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第二课时 简单的三角恒等变换
考点一 三角函数式的化简
1.＝( )
A.－ B.1 C. D.2
答案 C
解析 原式＝＝
＝＝.
2.化简：＝________.
答案 cos 2x
解析 原式＝
＝
＝＝＝cos 2x.
3.(tan 10°－)·＝________.
答案 －2
解析 原式＝·＝＝－2.
4.化简：(－tan )·＝________.
答案
解析 (－tan )·(1＋tan α·tan )
＝(－)·(1＋·)
＝·
＝·＝.
感悟提升 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，
寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
考点二 三角函数求值问题
角度1 给角求值
例1 (1)计算＝________.
答案 －1解析 ＝
＝－＝－＝－1.
(2)(2021·盐城二模)＝________.
答案 －4
解析 原式＝
＝
＝＝
＝＝－4.
(3)(多选)下列各式中值为的是( )
A.1－2cos275°
B.sin 135°cos 15°－cos 45°cos 75°
C.tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°
D.
答案 BD
解析 对于A，1－2cos2 75°＝－cos 150°＝cos 30°＝，A错误；
对于B，sin 135°cos 15°－cos 45°cos 75°＝sin 45°sin 75°－cos 45°cos 75°＝－cos
120°＝，B正确；
对于C，∵tan 45°＝1＝，∴1－tan 20°tan 25°＝tan 20°＋tan 25°，∴tan 20°＋tan
25°＋tan 20°tan 25°＝1，C错误；
对于D，
＝
＝
＝
＝＝，D正确；故选BD.
角度2 给值求值
例2 (1)已知cos＝，θ∈，则sin＝________.
答案
解析 由题意可得
cos2＝＝，
cos＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝.
因为cos＝＞0，θ∈，
所以0＜θ＜，2θ∈，
根据同角三角函数基本关系式，
可得cos 2θ＝，由两角差的正弦公式，可得
sin＝sin 2θcos －cos 2θsin
＝×－×＝.
(2)(2021·常州一模)若2sin x＋2cos x＝1，则sin·cos＝________.
答案
解析 由题意可得4sin＝1，令x＋＝t，则sin t＝，x＝t－，所以原式＝sin(π－t)cos
2t＝sin t(1－2sin2t)＝.
角度3 给值求角
例3 (1)已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.
答案 (1) (2)－
解析 (1)∵0<β<α<，∴0<α－β<，
sin α＝.
又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
又0<β<，∴β＝.
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝
＝＝>0，
又α∈(0，π)，∴0<α<，
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
感悟提升 1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些
三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
2.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细
观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，
结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照
以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦
函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角
的范围为，选正弦较好.
训练1 (1)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝________.
答案 －
解析 cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
＝－
＝－＝－
＝－＝－.
(2)若tan α＋＝，α∈，则sin＋cos2α的值为________.
答案 0
解析 ∵tan α＋＝，α∈，
∴tan α＝3或tan α＝(舍)，
则sin＋cos2α
＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＋·
＝sin 2α＋cos 2α＋
＝(2sin αcos α)＋(cos2α－sin2α)＋
＝·＋·＋
＝·＋·＋
＝×＋×＋＝0.
(3)已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________.
答案
解析 因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又因为α，β均为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.
因为α为锐角，所以0＜2α＜π.
又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
考点三 三角恒等变换的应用
例4 (2021·浙江卷)设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R).
(1)求函数y＝的最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)f在上的最大值.
解 (1)因为f(x)＝sin x＋cos x，
所以f＝sin＋cos
＝cos x－sin x，
所以y＝＝(cos x－sin x)2
＝1－sin 2x.
所以函数y＝的最小正周期
T＝＝π.
(2)f＝sin＋cos＝sin x，
所以y＝f(x)f
＝sin x
＝(sin xcos x＋sin2x)
＝
＝sin＋.
当x∈时，2x－∈，
所以当2x－＝，即x＝时，
函数y＝f(x)f在上取得最大值，且y ＝1＋.
max
感悟提升 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结
合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意
观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.
训练2 已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x )＝，x ∈，求cos 2x 的值.
0 0 0
解 (1)由f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1，
得f(x)＝(2sin xcos x)－(2cos2x－1)
＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
∴函数f(x)的最小正周期为π.
易知f(x)＝2sin在区间上为增函数，
在区间上为减函数，又f(0)＝－1，f＝2，f＝－1，
∴函数f(x)在上的最大值为2，最小值为－1.
(2)∵2sin＝，
∴sin＝.
又x ∈，∴2x －∈，
0 0
∴cos＝.
∴cos 2x ＝cos
0
＝coscos －sinsin
＝×－×＝.
万能公式
sin α＝，cos α＝，tan α＝.
注意 (1)上述三个公式统称为万能公式.
(2)上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小了.
例 (1)已知α，β∈(0，π)，tan ＝，sin(α－β)＝，则cos β＝________.
答案
解析 ∵tan ＝，∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝，
∵α，β∈(0，π)，cos α＞0，∴α∈，
∴α－β∈，
∵sin(α－β)＝＞0，∴α－β∈，
∴cos(α－β)＝，
∴cos β＝cos(－β)＝cos(α－β－α)＝cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝×＋×＝.
(2)已知6sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝0，α∈.则tan α＝________，sin＝________.
答案 －
解析 ∵6sin2α＋sin αcos α－2cos2α
＝
＝＝0，
即6tan2α＋tan α－2＝0，解得tan α＝－或tan α＝，
因为α∈，∴tan α＝－.
∵sin 2α＝＝－，
cos 2α＝＝，
∴sin＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＝－×＋×＝.1.(2022·昆明诊断)已知角α的终边与单位圆的交点为P，且sin α·cos α>0，则＋的
值等于( )
A. B. C. D.3
答案 A
解析 根据三角函数的定义得sin α＝－，由同角三角函数的基本关系及sin αcos
α>0，得cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝，所以＋＝
＋＝＋＝.
2.已知α，β为锐角，tan α＝，则cos 2α等于( )
A. B.－ C. D.－
答案 B
解析 ∵tan α＝，tan α＝，
∴sin α＝cos α，
∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝，
∴cos 2α＝2cos2α－1＝－.
3.计算：等于( )
A. B. C. D.－
答案 A
解析 ＝
＝＝.
4.已知0<α<，－<β<0，cos(α－β)＝－，sin α＝，则sin β＝( )
A. B.－ C. D.－
答案 D
解析 因为sin α＝，0<α<，
所以cos α＝.
因为－<β<0，0<α<，
所以α－β∈(0，π)，
所以sin(α－β)＝＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝－.故选D.5.(多选)(2021·威海调研)函数f(x)＝sin xcos x的单调递减区间可以是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 AB
解析 f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，
由＋2kπ≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
得＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)＝sin xcos x的单调递减区间是(k∈Z)，
∵函数的周期是kπ(k≠0)，故A也正确.故选AB.
6.(2022·杭州模拟)设α＝，若β∈，且tan α＝，则β＝( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由tan α＝得sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
即sin(α－β)＝cos α＝sin，
因为β∈，α＝π，
所以α－β∈，－α∈，
由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，
所以2α－β＝，所以β＝π.
7.已知sin＝，则cos＝________.
答案 －
解析 cos＝cos
＝2cos2－1＝2cos2－1＝2sin2－1＝2×－1＝－.
8.(2021·烟台一模)已知α∈，若sin＝，则tan α的值为________.
答案
解析 ∵sin＝cos 2α＝，α∈，
∴sin α＝＝，
cos α＝＝，
∴tan α＝＝.
9.化简：(180°＜α＜360°)＝________.
答案 cos α解析 原式
＝
＝
＝＝.
因为180°＜α＜360°，所以90°＜＜180°，
所以cos ＜0，所以原式＝cos α.
10.已知0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos(β＋α)＝.
(1)求sin β的值；
(2)求的值.
解 (1)由0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，
cos(β＋α)＝，得sin α＝，sin(β＋α)＝.
所以sin β＝sin[(β＋α)－α]
＝sin(β＋α)cos α－cos(β＋α)sin α
＝×－×＝.
(2)因为cos α＝，sin α＝，
所以＝
＝＝12.
11.已知0<α<<β<π，cos＝，sin＝.
(1)求sin 2β的值；
(2)求cos的值.
解 (1)法一 因为cos
＝coscos β＋sinsin β＝cos β＋sin β＝，
所以cos β＋sin β＝，
所以1＋sin 2β＝，所以sin 2β＝－.
法二 sin 2β＝cos
＝2cos2－1＝－.
(2)因为0<α<<β<π，
所以<β－<π，<α＋β<.
所以sin>0，cos(α＋β)<0，
所以sin＝，cos(α＋β)＝－.
所以cos＝cos
＝cos(α＋β)cos
＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝.
12.设θ∈R，则“0＜θ＜”是“sin θ＋cos 2θ＞1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 sin θ＋cos 2θ＞1 sin θ＞1－cos 2θ＝2sin2θ (2sin θ－)sin θ＜0 0＜sin θ
＜.
⇔ ⇔ ⇔
当0＜θ＜时，0＜sin θ＜；当0＜sin θ＜时，2kπ＜θ＜＋2kπ，k∈Z或＋2kπ＜θ＜π
＋2kπ，k∈Z.
所以0＜θ＜是sin θ＋cos 2θ＞1的充分不必要条件.
13.若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )
A. B.
C.或 D.或
答案 A
解析 ∵α∈，∴2α∈，
∵sin 2α＝＞0，∴2α∈，
∴α∈且cos 2α＝－.
又∵sin(β－α)＝，β∈，
∴β－α∈，cos(β－α)＝－，
∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
＝×－×＝，
又∵α＋β∈，∴α＋β＝.
14.(2021·重庆诊断)已知函数f(x)＝sin＋2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求f(x)的值域.
解 (1)f(x)＝sin 2xcos －cos 2xsin ＋1－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin＋1，
∴T＝＝π，即f(x)的最小正周期为π.
(2)∵x∈，∴2x－∈，∴－≤sin≤1，
∴－≤sin＋1≤＋1，
∴f(x)的值域为.
