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3.4 实际问题与一元一次方程
1. 了解方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型
2. 掌握列方程解实际问题的一般步骤:审、设、列、解、检、答
3. 掌握行程问题、调配问题、工程问题、等积变形问题、利率问题等的基本数量关系,会
列一元一次方程解简单的实际问题.(应用意识)
4. 会用列表法、图示法等方法分析题目中的数量关系.(几何直观)
知识点一 列方程解实际问题的一般步骤
1.审题:分析题意，找出题中的数量及其关系,尤是等量关系(即相等关系).
2.设元:选择一个适当的未知数用字母表示(例如x）.
补充：①设元通常求什么设什么，即直接设元,如果这样设元方程不容易列出来,再考
虑间接设元.②在一道应用题中,往往含有几个未知的量,应恰当地选择其中的一个设为
未知数,再将其他未知的量用含x的代数式表示出来.
3.列方程：根据等量关系列出方程.
4.解方程:求出未知数的值.
5.检验:检查求得的值是否正确，是否符合实际情形并写出答案(包括单位名称)
6.答：作答.
注意：
同学们，请记住我们在列方程解实际问题还应注意以下几点：
(1)设未知数和写答案时，单位要写清楚.列方程时,方程两边所表示的量应该
相同，并且各项的单位应该一致.
(2)在找等量关系时，对题目中所给出的条件应充分利用,但不把同一条件重复
利用，否则会得到一个恒等式,无法求出对应的解
(3)对于求得的方程的解,要先看它是否符合实际意义,然后才能确定应用题的
解
即学即练1（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）通乡商店新进某种衬衫，以 利
润率标价，逢店庆八折出售，仍可获利20元，则该衬衫进价为（ ）A．80元 B．100元 C．120元 D．150元
【答案】B
【分析】设该件衬衫的进价为 元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设该件衬衫的进价为 元，
根据题意得： ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次
方程是解此题的关键．
即学即练2（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）一架飞
机在两城间飞行，顺风航行要5.5小时，逆风航行要6小时，风速为24千米/时，设飞机无
风时的速度为每小时 千米，则下列方程正确是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先表示出飞机顺风飞行的速度和逆风飞行的速度，然后根据速度公式，利用路程
相等列方程．
【详解】解：设飞机在无风时的飞行速度为每小时 千米，则飞机顺风飞行的速度为每小
时 千米，逆风飞行的速度为每小时 千米，
根据题意得 ．
故选：C．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是表示出飞机顺风飞行的速
度和逆风飞行的速度．
知识点二 如何找相等关系
方法一：分析问题中的不变量，并利用不变量列方程
方法二：用不同的方式表示同一个量,由此得到相等关系，从而列出方程方法三：从问题的基本量中寻找相等关系
方法四：利用“总量等于各个分量之和”列方程
注意：
同学们请注意有的时候如果单位不统一，一定要把单位统一，这是一个易错点.
如果题目出现明显的“是比关系”，我们一般把“是”和“比”后面的数量作
为未知数，“是”和“比”当做“＝”，构造等量关系，你会发现寻找等量关
系如此简单！如果遇到古典应用题，往往题干后半部分就是翻译，重点从翻译
处审题.
即学即练1（2023上·江西吉安·七年级统考期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记
载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子
短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将
绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长 尺．则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设绳索长 尺，则竿长为 尺，根据“绳索对半折后再去量竿，就比竿短5
尺”，即可得出关于x的一元一次方程组．
【详解】解：设竿子长为x尺，则索长为 尺，
依题意得： ，即 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一
次方程是解题的关键．
即学即练2（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）十年前
A的年龄是B的年龄的4倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是（ ）
A．20岁 B．24岁 C．30岁 D．15岁
【答案】C
【分析】设 现在的年龄为 岁，则 现在的年龄为 岁，根据十年前， 的年龄是 的
年龄的4倍列出一元一次方程，求出 的值即可．【详解】解：设 现在的年龄为 岁，则 现在的年龄为 岁，
十年前， 的年龄为 岁， 的年龄为 岁，
根据题意可知： ，
解得 ，
即 现在的年龄为30岁，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目
给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
知识点三 常见题型和等量关系
常见题型 列方程的理论依据
路程=速度×时间
行程问题 顺风速度=静水速度＋水流速度
逆风速度=静水速度－水流速度
为起始量, 为终止量， 为增长(或降低)的次数，
平均增长率公式: ( 为平均增长率)
平均增长率(降低率)问题
平均降低率公式: ( 为平均降低率)
利润=售价-进价;
；
销售利润问题
售价=进价×(1+利润率);
总利润=总售价－总成本=单件利润×总销售量
几何图形问题 利用几何图形的面积、周长公式
存款利息问题 本息和＝本金+利息;利息＝本金×利率×期数
两位整数＝十位数字×10＋个位数字;
数字问题
三位整数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字
一般情况把工作总量设为单位“1”
工程问题
当甲独立完成整个工作时，工作时间与工作效率互为倒数工作效率×工作时间＝工作总量
运用几何知识以及行程公式，
动态几何问题
一般采用间接设元的方法
即学即练1（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）在一次美化
校园活动中，先安排32人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的
人数是植树人数的2倍，支援拔草和支援植树的分别有多少人?若设支援拔草的有x人，则
下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：原来拔草的人数+支援拔草的人数=2(原
来植树的人数+支援植树的人数)，根据此等式列方程即可．
【详解】解：设支援拔草的有x人，则支援植树的为 人，现在拔草的总人数为
人，植树的总人数为 人，
根据等量关系列方程得， ．
故选：B．
【点睛】本题考查的是列方程解应用题，关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的
等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找，列出方程，熟悉应用题的解题过程．
即学即练2（2022上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）某校在举办“读书月”的活动
中，将一些图书分给了七年一班的学生阅读．如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分
4本，则还缺25本．若设该校七年一班有学生 人，则下列方程正确的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设该校七年一班有学生 人，根据“如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分
4本，则还缺25本，书的总数是不变的”列出方程即可．
【详解】解：设该校七年一班有学生 人，则根据题意可得，，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
题型1 行程问题
例1（广东省广州市南武教育集团2023-2024学年七年级上学期期中数学试题）广州市出
租车的收费标准是：起步价（ 千米以内，包括 千米） 元，路程超过 千米的部分，每
千米收费 元．
(1)若小明乘坐了 千米，他应付车费________元；若他乘坐了 千米，应付车费________
元；
(2)若小明乘坐了 千米的路程．请写出他应该去付费用的表达式；
(3)若他支付的费用是 元，请你算出他乘坐的路程．
【答案】(1) ；
(2)
(3) 千米
【分析】本题主要考查了列代数式、解一元一次方程，
（1）根据“起步价（ 千米以内，包括 千米） 元，路程超过 千米的部分，每千米收
费 元”，计算、得出答案即可；
（2）根据“起步价（ 千米以内，包括 千米） 元，路程超过 千米的部分，每千米收
费 元”，列出表达式即可；
（3）根据费用是 元，得出方程 ，求解即可．
【详解】（1）解：∵起步价（ 千米以内，包括 千米） 元，
∴若小明乘坐了 千米，他应付车费 元，
又∵路程超过 千米的部分，每千米收费 元，∴若他乘坐了 千米，应付车费 （元），
故答案为： ； ；
（2）解：∵起步价（ 千米以内，包括 千米） 元，路程超过 千米的部分，每千米收
费 元，
∴ 时，应付 元； 时，应付 元，
∴若小明乘坐了 千米的路程，他应该去付费用的表达式为： ；
（3）解：∵他支付的费用是 元，
∴ ，
解得： ，
∴若他支付的费用是 元，他乘坐的路程为 千米．
举一反三1（河北省唐山市遵化市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）一小船由
港顺流而下到 港需 ，由 港逆流而上到 港需 ．某天早晨6点，该船由 港出发
驶向 港，到达 港时，发现船上一救生圈在途中掉入水中，于是立刻返回，1h后遇到救
生圈．
(1)该船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？
(2)救生圈是何时掉入水中的？
【答案】(1)小船按水流速度由 港漂流到 港需要48小时
(2)救生圈是在上午11点钟掉下水的
【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系
列方程是解本题的关键．
（1）设小船按水流速度由A港漂流到B港需要 小时，由静水中速度不变列方程求解即可；
（2）设救生圈是在 点钟落下水中的，由（1）小题结果，救生圈每小时顺水漂流的距离
等于全程的 ，小船早晨6时从 港出发，顺流航行需6小时，它在中午12点钟到达
港．而救生圈在 点钟就已掉下水，到这时已漂流的时间为 小时，在这段时间里，每小时船行驶全程的 ，救生圈沿着航行方向漂流全程的 ，船与救生圈同向而行，距离
拉大，船到 港后立刻掉头去找救生圈，1小时后找到，在这一小时内，船与救生圈相向
而行，将原已拉开的距离缩短为0，再解方程求解即可．
【详解】（1）解：设小船按水流速度由A港漂流到B港需要 小时，根据题意得：
解得 ，
经检验 符合题意，
答：小船按水流速度由 港漂流到 港需要48小时．
（2）设救生圈是在 点钟落下水中的，由（1）小题结果，救生圈每小时顺水漂流的距离
等于全程的 ，
∴
解得： ，
答：救生圈是在上午11点钟掉下水的．
举一反三2（黑龙江省哈尔滨市松雷中学2023-2024学年七年级上学期10月月考数学试
题）甲、乙两车同时从 、 两地出发，匀速行驶前往 、 两地，甲车从 地出发 小
时后，丙车从 地出发以 千米 时的速度向 地行驶，丙车出发 小时在途中追上甲车．
(1)求甲车的速度是多少？
(2)已知甲车的速度比乙车小 ，丙车追上甲车后继续前行，当丙车与乙车相距 千米时，
甲、乙两车相距 千米，求 、 两地的路程？
【答案】(1)甲：
(2)【分析】（1）设甲车的速度为 ，根据“甲车行驶的路程 丙车行驶的路程 路程
速度 时间 列出方程，求解即可．
（2）先求得乙车速度为 ，再求得丙车与乙车相距 千米时，且丙车超过甲车后行
驶的时间为 ，根据“ 两地距离 甲车的速度 行驶时间 乙车
的速度 行驶时间 甲车的速度 乙车的速度 行驶时间 ”计算即可．
【详解】（1）解：设甲车速度为 ，依题意得，
，
解得： ，
答：甲车的速度是 ．
（2）解：依题意，得，
乙的速度： ，
甲的速度： ，
丙的速度： ，
，
．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟知路程、速度和时间之间的关系是解题关
键．
题型2 配套问题
例2（黑龙江省哈尔滨市第四十七中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）某工
厂一车间有 名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务．每个工人每天能加工甲种
零件 个，或加工乙种零件 个．
(1)若一辆轿车只需要甲零件1个和乙零件1个使每天能配套生产轿车，问应安排多少工人加工甲种零件？
(2)若一辆轿车需要甲零件7个和乙零件2个使每天能配套生产轿车，若加工一件甲种零件
加工费为 元，加工一件乙种零件加工费为 元，若 名工人正好使得每天加工零件能
配套生产轿车，求一天这 名工人所得加工费一共多少元？
【答案】(1)应安排 个工人加工甲种零件；
(2)一天这 名工人所得加工费一共是 元；
【分析】（1）本题主要考查一元一次方程解决生产配套问题，设有x个工人加工甲种零件，
则有 个人加工乙种零件，根据配套数量列方程求解即可得到答案；
（2）本题主要考查一元一次方程解决生产配套问题，设有y个工人加工甲种零件，则有
个人加工乙种零件，根据配套数量列方程求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设有x个工人加工甲种零件，则有 个人加工乙种零件，由题意
可得，
，
解得： ，
答：应安排 个工人加工甲种零件；
（2）解：，设有y个工人加工甲种零件，则有 个人加工乙种零件，由题意可得，
，
解得： ，
∴ ，
∴总费用为： ，
答：一天这 名工人所得加工费一共是 元．
举一反三1（黑龙江省哈尔滨市虹桥初级中学校2023-2024学年七年级上学期月考数学试
题（五四制））制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿， 木材可制作20个桌面，或者
制作400条桌腿，现有 木材，要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，应用多少
立方米木材来生产桌面？多少立方米木材生产桌腿？
【答案】应安排10立方米木材用来生产桌面，2立方米木材生产桌腿．【分析】设应安排 木材用来生产桌面，则应安排 木材用来生产桌腿．“
木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿”求出桌面数与桌腿数．根据一张桌子要用一
个桌面和4条桌腿配套，利用桌面数×4=桌腿数建立方程求出其解即可．
【详解】解：设用 木材制作桌面，则用 木材制作桌腿，
根据题意得 ，
整理得： ，
解得： ，
．
答：应安排10立方米木材用来生产桌面，2立方米木材生产桌腿．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用与求解，根据题意正确列出方程式是解题关键．
举一反三2（黑龙江省绥化市海伦市第九中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试
题）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需2个甲种零件和4个乙种零件，已知
车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在 天中使所生产的零件刚好配
套，那么应安排多少天生产甲种零件，安排多少天生产乙种零件恰好配套？
小明在解决这个问题时，设应安排x天生产甲零件．填出表格①②③的表达式，并列方程
解决这个问题．
工效（个/天） 天数（天） 数量（个）
甲种零
450 x ②
件
乙种零
300 ① ③
件
【答案】① ，② ，③ ，15
【分析】若设应安排x天生产甲种零件，则安排 天生产乙种零件，共生产 个
甲种零件， 个乙种零件，根据每台豆浆机需2个甲种零件和4个乙种零件，可
列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：若设应安排x天生产甲种零件，则安排 天生产乙种零件，
个乙种零件，
根据题意得： ，
解得： ，
∴ ．
答：应安排15天生产乙种零件．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题
的关键．
题型3 工程问题
例3（四川省成都市金堂县福兴镇初级中学2023-2024学年七年级上学期第一次月考数学
试题）一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时，现在先由甲单独做5小时，然
后乙加入进来合做，完成整个工程一共需要多少小时？
【答案】完成整个工程一共需 小时．
【分析】先根据题意，知甲、乙的工作效率分别是 ， ，再根据先由甲单独做5小时，
然后乙加入进来合做完成工程，来列方程即可．
【详解】解：设完成整个工程一共需要x小时，整个工程量为1，根据题意得：
甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，列方程为： ，
解得： ，
答：完成整个工程一共需 小时．
【点睛】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，关键是明确：工作量 工作效率 工
作时间．
举一反三1（湖北省黄冈市2022-2023学年七年级上学期开学考试数学试题）某工程队修
一条隧道，计划每天修600米，20天完成，而实际每天多修 ，实际可以提前几天完成？（用方程解）
【答案】实际可以提前4天完成
【分析】根据工作效率乘以工作时间=工作总量列方程即可求解．
【详解】解：设实际可以提前 天完成．
解得
答：实际可以提前4天完成．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据工作效率，工作时间和工作总量三者的关
系，列出方程是解题的关键．
举一反三2（安徽省六安市霍山县文峰中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题）
如图，长方形 是由六个正方形A，B，C，D，E，F拼接而成，已知最大的正方形B
的边长是21米，最小正方形A的边长是a米．
(1)用含a的式子分别表示正方形D，E，F的边长；
(2)求a的值；
(3)现有一项沿着长方形 的四条边铺设管道的工程．甲、乙两个工程队共同参与这项
工程，甲队单独铺设3天后，乙队加入，两队又共同铺设了6天，这项铺设管道的工程全
部完成．已知甲队每天比乙队每天少铺设4米，则甲、乙两队每天各铺设多少米？
【答案】(1)D的边长为 米，E的边长为 米；F的边长为 米
(2)a的值为3
(3)甲每天铺设8米，则乙每天铺设12米【分析】（1）根据正方形四边相等先表示 的边长，再表示 的边长，然后表示 ，
的边长即可；
（2）利用长方形对边相等可得 ，进而可得方程 ，
再解即可；
（3）首先算出长方形周长，再设甲每天铺设 米，则乙每天铺设 米，根据题意可得
等量关系：甲铺设的长度 乙铺设的长度 总长度，由等量关系列出方程，再解即可．
【详解】（1）解：图中最大正方形 的边长是21米，最小的正方形 的边长是 米．
则 的边长为 米，
的边长为 米；
的边长为 米；
（2） ，
，
解得 ，
故 的值为3；
（3）矩形 的周长：
（米），
设甲每天铺设 米，则乙每天铺设 米，由题意得：
，
解得： ，
则 ，
答：甲每天铺设8米，则乙每天铺设12米．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用和列代数式，关键是正确理解题意，掌握正
方形各边相等．
题型4 销售盈亏
例4（湖北省武汉市武珞路中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题）一种笔记本
售价为 元/本，如果买 本以上（不含 本），售价为 元/本．请回答下面的问题：(1)当 时，买 本笔记本所需钱数为______，当 时，买 本笔记本所需的钱数
为______．
(2)如果七（ ）、七（ ）两班分别需要购买 本， 本，怎样购买可省钱？可以省多少
钱？
(3)如果两次共购买 本笔记本（第二次比第一次多），平均每个笔记本为 元/本，两
次分别购买多少本？
【答案】(1) ；
(2)联合购买可省钱，可省 元
(3)第一次购买 本，第二则买 本
【分析】本题主要考查了本题主要考查列代数式及一元一次方程的应用，
（1）分两种情况讨论，一种是不超过 本，另一种是超过 本，分别求出各自的代数
式即可．
（2）根据 可得会出现多买比少买反而付钱少的情况，从而求解；
（3）列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：当 时，买 本笔记本所需的钱数是： ，
当 时，买 本笔记本所需的钱数是： ；
故答案为： ， ；
（2）解：分开购买所花费用为： 元
联合购买的费用： 元，
∵ ，
∴联合购买更省钱，联合购买所省的钱为 元；
（3）解：设第一次购买 本，则第二购买 本，根据题意得：
解得
答：第一次购买 本，第二则买 本．
举一反三1（广西壮族自治区贺州市昭平县2023-2024学年七年级上学期期中数学试题）
芜湖市一商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为 ；B种商品每件进价为50元，售价80元．
(1)A种商品每件进价为 元，每件B种商品利润率为 ．
(2)若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多
少件？
(3)在“春节”期间，该商场只对 、 两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 按总售价打九折
超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款522元，求若没有优惠促销，小华
在该商场购买同样商品要付多少元？
【答案】(1)40；
(2)购进A种商品40件
(3)580元或660元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用：
（1）设A种商品每件进价为x元，根据A的利润率为 ，求出x的值；
（2）设购进A种商品x件，则购进B种商品 件，再由总进价是2100元，列出方程
求解即可；
（3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金
额超过600元，分别列方程求解即可．
解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解．
【详解】（1）解：设A种商品每件进价为x元，
依题意得： ，
解得： ．
故A种商品每件进价为40元；
每件B种商品利润率为 ．
故答案为：40； ．（2）设购进A种商品x件，则购进B种商品 件，
由题意得： ，
解得： ．
答：购进A种商品40件，B种商品10件．
（3）设小华打折前应付款为y元，
当打折前购物金额超过450元，但不超过600元时，
由题意得： ，
解得： ；
当打折前购物金额超过600元时，
，
解得： ．
综上可得，小华在该商场购买同样商品要付580元或660元．
举一反三2（黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学校2023-2024学年七年级上学期期中数学
试题）黑马铃薯又名“黑金刚”，它富含碘、硒等多种微量元素，特别是含有花青素、花
青原素，素有“地下苹果”之称．老李今年种植了5亩 品种黑马䍅薯， 亩 品种黑马
铃薯，其中 品种的平均亩产量比 品种的平均亩产量低 ，共收获两个品种黑马铃薯
千克．
(1)求 ， 两个品种黑马铃薯平均亩产量各多少千克？
(2)根据如图信息，求收购时 、 两种马铃薯每箱的收购价格分别是多少元？
(3)在（2）的条件下某蔬菜商人分两次向老李收购完这些黑马䍅薯．收购方式如下： ，
两个品种各自独立装箱， 品种每箱 千克， 品种每箱 千克，老李给出如下优惠：
收购 或 的数量（单位：箱） 不超过 箱 超过 箱
-优惠方式 收购总价打九五折 收购总价打八折
第一次收购了两个品种共 箱，且收购的 品种箱数比 品种箱数多；受某些因素影响，蔬菜商人第二次收购时做出了价格调整：每箱 的收购价不变，每箱 的收购价比第一次
的收购价降低 ，优惠方式不变．两次收购完所有的黑马铃薯后，蔬菜商人发现第二次支
付给老李的费用比第一次支付给老李费用多 元，求蔬菜商人第一次收购 品种黑马
铃薯多少箱？
【答案】(1) 品种黑马铃薯平均亩产量为 千点， 品种黑马铃薯平均亩产量为 千
克
(2) 品种每箱 元， 品种每箱 元
(3)
【分析】（1）依题意，设 品种的亩产量为 千克，则 品种的亩产量为 ，列
式 ，解得 ，即可作答；
（2）依题意，设 品种每箱 元， 品种每箱 元，列出方程组 ，解得
，即可作答；
（3）先算出 、 品种分别有的箱数，再设第一次收购 品种 箱，第二次收购
箱，则 品种第一收购为 箱，依题意，列式化简得 ，解
得 ，即可作答．
【详解】（1）解：设 品种的亩产量为 千克，则 品种的亩产量为 ，
根据题意得
，
解得
品种的亩产量为 （千克）所以 品种黑马铃薯平均亩产量为 千点， 品种黑马铃薯平均亩产量为 千克．
（2）解：设 品种每箱 元， 品种每箱 元，
，
解得
所以 品种每箱 元， 品种每箱 元；
（3）解： 品种共有的箱数： （箱）
产品共有的箱数： （箱）
设第一次收购 品种 箱，第二次收购 箱，则 品种第一收购为 箱，
整理得
即
那么
解得
所以蔬菜商人第一次收购 品种黑马铃薯 箱．
【点睛】本题考查了一元一次方程以及二元一次方程的实际应用，难度适中，解题的关键
是读懂题意，找到等量关系列方程，对式子运算能力有一定的要求．
题型5 比赛积分问题
例5（广东省汕头市潮阳市峡山镇峡晖中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）
一张试卷25题，若做对了一题得4分，做错了一题扣1分，小李做完此卷后得70分，则
他做对的题目数是（ ）
A．18 B．17 C．19 D．20
【答案】C【分析】设他做对的题目数是x，则做错的题目数为 ，根据“做对了一题得4分，
做错了一题扣1分，小李做完此卷后得70分”列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设他做对的题目数是x，则做错的题目数为 ，由题意得到，
解得 ，
∴他做对的题目数是 ，
故选：C
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
举一反三1（河南省鹤壁市淇县2022-2023学年七年级下学期期中考试数学试题）为了增
强学生的防范意识，某校组织进行了“安全知识问答活动”，共有10道题，答对1题得5
分，答错或不答1题扣3分．若小颖的最终得分为34分，则小颖一共答对了多少道题？
【答案】小颖一共答对8道题
【分析】设小颖一共答对了 道题，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设小颖一共答对了 道题
由题意可得
解之得
答：小颖一共答对8道题．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
举一反三2（山西省长治市潞州区2022-2023学年七年级下学期月考数学试题）“市长
杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了
几场？设该队胜了 场，可列方程为 ．【答案】
【分析】设该队胜了 场，则该队平的场数为： 场，根据“胜一场得3分，平一场
得1分，负一场得0分，赛了9场，只负了2场，共得17分”即可列出方程．
【详解】解：设该队胜了 场，则该队平的场数为： 场，
根据题意得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元
一次方程是解题的关键．
题型6 方案选择
例6（广西壮族自治区贵港市覃塘区2023-2024学年七年级上学期期中数学试题）某商场
为了促销，推出两种促销方式：
方式①：所有商品打 折销售；方式②：一次购物满 元减 元．
杨老师在该商场购买标价为 元的 商品和 元的 商品各一件，现有以下四种购买方
案：
方案一： 、 商品均按促销方式①购买；
方案二： 商品按促销方式①购买， 商品按促销方式②购买；
方案三： 商品按促销方式②购买， 商品按促销方式①购买；
方案四： 、 商品均按促销方式②购买．
(1)杨老师按照方案一购买 、 商品需付金额共________元；
(2)杨老师选哪个方案购买 、 商品更合算？为什么？
(3)如果该商场某种商品的标价在 元至 元之间，按方式①、②分别购买需付款金额
如下表所示．请补全表格，并根据表中数据规律给出你所得到的结论？
商品标价
（元）
付款金额
（元）
方式①方式②
【答案】(1)
(2)方案三最合算，理由见详解
(3)见解析
【分析】本题考查了销售的方案问题，涉及有理数的混合运算：
（1）依题意，先把 、 商品的标价相加之和再乘上折扣，即可作答；
（2）分别算出方案一、二、三、四的 、 商品的付款金额，然后进行比较，即可作答；
（3）由（1）（2）知，先补全图，再研究出相应规律，即可作答．
正确掌握题意并列出相对应的式子是解题的关键，尤其第二问，在对审题分析能力有较高
要求．
【详解】（1）解：依题意， （元）
所以杨老师按照方案一购买 、 商品需付金额共 元；
（2）解：方案三购买 、 商品更合算，理由如下：
方案二：方式① （元），
方式②因为 ，
所以 （元）；
（元）
方案三：方式① （元）
方式②因为 ，
（元）；
（元）
方案四： 、 商品均按促销方式②购买，
则因为 ，
（元）；
因为 ，
所以 （元）；
（元）
结合（1）方案一购买 、 商品需付金额共 元；
综上： ，
所以方案三购买 、 商品更合算；（3）解：由（1）（2）知，补全图如下：
商品标价（元）
付款金额（元）
方式①
方式②
当购买商品标价为 元，方式①和②所花费钱为 ；当购买商品标价为小于 元，方
式②所花费钱更少，即方式②更合算；当购买商品标价为大于 元，方式①所花费钱更
少，即方式①更合算．
举一反三1（湖北省武汉市江汉区武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）2023-2024学
年七年级上学期期中数学试题）红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球，己知该
品牌的乒乓球拍每副定价150元，乒乓球每盒定价15元．元旦期间该品牌决定开展促销活
动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即
方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球；
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的 付款．
该球馆计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x盒（ ，x为整数）．
(1)当 时，若该球馆按方案一购买，需付款______元；若该球馆按方案二购买，需付
款_____元；
(2)当x为何值时，分别用两种方式购买所需费用一样？
(3)若 ，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出
此方案所需费用；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)1800，1890
(2)
(3)先按方案一购买10副球拍可得20盒乒乓球，再按方案二购买20盒乒乓球，需付款
1770元
【分析】（1）根据两种方案的收费方式列式，计算 时的值即可；
（2）根据题意建立方程求解即可；
（3）根据题意得出方案一购买球拍，方案二购买剩余所需乒乓球．
【详解】（1）解：由题意得，方案一需付款： 元，方案二需付款： 元，
当 时，
方案一需付款： （元）
方案二需付款： （元），
故答案为：1800，1890；
（2）解：由题意得， ，
解得： ，
当 时，分别用两种方式购买所需费用一样；
（3）解：先按方案一购买10副球拍可得20盒乒乓球，再按方案二购买20盒乒乓球，需
付款 （元）．
【点睛】本题主要考查了列代数式及代数式求值问题，一元一次方程的应用，得到两种优
惠方案付费的关系式是解题的关键．
举一反三2（天津市和平区2023-2024学年七年级上学期期中数学试题）（1）小天用下
表记录九月的流量使用情况，每个时间段以5 为标准，超出部分记为正数，不足部分记
为负数，（单位： ）．
1日-5日 6日-10日 11日-15日 16日-20日 21日-25日 26日-30日
200 100 212 200
说明：数据流量 ．
请你计算：小天九月份共用使用了多少流量？
（2）某通讯公司推出 两种话费套餐，套餐详情如下表：
月基本 主叫限定时间/ 主叫超时费/（元/ 被 免费数据流量/
费/元 ） 叫
免
600 0.15 15
费
免
99 500 0.15 20
费
已知小天使用 套餐，某月主叫时间为 ，使用流量 ，共产生109元月结话
费（月结话费=月基本费+主叫超时费+流量超出费），求 的值；
（3）在（2）的条件下，通讯公司对 两种话费套餐做了如下补充说明：①流量超出后， 套餐按5元 标准收取，不满 按0．005元/ 收取．
②流量超出后， 套餐按5元 标准收取，满15元后按3元 收取，不满 按
计算．
请你根据以上信息，帮助小天解决下列问题：
①小天估计十月份主叫时间不超过 ，所用流量是 （ 且 是整数）．用含
的代数式表示使用 两种套餐各需要多少钱？
②经过查询，小天发现，十月份主叫时长为 ，使用的总流量与九月份相同．请你帮
助小天计算并判断选择哪种套餐更合算．
【答案】（1） ；（2） ；（3）①使用A套餐费用为： 元，使用B套
餐费用为：当 且 是整数时， 元，当 且 是整数时， 元，
②B套餐更合算．
【分析】（1）先把所有的记录相加，得出超过或是不足，然后用结果加上 即可
得出总流量．
（2）根据月结话费 月基本费+主叫超时费+流量超出费，由此列方程即可求解；
（3）①根据计费规则直接列出套餐A的费用，分 和 两种情况列出套餐B
费用即可；
②根据计费规则计算出两种套餐的月结话费，比较大小即可．
【详解】解：（1）小张六月份使用流量为：
，
（2）由题意知，小王使用流量 ，流量免费，
则 ，
解得 ；
（3）①主叫时间不超过 ，因此使用两种套餐均无主叫超时费；
使用A套餐费用为： （元），
使用B套餐费用为：当 且 是整数时， （元），
当 且 是整数时， （元），②使用A套餐费用为： （元），
使用B套餐费用为：99＋15＋200×0.15＋（30+1-23）×3=168元
171.56＞168
因此B套餐更合算．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数混合运算的实际应用，解题的关键是
看懂两个套餐的计费规则．
题型7 数字问题
例7（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）把从1开始的连续的奇数1，3，5，…，2021，
2023排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右
依次为第1列、第2列、第3列、…
(1)①数阵中排在第6行第1列的数是______，数阵中排在第7行第1列的数是______；
②数阵中共有______个数，2023在数阵中排在第______列，数阵中排在第 行第5列的数
可用 表示为______．
(2)按如图所示的方式，用一个“ ”形框框住四个数，设被框的四个数中最
小的数为 ，是否存在这样的 ，使得被框住的四个数的和为1308？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由；
(3)数阵中用一个“ ”形框框住的四个数的和记为“S”，直接写出S的最大
值与最小值的差．
【答案】(1)①81，97；②1012，4，
(2)不存在
(3)8016【分析】本题考查的是数字类的规律探索，一元一次方程的应用，解题的关键是能观察出
数阵中每行的数依次增加2，每列的数依次增加16．
（1）依据每行的数依次增加2，每列的数依次增加16，据此解答即可；
（2）通过假设存在这样的 ，则可列出方程： ，即可解
答；
（3）要使S的值最小，则框住的是第一、二行前面较小的数，要使S的值最大，则框住的
是数阵中后面的大数，据此解答即可．
【详解】（1）解：①通过观察可知，第五行最后一个数为79，
则第6行第1列的数是 ，
又通过观察可知，同一列的数依次往下加16，
则第7行第1列的数是 ，
②数阵中的数共有： （个），
数阵中一共有1012个数，每行有8个数，
，
则2023在数阵中排在第4列；
通过观察数阵可知：相邻两个数依次增加2，同列上下两个数依次增加16，
则第 行的第一个数为： ，
则数阵中排在第 行第5列的数可用 表示为： ，
故答案为：①81，97；②1012，4， ；
（2）解：假设存在这样的 ，使得被框住的四个数的和为1308，
依题意，可列方程： ，
解得： ．
因为319是第160个奇数， ，
所以319位于第20行第8个数，
因为319右边的数321位于第21行第1个数，
所以假设不成立，
故不存在这样的 ，使得被框住的四个数的和为1308．
（3）解：通过观察可知：框住的最小值为： ，
要使框住的值最大，则最后一个数2023必然在平行四边形中，
则框住的最大值为： ，
则两者的差为： ，
故S的最大值与最小值的差为：8016．
举一反三1（2023上·广东广州·七年级广州市海珠中学校考期中）把正整数1，2，3，
4，…，2023排列成如图所示的一个表．
(1)用一正方形在表中随意框住4个数，把其中最小的记为x，另三个数用含x的式子表示出
来，从小到大依次是 ， ， ．
(2)当被框住的4个数之和等于416时，x的值是多少？
(3)被框住的4个数之和能否等于688？如果能，请求出此时x的值；如果不能，请说明理
由．
【答案】(1)
(2)100
(3)不能，见解析
【分析】（1）把其中最小的数记为x，则另三个数分别是 ；
（2）根据被框住的4个数之和等于416，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出
结论；
（3）在（1）前提下，被框住的4个数之和不能等于688，根据框住的4个数之和等于
688，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，结合此时x在第七列，可得
出被框住的4个数之和不能等于688．【详解】（1）解：把其中最小的数记为x，则另三个数分别是 ．
故答案为： ．
（2）解：依题意得： ，
解得： ．
答：x的值为100．
（3）解：在（1）前提下，被框住的4个数之和不能等于688，理由如下：
依题意得： ，
解得： ，
又∵ ，
∴168在最后一列，不符合题意，
∴在（1）前提下，被框住的4个数之和不能等于688．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及规律型：数字的变化类，找准等
量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
举一反三2（2023上·福建厦门·七年级校联考期中）定义：对任意一个两位数 ，如果
满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零那么称这个两位数为“互异数”．将一个
“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位
数的和与11的商记为 ．例如： ，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，
新两位数与原两位数的和为 ，和与11的商为 ，所以 ．根据
以上定义，回答下列问题：
(1)①下列两位数：50，44，35中，“互异数”为______；②计算： ______；
(2)一个“互异数” 的十位数字是 ，个位数字是 ，且 ，求 的值；
(3)如果一个“互异数” 的十位数字是 ，个位数字是 ，且 ，求“互异
数” 的值．
【答案】(1)①35；②7
(2)5(3)“互异数” 的值为71
【分析】（1）①根据“互异数”的定义逐个判断即可得到答案；②根据“互异数”的定义
进行计算即可得到答案；
（2）根据“互异数”的定义表示出 ，再根据 即可得出答案；
（3）根据“互异数”的定义表示出 ，再根据 得到 ，求出
的值即可得到答案．
【详解】（1）解：① 对任意一个两位数 ，如果 满足个位数字与十位数字互不相同，
且都不为零那么称这个两位数为“互异数”，
50不是“互异数”，44不是“互异数”，35是“互异数”，
故答案为：35；
②根据题意得： ，
故答案为：7；
（2）解： 一个“互异数” 的十位数字是 ，个位数字是 ，
，
，
；
（3）解： 一个“互异数” 的十位数字是 ，个位数字是 ，
，
，，
，
， ，
“互异数” 的值为71．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算、一元一次方程的应用、列代数式，熟练掌握有理
数的混合运算法则，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程及代数式，是解此
题的关键．
题型8 几何问题
例8（2023上·江苏无锡·七年级校考阶段练习）数轴上有A、B、C三个小球，分别对应的
数是a、b、c，且满足a是绝对值最小的正整数，B球在原点的左侧且到原点的距离是5，
C球在A球的右侧，且到A球距离是9，三个球都在数轴上同时开始运动，A球向左运动，
运动速度为每秒2个单位长度，B、C两球向右运动，运动速度分别为每秒4个单位长度和
1个单位长度．
(1) ， ， ．
(2)运动____秒钟时，B、C两球相遇在点P；点P在数轴上表示的数是____；
(3)运动 ____ 秒钟时，A、B两球之间的距离为2．
(4)小球A碰到B后按原来的速度立刻返回，B球仍按原速原方向继续前行，当B追上C时，
三个球都停止运动，此时A球所对应的数为 ____ ．
【答案】(1) ， ， ；
(2) ， ；
(3) 或 ；
(4)7
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，
（1）根据绝对值最小的正整数为1，再结合数轴上两点之间的距离可得 ， ， 的值；
（2）由B，C运动中对应的数分别为 ， ，当B，C相遇时，则 ，
再解方程可得答案；（3）由A，B两球在运动中对应的数分别为 ， ，可得 ，再建立方
程求解即可；
（4）当A，B相遇时，可得： ；此时相遇点对应的数为 ，由（2）可得B，C
相遇时， ，结合A按原来速度返回，此时A对应的数为： ，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵a是绝对值最小的正整数，B球在原点的左侧且到原点的距离是5，C
球在A球的右侧，且到A球距离是9，
∴ ， ， ；
（2）∵B，C运动中对应的数分别为 ， ，
∴当B，C相遇时，则 ，
解得： ，
P对应的数为 ；
（3）∵A，B两球在运动中对应的数分别为 ， ，
∴ ，
∵A、B两球之间的距离为2，
∴ ，
解得： 或 ；
（4）当A，B相遇时，则 ，解得： ；
此时相遇点对应的数为 ，
由（2）可得B，C相遇时， ，
∵A按原来速度返回，此时A对应的数为： ，
当 时， ，
∴A球所对应的数为7．
举一反三1（2023上·江苏南通·七年级校考阶段练习）一个点从数轴上的原点开始，先向
右移动1个单位长度到达A点，再向左移动3个单位长度到达B点，然后向右移动6个单
位长度到达C点．(1)点A对应的数是 ，点B对应的数是 ，点C对应的数是 ．
(2)若点P、Q同时分别从点B、C出发，速度分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的移
动，设移动时间为t秒．
①若点P向右移动，点Q向左移动，当它们相遇时，求移动时间t秒；
②若点P、点Q都向左移动，当它们相遇时，求移动时间t秒；
③若点P向左移动，点Q向右移动，则点P表示的数是 （含t的式子表示），点Q表示的
数是 （含t的式子表示），设把点A到点P距离记为 ，点A到点Q距离记为 ，请
问： 的值是否会随着t变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】(1)1， ，4
(2)① ；② ；③ ， ， 的值是定值，值为3
【分析】（1）根据数轴上的点的运动规律，左加右减即可得出结果；
（2）①先求出 的长，根据点移动的方向列出方程进行求解即可；②根据 的长，点
移动的方向列出方程进行求解即可；③当移动的时间为t秒，结合点B、C的位置表示出
P、Q表示的数，根据数轴上两点间距离公式得出 ， 的长，代入求值即可．
【详解】（1）解：一个点从数轴上的原点开始，先向右移动1个单位长度到达A点，
点对应的数是 ，
再向左移动3个单位长度到达B点，
点对应的数是 ，
然后向右移动6个单位长度到达C点
点对应的数是 ，
故答案为：1， ，4；
（2）① ，
，
；② ，
，
；
③点P向左移动，则点P表示的数是 ，
点Q向右移动，则点Q表示的数是 ，
， ，
，
的值是定值，值为3．
【点睛】本题考查了实数与数轴之间的对应关系，数轴上的点的运动规律，数轴上两点间
的距离，一元一次方程的应用，解题关键是求数轴上两点间的距离应让较大的数减去较小
的数．
举一反三2（2023上·辽宁大连·七年级统考阶段练习）问题情境：我们在本期教材中曾经
学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，
记作 ．
实际上，数轴上表示数 的点与原点的距离可记作 ；数轴上表示数 的点与表示
数2的点的距离可记作 ，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表
示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作 ．
(1)独立思考：
①数轴上表示1和 的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示x与 的两点A和B之间的距离为2，那么x为 ；
(2)实践探究
如图，已知A，B分别为数轴上的两点，点A表示的数是 ，点B表示的数是50，现有
一只蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁Q
恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动．
①t秒后，点P在数轴上所表示的数为 ，点Q在数轴上所表示的数为 ，当P、Q两蚂蚁相遇时，即P、Q两点在数轴上表示的数相同，此时可得等式 ；(用含有t的式子表示)
②当P、Q两只蚂蚁在数轴上表示的数是互为相反数时，若所用的时间为t，可得等式为 ；
(用含有t的式子表示)
③求两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度时的时间．
【答案】(1)①4；②1或
(2)① ；② ；③两只蚂蚁在数轴上距
离10个单位长度时的时间为14或18秒
【分析】（1）①根据两点间的距离公式列式计算即可；②由题意知， ，计算
求解即可；
（2）①由题意知，t秒后，点P在数轴上所表示的数为 ，点Q在数轴上所表示的数
为 ，当P、Q两蚂蚁相遇时，可得等式 ；②由P、Q两只蚂蚁在数
轴上表示的数是互为相反数，可得 ；③由题意知，
，分当 时，当
时，两种情况求解即可 ．
【详解】（1）①解：由题意知，数轴上表示1和 的两点之间的距离是 ．
故答案为：4；
②解：由题意可得， ，
∴ 或 ，
解得 或 ．
故答案为：1或 ；
（2）①解：由题意知，t秒后，点P在数轴上所表示的数为 ，点Q在数轴上所表示
的数为 ，当P、Q两蚂蚁相遇时，可得等式 ；
故答案为： ， ， ；②∵P、Q两只蚂蚁在数轴上表示的数是互为相反数，
∴ ，
故答案为： ；
③解：由题意知， ，
当 时， ，
当 时， ，
综上所述，两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度时的时间为14或18秒．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，绝对值的意义，数轴上两点间的距离公式，列
代数式，相反数等知识．根据题意正确的列等式、方程是解题的关键．
题型9电、水费问题
例9（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）某出租车公司推出A专车和B快车两种出租车，
它们的收费方式如下．
A专车：3千米以内收费10元，超过3千米的部分每千米收费 元，不收其他费用；
B快车：
计费项目 起步价 里程费 远途费
计费价格 8元 2元/千米 1元/千米
注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程2千米；里程大于
2千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远
途费，超过12千米的，超出的部分每千米加收1元．
(1)如果乘车路程是3千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快车出行，
需支付的费用是______元；
(2)如果乘车路程是10千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快车出行，
需支付的费用是______元；
(3)如果乘车路程是 千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快车出行，需支付的费用是______元（用含 的式子表示）；
(4)如果乘车路程是 千米时，使用B快车出行的费用比使用A专车出行省3元，求 的值．
【答案】(1)10，10
(2) ，24
(3) ，
(4) 的值为9或15
【分析】（1）由乘车路程是3千米可得A专车只收费10元，B快车收起步价与里程费，再
计算即可；
（2）由乘车路程是10千米，可得A专车3千米以内收费10元，超过3千米的部分每千米
收费 元，B快车收起步价与里程费，再计算即可；
（3）由乘车路程是 千米，可得A专车3千米以内收费10元，超过3千米的部分
每千米收费 元，B快车收起步价与里程费，远程费，再计算即可；
（4）根据（3）中所列代数式结合乘车路程是 千米，再分三种情况列方程求解即可．
【详解】（1）解：如果乘车路程是3千米，使用A专车出行，需支付的费用是 元；使
用B快车出行，需支付的费用是 元；
（2）如果乘车路程是10千米，使用A专车出行，需支付的费用是
（元）；
使用B快车出行，需支付的费用是 （元）；
（3）乘车路程是 千米，使用A专车出行，需支付的费用是
元；
使用B快车出行，需支付的费用是 元
（4）①当 时，A专车费用为10元，B快车费用最少需要8元，
不可能比A专车省3元，故舍去；②当 时，A专车费用为 元，B快车费用为 元，
∴ ，
解得： ，
③当 时，A专车费用为 元，B快车费用为
元．
依题意， ，解得： ；
综上所得： 的值为9或15．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用，
清晰的分类讨论是解本题的关键．
举一反三1（2023上·天津蓟州·七年级统考期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水
资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下：（消
费按月份结算， 表示立方米）
价目表
每月用水量 价格
元
不超过
元
超出 不超出 的部分
超出 的部分 元
(1)某户居民1月份和2月份的用水量分别为 和 ，则应收水费分别是________元和
________元．
(2)若该户居民3月份用水量为 （其中 ），则应收水费多少元？（用含 的式
子表示，并化简）．
(3)若该户居民4月份交水费 元，求该户居民4月用水多少 ？
【答案】(1) ，
(2)应收水费 元
(3)该户居民4月用水 ．【分析】本题考查列代数式，整式的加减的应用，一元一次方程的应用，根据题意分类讨
论是解题的关键．
（1） 月份用水 ，则按第一档缴费； 月份用水 ，则按第二档缴费；
（2）由于 月份用水量 (其中 )，根据缴费的形式得到 化简即
可；
（3）设 月份用水 ，根据题意可得 ，列出一元一次方程，解方程即可求解．．
【详解】（1）解：该用户 月份用水 ，应交水费： 元 ；
该用户 月份用水 ，应交水费： 元 ；
故答案为： ， ；
（2）由依题意得： 元
答：应收水费 元；
（3）解：设 月份用水 ，
当 时，由（2）可得应收水费
解得： ，不合题意，
∴
；
解得：
答：该户居民4月用水 ．
举一反三2（2023上·北京房山·七年级统考期中）为了更好地使用和节约水资源，自2014
年5月1日起，北京市居民生活用水开始实施阶梯水价，下表为北京市居民用水（自来
水）水费收费标准：
价格组成（单位：元/立方
每户年用水量 水单价
米）
阶梯
（单位：立方米） （单位：元/立方米）
水费 水资源费 污水处理费第一阶梯 0～180（含180） 5
第二阶梯 180～260（含260） 7
第三阶梯 260以上 9
例如，某用户的年用水量为300立方米，按三阶梯计量应缴纳水费为：
（元）．
请解答以下问题：
(1)如果 用户的年用水量为100立方米，则 用户需缴纳的水费为________元；
(2)如果 用户一年缴纳的水费为1040元，则 用户该年用水量为________立方米；
(3)如果 用户的年用水量为 （ ）立方米，求 用户该年应缴纳水费多少元？（用
含 的代数式表示，并化简）
【答案】(1)500
(2)200
(3) 用户该年应缴纳水费 元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用：
（1）利用单价乘以水量即可；
（2）首先得出所用自来水的范围，设未知数、根据等量关系列方程即可；
（3）根据数量关系，列出算式即可；
解题的关键是明确题意，找准数量关系，列出方程．
【详解】（1）解： （元），
答：则 用户需缴纳的水费为500元，
故答案为：500．
（2） （元），
则使用自来水260立方米时，应缴纳： ，
设 用户该年用水量为 立方米，
则1 ，解得： ，
答： 用户该年用水量为200立方米，
故答案为：200．
（3） ，
，
，
，
答： 用户该年应缴纳水费 元．
题型10 和差倍分问题
例10（2022上·广东河源·七年级统考期末）在甲处工作的有132人，在乙处工作的有108
人，如要使乙处工作的人数是甲处工作人数的 ，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙
处调x人到甲处，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】用含x的式子表示出调动后甲处和乙处的人数，再根据等量关系列方程即可．
【详解】解：设应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为 人，乙处现有
的工作人数为 人．
根据“乙处工作的人数是甲处工作人数的 ”列方程得： ，故选D．
举一反三1（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）甲、乙两人去买东西，他们所
带钱数比是 ，甲花去 元，乙花去 元，则二人余下的钱数比为 ，则甲余下的钱
数是 ．
【答案】 元
【分析】设甲剩下的钱数为 ，乙剩下的钱数为 ，则原来甲的钱数为： 元，原
来甲的钱数为： 元，根据题意，列出方程，即可．
【详解】设甲剩下的钱数为 ，乙剩下的钱数为 ，
∴原来甲的钱数为： 元，原来甲的钱数为： 元，
∵他们所带钱数比是 ，
∴ ，
解得： ，
∴甲余下的钱数是 （元），
故答案为： 元．
【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握一元一次方程的运用，比的运
用．
举一反三2（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）列方程解答下列两道数学问题：
(1)问题1：我国元朝朱世杰所著《算学启蒙》中的一道数学问题：快马每天走240里，慢
马每天走150里．慢马先走12天，则快马几天可以追上慢马？
(2)问题2：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是
97，求这个数．
【答案】(1)快马 天可以追上慢马
(2)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系列式．
（1）快马花 天追上慢马，此时快马走的路程为 里，由于慢马先走 天，所以慢马总共走的路程为 里．当快马追上慢马时，就是说它们所走的路程相等，即可列
出方程．
（2）设这个数为 ，根据“它的三分之二，它的一半，它的七分之一和它的全部，加起来
总共是 ”找到等量关系并列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设快马x天可以追上慢马，依题意得：
，
解得
答：快马20天可以追上慢马.
（2）解：设这个数为x，依题意得：
，
解得 ，
∴这个数是 .
题型11 比例问题
例11（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水
排量要比环保限制的最大量还多 ；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少
，新旧工艺的废水排量之比为2：5，若设环保限制的最大量为 ，则可列方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，本题先分别表示新工艺的废水排量为
，旧工艺的废水排量为 ，再利用比值的含义建立方程即可；确定相等
关系是解本题的关键．
【详解】解：设环保限制的最大量为 ，则，
故选：A．
举一反三1（2021下·上海闵行·六年级校考期中）某公路收费站的收费标准是大客车20
元，大货车10元，轿车5元，某天通过收费站的这三种车辆的数量之比是 ，共收费
4800元，问这天通过收费站的三种车各是多少辆？
【答案】这天通过收费站的大客车120辆，大货车168辆，轿车144辆．
【分析】设这天通过收费站的大客车 辆，大货车 辆，轿车 辆，根据“大客车20元，
大货车10元，轿车5元，共收费4800元”列出方程并解答．
【详解】解：设这天通过收费站的大客车 辆，大货车 辆，轿车 辆，
依题意得： ，
解得 ， 则 （辆）， （辆）， （辆）．
答：这天通过收费站的大客车120辆，大货车168辆，轿车144辆．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是找到题中的等量关系列出方程．
举一反三2（2023上·山东德州·七年级校考开学考试）一种农药，用药液和水按 配
制而成．要配制这种农药505千克，需要药液多少千克？
【答案】5千克
【分析】首先设需要药液 千克，根据条件“用药液和水按 配制而成．”可得需要水
千克，根据题意可得等量关系：药液的质量 水的质量 千克，由等量关系可得
方程 ，再解方程即可．
【详解】解：设需要药液 千克，则需要水 千克，由题意得：
，
解得： ，
答：需要药液5千克．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量
关系，列出方程．
题型12 日历问题例12（2023上·广东惠州·七年级校考期中）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一
个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，若圈出的5个数的和为
115，则这5个数中的最大数为 ．
【答案】30
【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设中间数为n，则其左边数为 ，右边数是
，其上边数为 ，下边数是 ，五个数的和为
，列式计算得n，根据 最大计算即可，正确表
示五个数是解题的关键．
【详解】设中间数为n，则其左边数为 ，右边数是 ，其上边数为 ，下边数是
，五个数的和为 ，
故 ，
解得 ，
最大数是 ，
故答案为：30．
举一反三1（2023上·北京西城·七年级北京四中校考期中）如图1是2024年1月的日历表：(1)在图1中用优美的U形框“ ”框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个
数字之和为______；
(2)在图1中移动U形框的位置，若U形框框住的五个数字之和为 ，则这五个数字中最大
的数为______；
(3)在图1日历表的基础上，继续将连续的自然数排列成如图2的数表，在图2中U形框框
住的5个数字之和能等于 吗？若能，分别写出U形框框住的5个数字：若不能，请说
明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】本题以生活中常见的日历为背景，考查了有理数的运算及一元一次方程的求解．
找到U形框中的五个数字之间的关系是解题关键．
（1）日历中左右相邻的数字相差 ，上下相邻的数字相差 ，据此即可求解；
（2）设U形框最小的数为 ，由（1）可知另外四个数为 ， ， ， ，即
可建立方程求解；
（3）由（2）得：令 ，求解 即可判断．
【详解】（1）解：∵最小的数为1，
∴另外四个数分别为： ， ， ，
则U形框中的五个数字之和为：
故答案为：
（2）解：设U形框最小的数为 ，显然它在U形框左上角的位置，
由（1）可知，另外四个数分别为： ， ， ，
∴即：
解得：
∴
故答案为：
（3）解：U形框框住的5个数字之和不能等于 ，理由如下：
令
解得：
∵ 为整数，
∴U形框框住的5个数字之和不能等于
举一反三2（2023上·广东中山·七年级统考期中）将正整数1，2，3，4，5，……排列成
如图所示的数阵：
(1)如果设十字架正中心的数为x，用含x的式子表示这五个数的和．
(2)十字框中五个数的和能等于180吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由；
(3)十字框中五个数的和能等于2020吗？若能，请写出这五个数：若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3)这五个数是404，403，405，397，411．
【分析】此题主要考查一元一次方程的应用，熟练的表示框中的五个数是解本题的关键．
（1）设中心的数为 ，则其余4个数分别为 ， ， ， ，相加即可得到规律；
（2）由（1）得五个数的和为 ，令 ，根据解得情况即可求解；
（3）由（1）得五个数的和为 ，令 ，根据解得情况即可求解；
【详解】（1）解：五个数的和与框正中心的数还有这种规律．
设中心的数为 ，则其余4个数分别为 ， ， ， ．
，∴十字框中五个数的和是 ．
（2）十字框中五个数的和不能等于180．
∵当 时，解得 ，
，36在数阵中位于第6排的第1个数，其前面无数字，
∴十字框中五个数的和不能等于180．
（3）十字框中五个数的和能等于2020．
∵当 时，解得 ，
，404在数阵中位于第58排的第5个数，
∴十字框中五个数的和能等于2020，
这五个数是404，403，405，397，411．
题型13 古典问题
例13（2023上·广西贺州·七年级统考期中）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人
共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人
共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少
人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题根据车的辆数不变，即可得出
关于x的一元一次方程，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：依题意，得 ．
故选：A．
举一反三1（2023上·广东广州·七年级华美英语实验学校校考期中）古代名著《算学启
蒙》中有一题：良马日行二百三十里，驽马日行一百三十里．驽马先行一十一日，问良马
几何追及之？意思是：跑得快的马每天走230里，跑得慢的马每天走130里．慢马先走11
天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则可列方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设快马 天可以追上慢马，根据快
马和慢马所走的路程相等建立方程即可．
【详解】解：设快马 天可以追上慢马，
据题题意： ，
故选：D．
举一反三2（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的
《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、
每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方．则图中m的值
为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程组的应用及等式基本性质的应用，找准等量关系，正确
列出一元一次方程组是解题的关键．设正中间的数为x，根据每一横行、每一竖行以及两
条对角线上的3个数之和相等列出方程求解即可．
【详解】解：设正中间的数为x，
则 ，
解得 ，
∴ ，
解得 ．
故选：B．一、单选题
1．（2023上·湖南娄底·七年级娄底市第三中学校考期中）李明端午节去买粽子，每个肉粽
比素粽贵3元，购买4个肉粽和6个素粽共用去62元，设每个素粽是x元，则可列方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据等量关系式：购买4个肉粽的费用 6个素
粽的费用 62元，列出方程式是解题的关键．
【详解】解：由题意得
；
故选：D．
2．（2023上·福建厦门·七年级校联考期中）在数轴上，点 、点 分别表示数 ， ，则
线段 的长表示为| |，例如：在数轴上点 表示 ，点 表示 ，则线段 的长表
示为| | ，数轴上的任意一点 表示的数是 ，且| | | |的最小值为 ，若
，则 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据 的最小值为 可知， 、 对应点在数轴上距离为 ，再根据 的
取值可解得 在解答中应用绝对值的几何意义进行分类讨论是解答关键
【详解】解：由线段上的点到线段两端点的距离的和最小，
①当点 在 的右侧时，
得 在 点与 点的线段上， 的值最小为 ，最小 ，
解得： ；
②当点 在 的左侧时，
得 在 点与 点的线段上， 的值最小为 ，
最小 ，
解得： ；
故选C.
3．（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）观察下列三行数：
，4， ，16， ，64，…；①
0，6， ，18， ，66，…；②
，2， ，8， ，32，…；③
存在这样的一列数，使①②③行对应的这列的三个数的和为642，则应是从左到右对应的
列数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】观察第一行的数字可得第一行第 个数为： ，观察第一行与第二行的数
字可得第二行第 个数为： ，观察第一行和第三行的数字可得第三行第 个数
为： ，根据题意得出方程 ，解方
程即可得到答案．
【详解】解：第一行数为： ， ， ， ， ，
，…，
第一行第 个数为： ，
， ， ， ， ， ，…，
第二行每个数是第一行相应数加上2所得，第二行第 个数为： ，
， ， ， ， ， ，…，
第三行每个数是第一行相应数除以2所得，
第三行第 个数为： ，
存在这样的一列数，使①②③行对应的这列的三个数的和为642，
，
为偶数，
，
，
解得： ，
故选：C
4．（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折
销售，但其利润率恰好为10％，则该商品可以打（ ）折（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.8
【答案】D
【分析】设打x折，由题意可得 ，然后求解即可，理解题意列出一元一
次方程是解题关键．
【详解】解：设打x折，由题意得 ，
解得： ；
故选D．
5．（2023上·黑龙江鸡西·七年级统考阶段练习）如图，数轴上一点A向左移动2个单位到
达点B，再向右移动5个单位到达点C．若点C表示的数为1，则点A表示的数是（ ）A．7 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】设点A表示的数为x，再由题意得到关于x的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设点A表示的数为x，则由题意得：
，解之得： ，
故选D．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，分清运动方向及根据题意列出方程是解题关键．
二、填空题
6．（2023上·北京西城·七年级北京四中校考期中）如图所示，已知长方形 的长
，宽 ，内有边长相等的小正方形 和小正方形 ，其重叠部分为长
方形 ．若长方形 的周长为 ，则图中阴影部分周长和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设小正方形的边长为 ，可得出长方形
的长和宽，根据其周长可建立方程求解 ，进而可求阴影部分周长．
【详解】解：设小正方形的边长为 ，
则： ，
∵长方形 的周长为 ，
∴
解得：
∴ ， ， ，
∴阴影部分周长和为：
故答案为：7．（2023上·江苏无锡·七年级校考阶段练习）甲数的绝对值是乙数绝对值的2倍，在数轴
上甲、乙两数在原点的同侧，并且两点的距离等于10，则甲数为 ．
【答案】20或
【分析】根据绝对值的定义和正负数的意义，利用分类讨论的思想，同在原点的右侧，设
乙为x，则甲为 ；若同在原点的左侧，设乙为x，则甲为 ，列出方程求解即可．
【详解】解：①当同在原点的右侧，设乙为x，则甲为 ，
由题意可得 ，
解得： ，
∴此时甲数为20，乙数为10；
②若同在原点的左侧，设乙为x，则甲为 ，
，
解得： ，
∴甲数为 ，乙数为 ，
综上分析可知，甲数为20或 ．
故答案为：20或 ．
【点睛】本题主要考查了绝对值的定义和正负数的意义，根据题意列出方程是解答此题的
关键．
8．（2023上·黑龙江哈尔滨·六年级校考阶段练习）某商品提价 后，欲恢复原价，应再
降价提价后的
【答案】
【分析】设应再降价提价后的x，把原价看做单位“1”，可得关于x的方程式，求解可得答
案．
【详解】解：设应再降价提价后的x，把原价看做单位“1”，则提价 后为 ，再降价
后价格为 ，
∴ ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
9．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）将某班的学生分成 组，若每组 人，
则多 人，若每组 人，则差 人．则 ．
【答案】
【分析】将学生分成 组，根据题意，列出方程，即可．
【详解】将学生分成 组，
∵每组 人，则多 人，若每组 人，则差 人，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键是根据人数不变，找到等量关系，列
出方程．
10．（2023上·浙江台州·七年级校考期中）某商场出售某款电视机，售价为每台1800元，
可盈利 ，设这款电视机的进价为 元，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】题考查了一元一次方程的应用，解本题的关键是找出题中的等量关系：售价 进
价 利润，利润 进价 利润率．
【详解】解：设这款电视机的进价为 元，则列方程为：
，
故答案为： ．
三、解答题
11．（2023上·黑龙江哈尔滨·六年级校考阶段练习）六年1班承担了学校操场的清扫工作，
计划每天清扫200平方米，30天可以清扫完．
(1)若学校要求25天清扫完，每天应清扫多少平方米？
(2)若实际每天清扫的面积比计划每天清扫的面积提高了 ，实际多少天能清扫完整个学校操场？
(3)若六年1班按照（2）的速度完成一半时，学校要求此计划提前8天完成，提速后每天清
扫面积是多少平方米？
【答案】(1)240平方米；
(2)24天；
(3)300平方米．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
（1）根据工作总量不变，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据题意和工作总量不变，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（3）根据六年1班按照（2）的速度完成一半时，学校要求此计划提前8天完成，可以列
出相应的方程，然后求解即可．
【详解】（1）解：设若学校要求25天清扫完，每天应清扫 平方米，
由题意可得： ，
解得 ，
答：若学校要求25天清扫完，每天应清扫240平方米；
（2）设实际 天能清扫完整个学校操场，
由题意可得： ，
解得 ，
答：实际24天能清扫完整个学校操场；
（3）设提速后每天清扫面积是 平方米，由题意可得：
按照（2）的速度完成一半时所用时间： 天，
提速后所用天数： 天，
故 ，
解得 ，
答：提速后每天清扫面积是300平方米．
12．（2023上·黑龙江哈尔滨·六年级校考阶段练习）有一组互相咬合的齿轮．
(1)大齿轮有 个齿，小齿轮是大齿轮的 ，小齿轮有多少个齿？(2)小齿轮每分钟转 周，大齿轮每分钟转的周数比小齿轮少 ，大齿轮每分钟转多少周？
【答案】(1) 人；
(2) 人．
【分析】( )根据大齿轮有 个齿，小齿轮齿数是大齿轮齿数的 ，可以用 计算即
可得到小齿轮有多少个齿；
( )先设大齿轮每分钟转 周，然后根据小齿轮每分钟转 周，大齿轮比小齿轮每分钟转
的周数少 ，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【详解】（1） (个)，
答：小齿轮有 个；
（2）设大齿轮每分钟转 周，依题意得，
，
解得 ，
答：大齿轮每分钟转 周．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的一元一次
方程，利用方程的知识解答．
13．（2023上·江苏南京·七年级统考期中）生活中，通常用24时计时法表示具体时间与之
相关，全球共分为24个时区，相邻两个时区的时间相差1小时，以英国格林威治所在的本
初子午线为基准，在格林威治以东的地区，时差以“ ”标记，在格林威治以西的地区，
时差以“ ”标记，下表是各城市与格林威治的时差：
纽
城市 北京 悉尼 莫斯科
约
与格林威治时差(时)
例如：格林威治12时，对应北京当地时间20时，对应莫斯科当地时间15时．
(1)北京和纽约的时差是多少小时？
(2)若在悉尼的小明21时打电话给在纽约的小亮，则纽约当地时间是几时？
(3)小明在10月27日23时乘坐北京直飞悉尼的飞机，经过12小时抵达，此时悉尼当地时间为10月几日的几时？
(4)小红游学去了莫斯科，到了莫斯科之后，他在整点时刻打电话给在北京的爸爸报平安通
话那一刻，爸爸在北京的时间点数恰好是他在莫斯科时间点数的2倍，那么接通电话时，
小红爸爸在北京的具体时间是多少？
【答案】(1)北京和纽约的时差是 小时
(2)纽约当地时间是 时
(3)10月28日的 时
(4)小红爸爸在北京的具体时间点数是
【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加减运算的实际应用，一元一次方程
的应用，理解时差中的正号与负号的含义是解本题的关键．
（1）利用北京与格林威治的时差减去纽约与格林威治的时差，即可作答；
（2）先求出纽约与悉尼的时差，再用悉尼的时刻减去所求的时差，即可作答；
（3）先求出飞机抵达悉尼的北京时刻，再求出北京与悉尼的时差，再用所得的北京时刻加
上该时差，即可作答；
（4）设小红爸爸在北京的具体时间点数是x，则此时莫斯科时间的点数为 ，根据题
意列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1） （小时），
即：北京和纽约的时差是 小时；
（2）纽约与悉尼的时差： （小时），
由表格数据可知：悉尼时间在格林威治时间之前，纽约时间在格林威治时间之后，
∴纽约当地时间是： ，
即纽约当地时间是 时：
（3）∵小明在10月27日23时乘坐北京直飞悉尼的飞机，经过12小时抵达，
∴小明在北京时间10月28日11时抵达悉尼，
∵北京与悉尼的时差： （小时），
∴抵达时，悉尼时间为 （时），
即：抵达时悉尼当地时间为10月28日的 时；（4）设小红爸爸在北京的具体时间点数是x，则此时莫斯科时间的点数为 ，
根据题意，有： ，
解得： ，
即：小红爸爸在北京的具体时间点数是 ．
