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3.4《实际问题与一元一次方程》
精选练习
基础篇
一、单选题
1．甲车队有汽车56辆，乙车队有汽车32辆，要使两车队汽车一样多，设由甲队调出x辆汽车给乙队，
则可得方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】表示出抽调后两车队的汽车辆数然后根据两车队汽车一样多列出方程即可．
【详解】解：设由甲队调出x辆汽车给乙队，则甲车队有汽车（56-x）辆，乙车队有汽车（32+x）辆，
由题意得，56-x=32+x．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，表示出抽调后两车队的汽车辆数是解题的关键．
2．（2021·湖南·宁远县清水桥镇中学七年级阶段练习）一货轮往返于上、下游两个码头，逆流而上38
个小时，顺流而下需用32个小时，若水流速度为8千米/时，则下列求两码头距离x的方程正确的是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意分别表示出顺流和逆流时船的速度，然后列方程即可．
【详解】解：∵逆流而上38个小时，
∴逆流时船本身的速度可以表示为 千米/时，
∵顺流而下需用32个小时，
∴顺流时船本身的速度可以表示为 千米/时，
∵静水的速度是不变的，
∴可列方程为 ．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次方程中的航行问题，解题的关键是根据题意分析出顺流和逆流时船的速度．
3．某城市的出租车收费标准是：起步价6元（即行驶距离不超过3千米需付6元车费），超过3千米
后，每增加1千米加收1.5元（不足1千米按1千米计），小王乘这种出租车从甲地到乙地支付车费18
元，设他乘坐的路程为x千米，则x的最大值为（ ）．
A．7 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】根据题意 判断小王行驶路程 千米，再由出租车从甲地到乙地支付车费18元，列一
元一次不等式6+ ≤18，解此不等式即可解题．
【详解】解：
设小王从甲地到乙地经过的路程是x千米，根据题意得：6+ ≤18，
解得x≤11，
∴小王从甲地到乙地经过的路程的最大值为11千米，
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次不等式的运用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
4．（2022·江苏苏州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的
基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九
章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，
善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．
若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要
走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，先令在相同时间 内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快
的人的速度 ，走路慢的人的速度 ，再根据题意设未知数，列方程即可
【详解】解：令在相同时间 内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度 ，走路慢的人的速度 ，
设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可得 ，
根据题意可列出的方程是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查应用一元一次方程解决数学史问题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的
关键．
5．初一（1）班有学生60名，其中参加数学小组的有36人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人
数少5人，并且这两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的 多2人．则同时参加这两个小
组的人数是（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【分析】设同时参加这两个小组的人数为x人，根据参加这两个小组的人数与不参加这两个小组的人数
之和等于60列方程即可求解，注意不能重复加同时参加这两个小组的人数．
【详解】解：设同时参加这两个小组的人数为x人，
则这两个小组都不参加的人数为 人，
由题意得： ，
解得 ．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题的关键是能根据题意准确列出一元一次方程．
6．（2016·黑龙江哈尔滨·中考真题）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，
1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所
列方程正确的是（ ）
A．2×1000（26﹣x）=800xB．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800xD．1000（26﹣x）=800x
【答案】C【分析】此题等量关系为：2×螺钉总数=螺母总数，据此设未知数列出方程即可．
【详解】解：设安排x名工人生产螺钉，则（26-x）人生产螺母，由题意得
1000（26-x）=2×800x，
故C答案正确
故选C
二、填空题
7．一张方桌由一个桌面、四条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面40个或做桌腿240条，现
有6m3木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配套？
设用x立方米木料做桌面，由题意列方程，得__________．
【答案】
【分析】设用x立方米木料做桌面，则用 立方米木料作桌腿，根据一个桌面配四个桌腿列出方程
即可．
【详解】解：设用x立方米木料做桌面，则用 立方米木料作桌腿，
由题意得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．
8．（2021·福建·福州市马尾区三牧中学七年级阶段练习）用买10个大水杯的钱，可以买15个小水杯，
大水杯比小水杯的单价多5元，求大、小水杯的单价各多少元？设小水杯的单价为x元，则可列方程
___．
【答案】
【分析】设小水杯的单价为x元，则表示大水杯的单价为 元，由10个大水杯的钱等于15个小水
杯的钱，再列方程即可.
【详解】解：设小水杯的单价为x元，则大水杯的单价为 元，
则故答案为：
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，确定本题的相等关系“10个大水杯的钱等于15个小水杯
的钱”是解题的关键.
9．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，
商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折．
【答案】八
【分析】打折销售后要保证打折后利率为20%，因而可以得到不等关系为：利润率=20%，设可以打x
折，根据不等关系列出不等式求解即可.
【详解】解：设应打x折，
则根据题意得：（180×x×10%-120）÷120=20%，
解得：x=8．
故商店应打八折．
故答案为：八．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系式，同
时要注意掌握利润率的计算方法．
10．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学期末）在日历中一个竖框圈出三个日期，它们的和是48，那么最大
的一天是________号．
【答案】23
【分析】设中间一天的日期，根据上下日期的差为7表示出另外两天的日期，再由它们的和为48列出
方程，解之可得．
【详解】解：设中间一天的日期为x，则另外两天的日期为x﹣7，x＋7，
根据题意，得：x﹣7＋x＋x＋7＝48，
解得：x＝16，
∴x＋7＝16＋7＝23，
∴日期最大的一天23号，
故答案为：23．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到蕴含的相等关系，并据此
列出方程．
11．如图，在数轴上有A、B两个动点，O为坐标原点．点A、B从图中所示位置同时向数轴的负方向
运动，A点运动速度为每秒2个单位长度，B点运动速度为每秒3个单位长度，当运动___________秒时，点O恰好为线段AB中点．
【答案】 ##0.8
【分析】设经过t秒，点O恰好是线段AB的中点，因为点B不能超过点O，所以0＜t＜2，经过t秒点
A，B表示的数为，-2-2t，6-3t，根据题意可知-2-2t＜0，6-3t＞0，化简|-2-2t|=|6-3t|，即可得出答案．
【详解】解：设经过t秒，点O恰好为线段AB中点，
根据题意可得，经过t秒，
点A表示的数为-2-2t，AO的长度为|-2-2t|，
点B表示的数为6-3t，BO的长度为|6-3t|，
因为点B不能超过点O，所以0＜t＜2，则|-2-2t|=|6-3t|，
因为-2-2t＜0，6-3t＞0，
所以，-（-2-2t）=6-3t，
解得t= ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值的意义，解一元一次方程，根据题意列出等式应用绝对值的意
义化简是解决本题的关键．
12．（2019·贵州贵州·中考真题）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物
节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是______元.
【答案】2000，
【分析】设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可.
【详解】设这种商品的进价是x元，
由题意得，(1+40%)x×0.8＝2240，
解得：x＝2000，
故答案为2000.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用——销售问题，弄清题意，熟练掌握标价、折扣、实际售价
间的关系是解题的关键.
三、解答题
13．方程应用题（1）某车间有55名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．一个螺钉需要配2个螺母，
为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
（2）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解该商场以每件80元的价格购进了某品牌
衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．
请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？
【答案】（1）应安排生产螺钉和螺母的工人各25和30名；（2）每件衬衫降价20元时，销售完这批
衬衫正好达到盈利45%的预期目标．
【分析】（1）设应安排x名工人生产螺钉，（55﹣x）名工人生产螺母，根据题意列出方程即可求出答
案．
（2）设每件衬衫降价x元，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】解：（1）设应安排x名工人生产螺钉，（55﹣x）名工人生产螺母
根据题意，得2000（55﹣x）＝2×1200x，
解得，x＝25，
55﹣x＝30，
答：应安排生产螺钉和螺母的工人各25和30名
（2）设每件衬衫降价x元，根据题意，得
120×400+（120﹣x）×100＝80×500×（1+45%），
解得，x＝20，
答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．
【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
14．（2021·江苏·景山中学七年级期中）七年级1班全体学生为地震灾区共捐款428元，七年级2班每
个学生捐款10元，七年级1班所捐款数比七年级2班少22元，两班学生人数相同，每班有多少学生？
【答案】每班有45名学生．
【分析】设每班有x名学生，则七年级2班共捐款10x元，七年级1班共捐款10x−22元，根据七年级1
班全体学生为地震灾区共捐款428元列出方程解决问题．
【详解】解：设每班有x名学生，由题意得
，
解得：x＝45，
答：每班有45名学生．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
15．（2020·吉林白山·七年级期末）学校安排某班部分男生将新购进的电脑桌椅搬入微机室，若每人搬4套，则还缺8套；若每人搬3套，则还剩4套．问学校安排了多少男生搬运电脑桌椅？
【答案】12名
【分析】设安排x名男生搬运，两种搬运情况搬运总数相同作为等量关系列方程即可.
【详解】设安排x名男生搬运，则
4x-8=3x+4，
∴ x=12 ，
答：安排12名男生
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键.
16．问题情境：在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到
离桥共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在挢上的时间是148秒．已
知该列动车长为120米，求动车经过的这座大桥的长度．
合作探究：
（1）请补全下列探究过程：小明的思路是设这座大桥的长度为x米，则坐在动车上的小明从刚上桥到
离桥的路程为x米，所以动车的平均速度可表示为 米/秒；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束
的路程为（x﹣120）米，所以动车的平均速度还可以表示为 米/秒．再根据火车的平均速度不变，
可列方程 ．
（2）小颖认为：也可以设动车的平均速度为v米/秒，列出方程解决问题．请你按照小颖的思路求动车
经过的这座大桥的长度．
【答案】（1） ， ， ；（2）9000m
【分析】（1）根据等量关系即表示平均速度．从而列出方程．
（2）设立未知数，根据路程关系即可求解．
【详解】解：（1）设这座大桥的长度为x米，则坐在动车上的小明从刚上桥到离桥的路程为x米，所
以动车的平均速度可表示为 ．
从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为（x﹣120）米，所以动车的平均速度还可以表示为
．
火车的平均速度不变，可列方程： ．
故答案为： ； ； ．（2）设动车的平均速度为v米/秒．
∴150v＝148v+120．
解得：v＝60m/s．
∴动车经过的这座大桥的长度：150×60＝9000m．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找到等量关系，属于基础题．
17．（2022·湖南·衡阳市船山英文学校七年级阶段练习）某车间28名工人生产螺栓和螺母，每人每天
平均生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓需要两个螺母与之配套，如何安排生产才能让螺栓和螺母正
好配套？设若x名工人生产螺栓，其余工人生产螺母，根据题意所列方程为__．
【答案】2×12x＝18（28﹣x）
【分析】设安排x名工人生产螺栓，则需安排（28﹣x）名工人生产螺母，根据题意列出方程即可．
【详解】解：设安排x名工人生产螺栓，则需安排（28﹣x）名工人生产螺母，
根据题意，得：2×12x＝18（28﹣x），
故答案为：2×12x＝18（28﹣x）．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是本题的关键．
18．（2021·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲骑自行车，乙
开汽车，沿同一条路线相向匀速行．
出发后经3小时两人相遇．已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1小时乙到达A地问：
（1）甲车速度是________千米/小时，乙车速度是_________千米/小时．A，B距离是_______千米．
（2）这一天，若乙车晚1小时出发，则再经过多长时间，两车相距20千米？
【答案】（1）15，45，180；（2） 小时或 小时
【分析】（1）设甲的速度为xkm/h，根据出发后经3小时两人相遇列出方程，解之即可；
（2）设再经过y小时，两人相距20km，根据两车相距20千米分相遇前和相遇后分别列出方程，解之
即可．
【详解】解：（1）设甲的速度为xkm/h，则乙的速度为 =x+30（km/h），
根据题意得：
3x=x+30，
解得：x=15，
∴x+30=45，
∴AB的距离为：45×4=180km，
∴AB的距离为180km；（2）设再经过y小时，两人相距20km，
则15（y+1）+45y=180-20或15（y+1）+45y=180+20，
解得：y= 或 ，
∴再经过 小时或 小时后，两人相距20km．
【点睛】本题考查了一元一次方程，解题的关键是理解题意，得到相应的等量关系，列出方程．
提升篇
19．（2021·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）已知M＝（a+18）x3﹣6x2+12x+5是关于x的二次多
项式，且二次项系数和一次项系数分别为b和c，在数轴上A、B、C三点所对应的数分别是a、b、c，
数轴上有一动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点C移动，设移动时间为t秒．
(1)则a＝___，b＝___，c＝___．
(2)当点P运动到点B时，点Q从点O出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴在点O和点C之间往复
运动，
①求t为何值时，点Q第一次与点P重合？
②当点P运动到点C时，点Q的运动停止，求此时点Q一共运动了多少个单位长度，并求出此时点Q
在数轴上所表示的有理数．
③设点P，Q所对应的数分别是m、n，当6＜t＜8时，|c﹣n|+|b﹣m|＝8，求t的值．
【答案】(1)﹣18，﹣6，12
(2)① 秒；②54个单位长度，点Q在数轴上表示的有理数为6；③t＝7
【分析】对于（1），根据二次多项式的定义，列出方程求解即可；
对于（2）①，点P到点B用时6秒，到点O用时3秒，点Q运动18个单位长度在OC的中点处，根据
第一次相遇，列方程求解即可；
②求得点P运动时间，进而求出点Q运动的总路程，再结合OC的长度，即可得出答案；
③当6＜t＜8时，确定m，n的值，去掉绝对值，再解方程即可．
（1）
根据二次多项式的定义可得：a+18＝0，即a＝﹣18，b＝﹣6，c＝12，
故答案为：﹣18，﹣6，12；
（2）
①∵点A表示的数是﹣18，点B表示的数是﹣6，
∴AB＝﹣6﹣(﹣18)＝12，
∴点P从点A到点B用时t＝12÷2＝6秒．
点P从点B到点O用时t＝6÷2＝3秒，
此时点Q运动的长度为：6×3＝18个单位长度，
∴点Q在OC的中点，
设再经过t1秒两点第1次重合，则有，
2t1+6t1＝6，
解得： ，
∴ （秒）；
②∵点A表示的数是﹣18，点C表示的数是12，
∴AC＝12﹣(﹣18)＝30，
∴点P从点A到点C用时：30÷2＝15秒，
则点Q一共运动(15﹣6)×6＝54个单位长度，
54÷12＝4...6，
∴点Q在数轴上表示的有理数为：6；
③当6＜t＜8时，点P在BO上，点Q在OC上运动，
则c-n＞0，b-m＜0，且n=6(t-6)，m=-(18-2t)．
由|c﹣n|+|b﹣m|＝8，得c-n+m-b=8，
即12﹣6(t﹣6)+(-18+2t+6)＝8，
解得t＝7．
【点睛】考查了一元一次方程的应用，相反数和数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出
的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
20．（2021·广东·中山市黄圃华洋学校七年级阶段练习）某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进
价250元，售价300元；乙种商品每件进价450元，售价550元．
(1)该商场在“十一”黄金周期间销售甲、乙两种商品共100件，销售额为40000元，求甲、乙两种商
品各销售了多少件？(2)该商场在“十一”黄金周期间销售甲、乙两种商品共获利多少？
(3)假若该商场在“十一”黄金周期间销售甲、乙两种商品进行如下表所示的优惠活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过3000元 不优惠
超过3000元且不超过4500元 总售价打九折
超过4500元 总售价打八折
按上述优惠条件，若小林第一天只购买甲种商品一次性付款2400元，第二天只购买乙种商品打折后一
次性付款3960元，那么这两天小林在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
【答案】(1)甲种商品销售了60件，乙种商品销售了40件
(2)商场在“十一”黄金周期间销售甲、乙两种商品共获利7000元
(3)这两天小林在该商场购买甲、乙两种商品一共16件或17件
【分析】（1）设甲种商品销售了x件，可得300x+550（100﹣x）＝40000，即可解得甲种商品销售了
60件，乙种商品销售了40件；
（2）由甲的利润加乙的利润即得商场在“十一”黄金周期间销售甲、乙两种商品共获利7000元；
（3）先算出小林第一天购买甲种商品 ＝8（件），设小林第二天购买乙种商品不打折总金额为m
元，分两种情况：①当3000＜m≤4500时，可知购买乙种商品 ＝8（件），②当m＞4500时，购买
乙种商品 ＝9（件）．
（1）
解：设甲种商品销售了x件，则乙种商品销售了（100﹣x）件，
根据题意得：300x+550（100﹣x）＝40000，
解得x＝60，
∴100﹣x＝100﹣60＝40，
∴甲种商品销售了60件，乙种商品销售了40件；
（2）
解：∵60×（300﹣250）+40×（550﹣450）＝7000（元）；
∴商场在“十一”黄金周期间销售甲、乙两种商品共获利7000元；（3）
解：∵3000×0.9＝2700＞2400，
∴小林第一天购买甲种商品总金额不到3000元，不优惠，
∴小林第一天购买甲种商品 ＝8（件），
设小林第二天购买乙种商品不打折总金额为m元，
①当3000＜m≤4500时，0.9m＝3960，
解得m＝4400，
此时购买乙种商品 ＝8（件），
∴两天共购买甲，乙商品16件；
②当m＞4500时，0.8m＝3960，
解得m＝4950，
此时购买乙种商品 ＝9（件），
∴两天共购买甲，乙商品17件；
综上所述，这两天小林在该商场购买甲、乙两种商品一共16件或17件．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，根据题意找出题目中的等量
关系式，列出方程，是解题的关键．
21．（2022·新疆塔城·七年级期末）北京某景区，门票价格规定如下表：
购票张数 1～50张（包含50张） 50～100张（不包含50张） 100张以上
每张票的价
60元 50元 40元
格
某校七年级（1）、（2）两个班共102人去该景区游玩，其中（1）班人数多于（2）班人数，且（1）
班人数不足100人，如果两个班分别以班为单位单独购买门票，一共应付5500元．
(1)去该景区游玩的七年级（1）班和（2）班各有多少学生？
(2)如果七年级（1）班有12名学生因需参加学校竞赛不能外出游玩，（2）班学生可以全员参加游玩，
作为组织者，你有几种购票方案？通过比较，你该如何购票才能最省钱？
【答案】(1)七年级（1）班有62人，（2）班有40人
(2)七年级（1）班和（2）班应该联合起来一次购买101张门票最省钱【分析】（1）设七年级（1）班有学生x人，则七年级（2）班有学生102－x人，因为其中（1）班人
数多于（2）班人数，所以51
