文档内容
第二章：函数与基本初等函数
（模块综合调研卷）
（19题新高考新结构）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的）
1．函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由零点存在性定理可得答案.
【详解】因为函数 的定义域为 ，又 ，易知函数 在 上单调递增，
又 ，所以在 内存在一个零点 ，使 .
故选：C.
2．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数、对数函数的性质，借助媒介数比较大小.
【详解】依题意， ，而 且 ，
所以 .
故选：D
3．已知函数 ，则下列说法不正确的是（ ）A．函数 单调递增 B．函数 值域为
C．函数 的图象关于 对称 D．函数 的图象关于 对称
【答案】C
【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函
数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义， 与 的关系，即可判断CD.
【详解】 ，
函数 ， ，则 ，
又内层函数 在 上单调递增，外层函数 在 上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数 单调递增，故A正确；
因为 ，所以 ，则 ，
所以函数 的值域为 ，故B正确；
， ，
所以函数 关于点 对称，故C错误，D正确.
故选：C.
4．函数 的部分图象大致为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 的定义域排除B；由 是奇函数排除C；由 排除D，从而得出答案.【详解】由 ，得 ，则 的定义域是 ，排除B；
由 ，
得 ，
所以函数 是奇函数，排除C；
，排除D.
故选：A．
5．若函数 在 上单调，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.
【详解】令 ，
则 或 或 或
解得 或 ，
即实数m得取值范围为 .
故选：C．
6．已知函数 是 上的单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于 的不等式，即
可求解.
【详解】根据题意，当 时， ，可得 在 上递增，
要使得函数 是 上的单调函数，
则满足 ，且 ，解可得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：B.
7．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，由 的单调性和最值可证明 ，再构造 ，由
的单调性和最值可证明 ，即可得出答案.
【详解】令 ，则 .
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则 ，故 .
令 ，则 .
当 时， ， 单调递减，
则 ，即 .
故 .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于构造函数，通过求出函数的单调性和最值来比较大小.构造函数
，和 即可得出答案.8．已知函数 的定义域均为 ， 是奇函数，且 ，
则（ ）
A． 为奇函数 B． 为奇函数 C． D．
【答案】D
【分析】A选项，根据已知条件推出 是周期为4的周期函数，故 也是周期为4的周期函数，
，故A错误；C选项，推出 ， ， ，从而求出
；B选项，由 得 ，故B错误；D选项，计算出
， ，故 ，结合函数的周期得到答案.
【详解】A选项，因为 ，所以 ，
又 ，则有 ，
因为 是奇函数，所以 ，
可得 ，即有 与 ，
即 ，
所以 是周期为4的周期函数，故 也是周期为4的周期函数.
因为 且 . 所以 ，
所以 为偶函数. 故A错误，
C选项，由 是奇函数，则 ，
因为 ，所以 ，
又 ， 是周期为4的周期函数，
故 ，
所以 ，所以C错误；
B选项，由 得 ，故 不是奇函数，所以B错误；
D选项，因为 ，所以 ，
.
所以 ，所以 ，所以D选项正确
故选：D
【点睛】设函数 ， ， ， ．
（1）若 ，则函数 的周期为2a；
（2）若 ，则函数 的周期为2a；
（3）若 ，则函数 的周期为2a；
（4）若 ，则函数 的周期为2a；
（5）若 ，则函数 的周期为 ；
（6）若函数 的图象关于直线 与 对称，则函数 的周期为 ；
（7）若函数 的图象既关于点 对称，又关于点 对称，则函数 的周期为 ；
（8）若函数 的图象既关于直线 对称，又关于点 对称，则函数 的周期为 ；
（9）若函数 是偶函数，且其图象关于直线 对称，则 的周期为2a；
（10）若函数 是奇函数，且其图象关于直线 对称，则 的周期为4a．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．已知 ，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用对数的运算法则化简，结合作差法和基本不等式比较大小，依次判断各选项.
【详解】因为 ，
所以 ，
对A选项， ，所以 ，故A正确；
对B选项， ，
所以 ，故B选项不正确；对C选项，因为 ， ，
所以 ，
而 ，故上述不等式等号不成立，则 ，故C不正确；
对D选项，
,故D正确.
故选：AD
10．已知函数 ， 的定义域均为 ，且满足 ， ，
，则（ ）
A． B． 的图象关于点 对称
C． D．
【答案】AC
【分析】由 得出 的图象关于点 对称，由 和
得出 可判断A；由 和 可判断B；
根据 的定义域均为 和图象关于点 对称可判断C；记 ， ， ，结合
选项A知数列 和数列 均为等差数列，利用等差数列的求和公式可判断D.
【详解】 ，
的图象关于点 对称，即 ，
对于A， ， ①，
， ②，
②-①得 ，故A正确；
对于B， ， ③，
④，
③-④得 ， 的图象关于点 对称，故B错误；
对于C， 的定义域为 且图象关于点 对称， ，故C正确；
对于D， 的定义域为 且图象关于点 对称， ，
由②知，当 时， ， ，
当 时， ， ，
， ， ，记 ， ， ，
由选项A知，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
， ，
，故D错误.
故选：AC.
11．著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在 上的函数
.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导．根据该函数，
以下是真命题的有（ ）
A．
B． 的图象关于 轴对称
C． 的图象关于 轴对称
D．存在一个正三角形，其顶点均在 的图象上
【答案】BCD
【分析】特殊值代入验证A，D；利用偶函数定义判断B，C.
【详解】对于A，当 ， 时， ， ，
，故A错误；
对于B，因为 的定义域为 ，关于原点对称，
若 是无理数，则 是无理数，所以 ， ；
若 是有理数，则 是有理数，所以 ， ；
所以 ，
故 是偶函数，图象关于 轴对称，B正确；
对于C，由B可知， ，所以 ，
故 是偶函数，图象关于 轴对称，C正确；
对于D，设 ， ， ，
则 ，所以 是等边三角形，又因为 ， ， ，所以 的顶点均在 的图象上，D正确.
故选：BCD
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．若 是偶函数，则实数 ．
【答案】
【分析】因为 是偶函数，所以 ，据此即可求解,注意检验.
【详解】因为 是偶函数，定义域为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，此时 ，
满足题意.
故答案为： .
13．已知函数 在区间 上单调递减，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将 可看作由 复合而成，根据复合函数的单调性，列出不
等式，即可求得答案.
【详解】设 ，则 可看作由 复合而成，
由于 在 上单调递增，
故要使得函数 在区间 上单调递减，
需满足 在区间 上恒成立，且 在区间 上单调递减，
故 ，解得 ，
故a的取值范围为 ，
故答案为：14．已知幂函数 ，若 ，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意得到幂函数 的定义域和单调性，得到不等式 的等价不等式组，
即可求解.
【详解】由幂函数 ，
可得函数 的定义域为 ，且是递减函数，
因为 ，可得 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为：
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17
分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．环保部门为了研究某池塘里某种植物生长面积S(单位： )与时间t(单位：月)之间的关系，通过观察
建立了函数模型 ，且 .已知第一个月该植物的生长面积为 ，第三个月该
植物的生长面积为 .
(1)求证：若 ，则 ；
(2)若该植物的生长面积达到100 以上，则至少要经过多少个月？
【答案】(1)证明见解析
(2)8个月
【分析】（1）先根据条件求出参数，利用指数的运算可得答案；
（2）根据题意可得 ，求解指数不等式即可.
【详解】（1）证明：∵ ，∴ .
∴ .
由 ，得 ，∴ .
（2）令 ，又 ， ，∴ ，即至少需要经过8个月．
16．已知指数函数 的图象过点 ．
(1)求 的解析式；
(2)若函数 ，且在区间 上有两个零点，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 （ ，且 ），根据函数过点 ，代入求出参数 的值，即可得解；
（2）首先求出 的解析式，令 ， ，令 ， ，则问题转化为
在 上有两个零点，根据二次函数根的分布得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）由题意，设 （ ，且 ），
∵ 的图象过点 ，
∴ ，解得 ，
故函数 的解析式 ．
（2）∵ ，
∴ ，
令 ，因为 ，所以 ，
∴ ， ，
函数 在 上有两个零点，等价于 在 上有两个零点，则 ，即 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 ．
17．已知函数 .
(1)求函数 的定义域.
(2)判断函数 的奇偶性，并说明理由.
(3)对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)函数 为非奇非偶函数，理由见解析；
(3)
【分析】（1）根据函数 的解析式有意义，得出不等式组，即可求解；
（2）根据函数 的定义域的不关于原点对称，即可得到结论；
（3）根据题意，转化为 ，根据函数 的单调性，求得 ，得到
，
法一：转化为 ，令 ，求得 ，即可求解；
法二：分 ， 和 ，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由函数 有意义，则满足 ，
解得 ，所以函数 的定义域为 .
（2）解：因为 的定义域为 ，不关于原点对称，
所以函数 为非奇非偶函数.
（3）解：由“对 ，不等式 恒成立”，
可得 ，当 时，
由 在 上单调递减， ，
根据题意得，对
法一：可转化为 ，
令 ，由 在 上单调递减得，可得 ，
实数 的取值范围为 .
法二：设函数 ，
①当 ，即 时， 在 上单调递减，
可得 ，解得 ，则 ；
②当 ，即 时， 在 上单调递增，
可得 ，解得 ，则 ；
③当 ，即 时， 在 先减后增，
可得 ，解得 ，所以 ，
综上，实数 的取值范围为 .
18．已知函数 对于任意实数 恒有 ，且当 时， ，又
．
(1)判断 的奇偶性并证明；
(2)求 在区间 的最小值；
(3)解关于 的不等式： ．
【答案】(1) 为奇函数，证明见解析
(2)
(3)答案见解析
【分析】(1)令 ,得 ，再令 ，结合奇偶性定义可证；(2)先证明单调性，利用单调性求解即可；
(3)先化为 ，再利用单调性转化为 ，最后根据含参二次不等式的
分类讨论求解即可.
【详解】（1） 为奇函数，理由如下：
函数 的定义域为 ，关于原点对称，
令 得 ，解得 ，
令 得 所以 对任意 恒成立，所以 为奇函数，
（2）任取 ，且 ，则 .因为当 时， ，所以 .
，即 ，所以 在 上单调递增，
所以 在区间 的最小值为 ，
因为 ，令 得 ，
令 ， 得 ，
在区间 的最小值为 ，
（3）由 ，
得 ，
由 得 ，
由 在 上单调递增得 整理得 ，即 ，
当 时， ，解得 ；当 时， ，
当 时， ， ，解集为 ，
当 时， ，
当 时， ，解集为 ，
当 时， ，解集为 ，
当 时， ，解集为 ，
综上所述：当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ．
【点睛】关键点睛：这道题的关键之处为第（3）问，需要对含参的二次函数进行分类讨论，难点在于分
类讨论时标准的确定，主要是按照是否有根，根的大小进行分类求解的．
19．已知函数 ，若对于其定义域 中任意给定的实数 ，都有 ，就称函数
满足性质 ．
(1)已知 ，判断 是否满足性质 ，并说明理由；
(2)若 满足性质 ，且定义域为 ．
已知 时， ，求函数 的解析式并指出方程 是否有正整数解？请
说明理由；
若 在 上单调递增，判定并证明 在 上的单调性．
【答案】(1)不满足，理由见解析
(2) ，没有正整数解，理由见解析； 在 上单调递增，证明见解析
【分析】（1）直接根据性质 列式计算验证即可；
（2） 通过 可求得函数的解析式，先假设方程 有正整数解，然后列方程找到矛
盾即可； 任取 ，计算判断 的正负即可证明．
【详解】（1）因为 不恒成立，
所以 不满足性质 ；
（2）当 时， ，
此时 ，
又当 时， ，所以 ，所以 ，
假设方程 有正整数解 ，
则 ，
要使上式能成立，则必有 ， ， ，
所以 ，
明显 为单调递增函数，
又当 时， ，
当 时， ，
故方程 没有正整数解；
证明：任取 ，则 ，
则 ，
因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ，
所以 ，
即
所以 在 上单调递增．
【点睛】方法点睛：对于新定义问题，直接模仿定义中的条件来列式计算即可对（1）问求解，然后结合
新定义及函数的单调性从而可对（2）问进行求解.
