形时，
①如图1，
当 时，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴此种情况符合题意；
②如图2，当 时，则 ，
此时 ，
∴ ；
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴此种情况符合题意；
③当 时，这种情况不存在；
（Ⅱ）当 是等腰三角形时，
①如图3，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ； ，
，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴此种情况符合题意；
②如图4，当 ， 时，
∴ ，
由 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴此种情况符合题意；
③当 时，这种情况不存在；
综上所述： 或 或 或 ．
48．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，小明同学分享了一道题，如图1，在 中，点 分别在 和 上，
且 ，求 的度数．
（1）解答小明同学提出的问题．
【深入探究】李老师提出，连接 交 于点 ，当 时， 与 有一定的数量
关系；
（2）如图2，请你猜想 与 的数量关系并证明．
【拓展应用】兴趣小组在课余时间研究了这道题，并提出了新的问题，在（2）的条件下，若
，求 的长．
（3）请你解答兴趣小组提出的问题．
【答案】（1） ；（2） ；（3）10【分析】（1）根据三角形的外角进行角度和差计算即可；
（2）设 ，则 得 ，由 ，得
，而 ，故 ，故 ；
（3）延长 至点 ，使得 ，连接 ， 则 ， ，由 得 ，
由（2）知 ，则 ，而 ，则 ，显然
，则 ，可证明 ，则 ．
【详解】（1）解：∵ ，
得，
∴ ；
（2）解： ，证明如下：
证明：设 ，由 得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）延长 至点 ，使得 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（2）知 ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的
判定，熟练掌握知识点，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
压轴满分题十三、等腰三角形的存在性
49．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，在 中， ， 为射线 上（不与 、
重合）一动点在 的右侧射线 的上方作 ，使得 ， ，连接 ．
(1)证明： ；
(2)延长 交 的延长线于点 ，若 ，
①利用（1）中的结论求出 的度数；
②当 是等腰三角形时， ______；
(3)当 在线段 上时，若线段 ， 面积为6，则四边形 周长的最小值是______．
【答案】(1)见解析
(2)① ② 或
(3)10
【分析】（1）由 ， 可得 ， 即可证明 ；（2）①设 ， 可得 ， 即得 ，
， 根据 ， 有 故
；
② ， 分两种情况： 当 时，
，当 时， ；
（2）可证 ， 得 ， 即得 ， 知四边形 周
长最小时， 最小， 而 ， 可得当AD最小时， 四边形 周长最小时， 此时
， 根据 ， 面积为 ， 得 ， 从而可知四边形 最小周长为
．
【详解】（1）证明： ，
。
即 ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）①如图：
设 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ，
∵ ，
，
解得 ，
；
②由①知， ，，
当 时，如图：
，
，
当 时，如图：
，
∴当 是等腰三角形时， 的度数为 或 ；
（3）如图：同（1）可证 ，
，
，
∴四边形 周长最小时， 最小，
。
∴当AD最小时，四边形 周长最小时，此时 ，
面积为 ，
，
∴四边形 最小周长为 ，
故答案为：10．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰三角形性质及应用，四边形周长最
小值等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理， 证明 .
50．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我
们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把
这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1， 是 的“双等腰线”， 、 是
的“三等腰线”．
(1)请在图2三个图中，分别画出 的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．
① ；② ， ；③ ，(2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是________．
(3)如图3， 中， ， ．画出 所有可能的“三等腰线”，使得对 取值范
围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补
充）
【答案】(1)见解析
(2) 或 或
(3)见解析
【分析】本题主要考查三角形综合题和作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质．
（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可；
（2）设底角度数为 ，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可；
（3）根据两种情况、利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【详解】（1）解：如图2，取 的中点 ，则 ，
∴ 和 是等腰三角形；
如图3，取 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 和 是等腰三角形；
如图4，作 的垂直平分线 ，交 于 ，交 于 ，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 和 是等腰三角形；
（2）解：①设 是以 、 为腰的锐角三角形， 为“双等腰线”，如图5，
当 ， 时，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
②设 是以 、 为腰的钝角三角形， 为“双等腰线”，如图6，
当 ， 时，
设 ，则 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
③设 是以 、 为腰的直角三角形， 为“双等腰线”，如图7，
当 ， 时， 为 的垂直平分线，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 或 或 ；
（3）解：∵要画出使得对 取值范围内的任意值都成立的“三等腰线”，
∴不能使 等于具体的数值，
∴只需要使分割后的三个等腰三角形的底角成比例即可，
第一种画法：如图8，∵ ，、
设 ， ，
当 、 将 分成 ， ， 的三个等腰三角形时，
则有 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为 ，
即可使得对 取值范围内的任意值都成立，
第二种画法：
∵ ，
设 ， ，
当 、 将 分成 ， ， 的三个等腰三角形时，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
因此，“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为 ，即可使得对 取值范围
内的任意值都成立，
综上所述，如图所示的两种“三等腰线”可以使得对 取值范围内的任意值都成立．
51．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对
应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为
“融通角”．(1)①如图1，在 中， ，D是 上任意一点，则 与 “融通三角形”；（填
“是”或“不是”）
②如图2， 与 是“融通三角形”，其中 ，则 ．
(2)若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数．
(3)如图3，在四边形 中，对角线 ，且 与
是“融通三角形”， ，求 的长．
【答案】(1)①是；②
(2)
(3) 的值为4或
【分析】（1）①由题意得 ， ，由融通三角形定义即可得出结论；②在线段 上取点
G，使 ，连接 ，证明 ，得出 ，即可证明；
（2）在线段 上取点G，使 ，连接 ，由（1）可得 ，设
，由等腰三角形的性质证出 ，由三角形内角和即可求解；
（3）分两种情况：当 时；当 时．
【详解】（1）①∵
∴
∵
∴ 与 是“融通三角形”；
②如图，在线段 上取点G，使 ，连接
∵∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2）由题意可得：
在线段 上取点G，使 ，连接
由（1）可知
∴
∴
∴
设
∴
∵
∴
∵
∴ ，解得：
∴
∴融通角是
（3）分两种情况：当 时，如图，∵ ，
∴
∵
∴
∴
∴
∴ 符合题意
∴ ；
当 时，过点D作 ，
∵
∴
∴
∵
∴
∴ 符合题意
设 ，则
∵ ，即
∴∴
∴
综上： 的值为4或
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键．
52．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）上海教育出版社七年级第二学期《练习部分》第60页习题14.6
（2）第5题及参考答案．
5．过下面三角形的一个顶点画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形：
参考答案：
小华在完成了以上解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣，并提出了以下三个问题，请你解答：
【问题1】
如图1， 中， ，请设计一个方案把 分割成两个小三角形，其中
一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请
直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数（示意图画在答题卡上）；
【问题2】
如果有一个内角为 的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三
个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为
______；
【问题3】
如图2，在 中， ，在 中， ，分别用一条直线分割这两个三角形，使 分割成的两个小三角形三个内角的度数与 分割成的两个小三
角形三个内角的度数分别相等，请设计两种不同的分割方案，直接画出示意图并标出相应的角的度数（示
意图画在答题卡上）．
【答案】(1)顶角 ，见解析(2) (3)见解析
【分析】(问题1)作 的平分线，交 于点D，则 ， ，此时
， 是等腰三角形，此时顶角 ．
(问题2)根据(1)作较大内角的平分线，交 于点D，则 ，此时 ， 是
等腰三角形．当 最大解答即可．
(问题3)根据题意，利用构造角的平分线，构造等角等方法，解答即可．
【详解】(问题1)如图，作 的平分线，交 于点D，则 ， ，
此时 ， 是等腰三角形，此时顶角 ．
(问题2) 根据(1)作较大内角的平分线，交 于点D，则 ，此时 ，
是等腰三角形．当 ，
最大 ，
故答案为： ；
(问题3)根据题意，设计如下：
方案1：作 的平分线，交 于点M，根据题意，得 ，
；作 ，交 于点N，根据题意，得 ， ．
方案2：作 ，交 于点Q，根据题意，得 ，
；
作 ，交 于点O，根据题意，得 ，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角的平分线的作图，作一个角等于定角，三角形内角和定
理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，角的平分线的作图，作一个角等于定角是解题的关键．
压轴满分题十四、等边三角形的判定与性质
53．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）已知在等边三角形 中，点E在 上，点D在 的延长线上，
且 ．(1)【特殊情况，探索结论】
如图①，当点E为 的中点时，确定线段 与 的大小关系，请你直接写出结论： ______ （填
“＞”“＜”或“＝”）．
(2)【特例启发，解答题目】
如图②，当点E为AB边上任意一点时，确定线段 与 的大小关系，请你直接写出结论， ______
（填“＞”“＜”或“＝”）．
理由如下，过点E作 ，交 于点F（请你完成以下解答过程）．
(3)【拓展结论，设计新题】
在等边三角形 中，点E在直线 上，点D在 的延长线上，且 ，若 的边长为1，
，求 的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【答案】(1)＝
(2)＝，见解析
(3) ，画图见解析．
【分析】（1）根据等边三角形性质得到， ，结合E是 中点，得到
，根据等腰三角形性质得到 ，由三角形外角性质得到 ，
得到 ，即得 ；
（2）以下解答为： ，根据等边三角形性质得到
．得到 ，得到 为等边三角形，推出
．根据等腰三角形性质得到 ．结合三角形外角性质得到 ．得到
．得到 ．即得 ；
（3）证明 ，根据 ，得到 ，根据 ，得到 ，结合
，得到 ，得到 ，即得 ．
【详解】（1）∵在等边三角形 中， ，且E是 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
故答案为：＝；
（2）以下解答过程为：
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ．
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为：＝；
（3）如图．
∵等边 的边长为1， ，
∴ ,
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形．熟练掌握等边三角形的判定和性质 ，等腰三角形的判定和性质，
含 的直角三角形性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
54．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，射线 平分 ，在射线 ， 上分别
截取线段 ． ；使 ；在射线 上任取一点D，连接 ， ．则 与 的数量关系为
______．
（2）如图2，在 中， ， 平分 ，求证： ；
（3）如图3，在四边形 中， ， ， ，C为 边中点，若 平分 ， 平
分 ， ，求 的值．
【答案】（1）
（2）详见解析
（3）
【分析】（1）证 ，即可得出结论；
（2）证 ，得 ， ， ，再证 ，则 ，即可得出结论；
（3）在 上取点 ，使 ，连接 ，在 上取点 ，使 ，连接 ，证
，得 ， ， ．同理可证 ，得
， ， ，再证 是等边三角形，得 ，即可求解．
【详解】（1）证明： 射线 平分 ，
，
又 ， ，
，
，
故答案为： ；
（2）证明：在 上截取 ，连接 ，如图2所示：
平分 ，
，
又 ，
，
， ， ，
， ，
，
又 ，
，
，
，
，
，
；
（3）解：在 上取点 ，使 ，连接 ，在 上取点 ，使 ，连接 ，如图3所示：是 边的中点， ，
，
平分 ，
，
又 ，
，
， ， ．
同理可证： ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质、角平分线定义、等边三角形的判定与
性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确作出辅
助线，构造全等三角形是解题的关键．
55．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在四边形 中，C是 边的中点．(1)如图1，若 平分 ， ，则线段 满足数量关系是 ；
(2)如图2， 平分 ， 平分 ，若 ，则线段 ， ， ， 之间存在怎
样的数量关系？写出结论并证明；
(3)如图3， ， ， ，若 ，则线段 长度的最大值是 ．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)18
【分析】（1）在 上取一点F，使 ，即可以得出 ，就可以得出 ，
，就可以得出 ．就可以得出结论；
（2）在 上取点F，使 ，连接 ，在 上取点G，使 ，连接 ．可以求得
， 是等边三角形，就有 ，进而得出结论；
（3）作B关于 的对称点F，D关于 的对称点G，连接 ， ， ， ， ．同（2）可得
是等边三角形，则 ．当A，F，G，E共线时， 有最大值 ，
即可求解．
【详解】（1）解：在 上取一点F，使 ，连接 ．如图（1），
∵ 平分 ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ．
∵C是 边的中点．∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
（2）解：结论： ．
证明：在 上取一点F，使 ，连接 ，在 上取点G，使 ，连接 ．如图（2），
∵C是 边的中点，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
在 和 中，
，∴ ，
∴ ， ．
同理可证： ， ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）解：将 沿 翻折得 ，将 沿 翻折得 ，连接 ，如图3，
由翻折可得 ， ， ， ， ， ，
∵C是 边的中点，
∴ ，
∴
∵ ，
由（2）可得 是等边三角形，
∴ ．
∵
当A，F，G，E共线时， 有最大值 ．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，余角的性质，两点之间线段最短，作恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
56．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）已知，在等边三角形 中，点O在 上，点P在 的延
长线上，且 ．
(1)如图1，当点O为 的中点时，确定线段 与 的大小关系，请你直接写出结论；
(2)如图2，当点O为 边上任意一点，确定线段 与 的大小关系，请你写出结论，并说明理由；
(3)在等边三角形 中，点O在直线 上，点P在直线 上，且 ，若 的边长为2，
，求 的长．
【答案】(1)
(2)相等，见解析
(3)7或3
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三线合一性质，等边三角形的性质，计算说明即可．
（2）过 作 交 于 ，证明 是等边三角形，以及 即可证明．
（3）分为点 在射线AB上或点 在射线 上两种情况，利用全等、等腰三角形的性质即可证明．
【详解】（1）解： ，理由如下：
为等边三角形，点 为 的中点，
， 平分 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：相等，即 ，理由如下：如图，过 作 交 于 ，
是等边三角形，
， ，
， ，
即 ，
是等边三角形，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
．
（3）解：如图③，当点 在射线AB上时，过 作 交 的延长线于 ，
则 为等边三角形， ，， ，
，
，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
；
如图，当点O在射线 上时，∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
过点O作 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
综上所述， 长为 或 ．．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三
角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
压轴满分题十五、最短路径问题
57．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）教材呈现：以下是华师版八年级上册数学教材第94页的部分
内容．
线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线 是线段 的垂直
平分线，P是 上任一点，连结 ．将线段 沿直线 对折，我们发现 与 完全重合．由
此即有：
线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图1， ，垂足为点C、 ，点P是直线 上的任意一点．
求证： ．
图中有两个直角三角形 和 ，只要证明这两个三角形全等，便可证得 ．
请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在 中， 的垂直平分线分别交 于点D、E，垂足分别为M，N， ，
直接写出 的周长为__________．
（2）如图③，在 中， ， ，E、P分别是 上任意一点，若 ，
的面积为30，直接写出 的最小值是__________．【答案】教材呈现：证明见解析；定理应用：（1）30；（2） ．
【分析】教材呈现：证明 即可得证；
（1）利用线段垂直平分线的性质得出 ， ，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即
可求解；
（2）在 上取点F，使 ，过点B作 于H，证明 得出
，证明 得出 ，则 ，故当B、P、F三点共线，
且 时， 最小，最小值为 ，然后根据三角形面积求出 即可．
【详解】证明：在 和 中
，
∴ ，
∴ ；
定理应用：
（1）解：∵ 、 的垂直平分线分别交 于点 、 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 的周长为20．
故答案为：30；
（2）解：在 上取点F，使 ，过点B作 于H，
在 和 中
，
∴ ，∴ ， ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当B、P、F三点共线，且 时， 最小，最小值为 ，
∵ ， 的面积为30，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
58．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B
两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
(1)如图②，作出点A关于l的对称点 ，线段 与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气
站，所得路线 是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点 ，连接 ，
，证明 ．请完成这个证明；
(2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道
不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．（1）由轴对称的性质得到 ，证明 和 ，即可证明
结论；
（2）根据（1）得到的结论进行画图即可．
【详解】（1）解：连接 ，
点A，点 关于l对称，点C在l上，
，
．
同理可得 ．
，
（2）如答图，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB（其中点D是正方形的顶点）．
59．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建
筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很
大的作用．
【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使
A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．
【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作A关于直线m的对称点 ，连接 与直线m交于点C，点C就是所求的位置．
（1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：
证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结 ， ， ，
∵直线m是点A， 的对称轴，点C，D在m上，∴ ， ，
∴ ．
在 中，
∵ ，
∴ ．
∴ ，即 最小．
（2）如图4，在等边 中，E是 上的点， 是 的平分线，P是 上的点，若 ，则
的最小值为 ．
【拓展应用】
（3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平
面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E
表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享
雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关
于 对称，请你用尺子在 上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)．
【答案】（1） ， ， （2）5（3）见解析
【分析】本题考查轴对称，最短路径问题，文字量多，读懂题意是解题的关键．
（1）根据题意利用对称性和三角形的三边关系填空即可；
（2）根据对称性和垂线段最短，以及等边三角形每条边上的高相等即可得解；
（3）连接 交 于点G，即可得解．
【详解】解：（1）证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结 ， ， ，
∵直线m是点A， 的对称轴，点C，D在m上，
∴ ， ，
∴ ．
在 中，
∵ ，∴ ．
∴ ，即 最小．
故答案为： ， ， ；
（2）∵ 是 的平分线，
∴可在 上找到点E关于直线 对称的对称点 ，
作出点 ，连接 ，则 ，
过点B作 ，
由垂线段最短可知，当点B、P、 三点共线，且 垂直 时， 有最小值，
即 的最小值是 的长度，
∵等边三角形每条边上的高相等，
∴ 的最小值为： ，
故答案为：5；
（3）到 的距离和最小的点在线段 上，
∵点A与点C关于 对称，
∴到 的距离和最小的点是线段 和 的交点，
∴到这四个点的距离和最小的点是线段 和 的交点，
故连接 交 于点G，点G即为所求作的点，
60．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知线段 ，点C是平面内一动点，且 ，连接 ，将
线段 绕点B顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ， 交 于点E．(1)如图1，若 ．
①求 的度数；
②如图2，作 的角平分线 交 于F，试探究线段 与 之间的数量关系，并说明理由；
(2)若 ，当 最长时，求 的长．
【答案】(1)① ；② ；理由见解析
(2)4
【分析】（1）①由题意得 是等边三角形，继而得 ，再得 ；
②在线段 上截取 ，证明 ，再利用角平分线定义得 ，继
而得到 ，即可得到本题答案；
（2）过 作 ，且使 ，所以点 是定点， 的长度是定长，证明 ，继而
得到当 最长时， ， ， 三点在同一条直线上，继而得到本题答案．
【详解】（1）解：① ， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
由题意，得 ，
，
，
，
② ；理由如下：
在线段 上截取 ，如图2，，
，
，
，
是 的角平分线，
，
，
，
，
；
（2）解：如图3，过 作 ，且使 ，所以点 是定点， 的长度是定长．
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
而 ，
当 最长时， ， ， 三点在同一条直线上，如图4，， ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查等边三角形判定及性质，三角形内角和定理，全等三角形性质及判定，最短路径问题，
角平分线定义等．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
