文档内容
3.4 实际问题与一元一次方程（第 2 课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第三章
“一元一次方程”3.4实际问题与一元一次方程第2课时，内容包括利用一元一次方程分析
与解决“销售中的盈亏”问题.
2.内容解析
“销售中的盈亏”问题是实际生活中的常见问题，也是可借助方程模型解决的典型问
题之一，并具有一定的代表性.“增长率问题”“溶液配比问题”等相关问题均与其具有类
似的数量特征．这类问题的背景和表达都更贴近实际，其中的有些数量关系也比较隐蔽．
对这一问题的探究可以使学生进一步体验一元一次方程与实际的密切联系，体会数学建模
思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力.
在“销售中的盈亏”的探究中，解决问题的关键有以下两点:
（1）理解和生活紧密相关的“成本”“售价”“盈利”“亏损”“利润率”等相关概
念；
（2）“利润率”“亏损率”都是比值，要找准这一比值所对应的参照量.
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：“销售中的盈亏”问题的探究过程．
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解“销售中的盈亏”问题中的相关概念及它们之间的数量关系．
（2）能适时的利用“一元一次方程”这一工具解决问题
（3）经历探究解题的过程，增强探究解决综合性问题的能力．
2.目标解析
（1）理解问题相关的“成本”“售价”“盈利”“亏损”“利润率”等相关概念；理
解“利润＝售价－成本”“利润率＝ ”等数量关系．
（2）能找解决问题所需的关键量，如“盈利衣服的盈利额”“亏损衣服的亏损额”，
并利用一元一次方程将之求出．
（3）经历“估算猜想—探究验证”的问题探究过程，积累探究综合性问题的经验，增
强探究解决综合性问题的能力．
三、教学问题诊断分析
学生通过之前的学习，对应用一元一次方程解决简单实际问题具备了一定的基础，对
建立方程模型解决问题的基本过程也有基本的认识．但在这些问题中建立方程的目的就是
为求得问题中某一变量的值，所以设未知数和列方程的指向性比较明显．而本课中，以探
究问题为代表的系列问题均以“判断决策”为最终目标，没有明确要求建立方程以及为何
建立方程，这一过程中就需要学生自行分析并发现影响决策的关键变量，并自觉建立方程来求得．学生在这种自行选择探究方向和探究方法的问题中缺乏经验，为帮助学生克服这
一困难，教学过程中教师应加强引领和示范，突出将“判断决策”的实际问题转化为“比
较数字大小”的数学问题的过程，及一元一次方程的工具性.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：在探究过程中适时建立一元一次方程解决
问题．
四、教学过程设计
（一）回顾旧知
1. 商品原价200元，九折出售，售价是 180 元.
2. 商品进价是150元，售价是180元，则利润是 30 元，利润率是 20%
.
3. 某商品原来每件零售价是 a 元，现在每件降价10%，降价后每件零售价是 0. 9 a 元.
4. 某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为
1.25 a 元.
5. 某商品按定价的八折出售，售价是12.8元，则原定售价是 16 元.
师生活动：学生回顾，组内完成后，教师提出思考：（1）以上问题中有哪些量？
（2）这些量有何关系？
（二）问题的初探
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损
25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
问题1：你估计盈亏情况是怎样的？（A）盈利．（B）亏损．（C）不盈不亏．
师生活动：教师提出问题，学生通过估算猜想结论，简单闸述理由；教师通过学生回
答情况了解学生对问题的认识情况．
【设计意图】估算能力是数学应用过程中的重要能力之一，设置对结论的话算环节可
以培养学生的估算能力，并通过学生的估算了解学生对销售问题的认识水平．
问题2：销售的盈亏决定于什么？
师生活动：教师提出问题，学生思考并回答，得到“总的盈亏决定于总成本和总售价
的比较”这一结论，引导学生关注“两件衣服的总成本”，学生回答过程中，教师适时提
问“成本”“售价”等相关概念，引领学生熟悉问题情境．
【设计意图】借助问题引导学生熟悉并理解问题情境及相关概念，并引领学生将“总
的是盈利还是亏损”的实际问题转化为“比较总成本与总销售额大小”的数学问题，渗透
转化思想．
（三）问题的进一步探究
问题3：两件衣服的成本各是多少元？这个结论与你的猜想一致吗？
解：（1）设盈利25%的衣服进价是x元，
依题意得 x＋0.25 x＝60.
解得 x＝48.（2）设亏损25%的衣服进价是 y元，
依题意得 y－0.25y＝60.
解得 y＝80.
两件衣服总成本：x+y=48＋80＝128（元）.
因为120－128＝－8（元）
所以卖这两件衣服共亏损了8元．
师生活动：教师提出问题，学生自行演算，教师巡视指导．
在指导过程中，教师应关注：
（1）学生对“利润率”和“亏损率”这两个概念能否正确理解；
（2）学生是否注意在同一问题中出现两个未知量，应设不同的未知数表示．
学生演算完成后提示学生将演算结论和之前估算的结论进行比较，并分析原因．
在学生完成之后，选同学表述解题过程，教师板书并点评．
【设计意图】教师通过问题2帮助学生明确了探究方向之后，让学生自主探究这一问
题，使学生经历探究过程，尤其是让学生体验“估算猜想—探究验证”的过程，有助于提
高学生的探究能力．
（四）针对训练
1. 某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元．其中一台盈利20%，另一台亏损
20%. 这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
答案：这次琴行亏本80元．
2. 某文具店有两个进价不同的计算器都卖 64元，其中一个盈利60%，另一个亏本
20%. 这次交易中的盈亏情况？
答案：这次交易盈利8元.
3. 某商品的零售价是900元，为适应竞争，商店按零售价打 9 折 (即原价的 90% )，
并再让利 40 元销售，仍可获利 10% ，求该商品的进价．
解：设该商品的进价为每件x元，
依题意，得 900×0.9－40＝10% x＋x，
解得 x＝700.
答：该商品的进价为700元．
师生活动：教师依次给出练习，学生自主练习，教师巡视，选学生展示解答过程，学
生点评．
【设计意图】在教师引领完成探究问题之后，依次给出练习，使学生在探究问题中获
得的解题经验得以巩固，并通过应用练习转化为能力．
（五）当堂巩固
1. 某种商品的进货检为每件a元，零售价为每件90元，若商品按八五折出售，仍可获
利10%，则下列方程正确的是（ D ）
A．85%a=10%×90 B．90×85%×10%=aC．85%(90－a)=10% D．(1+10%)a=90×85%
2. 两件商品都卖120元，其中一件赢利25%，另一件亏本20%，则两件商品卖出后（
D ）
A．盈利16元 B．亏本16元 C．赢利6元 D．亏本6元
3. 某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，而按原
定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（ C ）
A．500元 B．400元 C．300元 D．200元
4. 某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利10%，则该商品的标价
为 2725 元.
5. 我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品在 2019年
涨价 30% 后，2021年又降价 70% 至 a 元，则这种药品在2019 年涨价前的价格为
元.
6. 某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，
但又要保证利润率不低于5%，那么商店最多可打几折出售此商品？
解：设商店最多可以打x折出售此商品，
根据题意，得
．
解得 x = 7.
答：商店最多可以打7折出售此商品.
【设计意图】考查学生对销售问题中“盈利率”等概念的理解情况，以及对建立方程
模型解决此类问题的一般方法的掌握．
（六）能力提升
据了解个体商店销售中售价只要高出进价的20% 便可盈利，但老板们常以高出进价
50%~100%标价，假若你准备买一双标价为600元的运动鞋，应在什么范围内还价？
解：如下图：
答：应在360元～480元内还价.
【设计意图】进一步考查学生对建立方程模型解决此类问题的一般方法的掌握．
（七）感受中考1.（5分）（2021•陕西19/26）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这
种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件
的销售额相等．求这种服装每件的标价．
【解答】解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意得，
10×0.8x＝11（x－30），
解得x＝110，
答：这种服装每件的标价为110元．
2.（6分）（2020•山西17/23）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋
阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使
用一张）．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电
饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．
【解答】解：设该电饭煲的进价为 x 元，则标价为(1+50%)x 元，售价为
80%×(1+50%)x元，
根据题意，得80%×(1+50%)x－128=568，
解得x=580．
答：该电饭煲的进价为580元．
3.（3分）（2018•通辽8/26）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中
一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（ ）
A．亏损20元 B．盈利30元 C．亏损50元 D．不盈不亏
【解答】解：设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，
根据题意得：150－x＝25%x，150－y＝－25%y，
解得：x＝120，y＝200，
所以150+150－120－200＝－20（元）．
故选：A．
4.（3分）（2018•呼和浩特13/25）文具店销售某种笔袋，每个18元，小华去购买这
种笔袋，结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜 36元”，小
华说：“那就多买一个吧，谢谢.”根据两人的对话可知，小华结账时实际付款
元．
【解答】解：设小华购买了x个笔袋，
根据题意得：18(x－1)－18×0.9x＝36，
解得：x＝30，
所以18×0.9x＝18×0.9×30＝486．答：小华结账时实际付款486元．
故答案为：486．
【设计意图】通过对最近几年的中考真题的训练，使学生提前感受中考考什么，进一
步了解考点．
（八）课堂小结
教师和学生共同回顾本节内容，并回答以下问题：
（1）这节课你学习了哪些内容？
（2）通过学习你有哪些收获？
【设计意图】通过问题引领学生梳理探究过程，归纳探究方法．
（九）布置作业
P106：练习：第1题.
P107：习题3.4：第11题.
五、教学反思
本节内容是学生进入中学后代数知识学习的又一次重要跨越．在前面，学生已经学习
了有理数、整式的加减和一元一次方程的解法，对数的认识已经由非负数有理数扩展到有
理数，知道了用字母可以表示具有一般意义的数量关系，掌握了解一元一次方程的一般步
骤和基本方法，学生对代数知识的学习正逐步深入，他们的代数变形能力正逐步提高．本
节是第三章一元一次方程的最后一节，是对前面所学内容的综合运用，也是七上教材“数
与代数”领域的压轴内容．
列方程解决实际问题是本节教学的重点，也是难点，更是贯穿本章前后的一条主线．
在前面讨论一元一次方程解法时，也是先给出实际问题，然后通过设未知数列方程再逐步
研究和完善解一元一次方程一般步骤的．本节是直接运用解一元一次方程的一般步骤与方
法解决实际问题．这样设计教材，既揭示了学习解一元一次方程的必要性，体现了一元一
次方程在实际生活中广泛的应用价值，也有利于学生带着问题（如何解一元一次方程）来
学习和探究，使得他们的学习方向更明确，阶段目标更具体，也利于分散难点，便于学生
有层次、有梯度地学习．
列方程就是通过读题审题理清和寻找题目中相等的数量关系，通过设未知数将这些相
等的数量关系表示出来．解一元一次方程就是，通过去分母、去括号、移项、合并同类项
等步骤，将方程向ax=b（a≠0）的方向转化，其中体现了化归和程序化思想．解方程得到
的未知数的值，是否符合具体问题的实际意义，是我们学习列方程解应用题需要关注的．
这既是实际问题与数学问题相互转化过程中需要注意的问题，也有利于培养学生良好的思
维习惯和品质，让他们能够从中进一步体会方程的应用价值．
学生在小学阶段及前三小节对列方程解决实际问题虽然有所了解，但是本节教材所涉
及的实际问题的背景和表达都更加贴近实际，数量关系有的比较隐蔽，有的比较抽象，有
的则更为复杂，需要学生结合自己的生活经验理清、理解，经历探究用一元一次方程解决
实际问题的基本过程，进而逐步提升他们分析问题、解决问题的能力，有效积累探究、交
流、反思等数学活动经验，体会转化化归和方程模型思想，增强数学应用意识和能力．
