文档内容
4.3.3 余角和补角 导学案
学习目标
1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.
2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.
重点难点突破
★知识点1：余角和补角的意义
正确理解此概念需明确两点：①余角（补角）是相对于两个角而言，当满足了和为 90°（180°）时，就称
这两个角互为余角（补角），其中一个角叫做另一个角的余角（补角）.不能单纯地说某个角是余角（补
角）.②余角（补角）与这两个角的位置没有关系，不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它
们就具备相应的关系.
★知识点2：互余、互补的性质
同角（或等角）的余角（或补角）相等，这是证明角相等的一个非常重要的依据.
★知识点3：方位角
方位角是表示方向的角，通常以正北、正南方向为角的始边，以对象所处的射线为角的终边，故描述方位
角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西.
核心知识
1. 如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的 .
2. 如果两个角的和等于 ，就说这两个角 ，即其中一个角是另一个角的补角.
3. 同角（或等角）的余角 ，同角（或等角）的补角 .
4. 方位角是表示 的角，以 、 方向为基准，来描述物体所处的方向，如北
偏西30°，南偏东25°.
5. 用方位角描述方向时，通常以正北或正南为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一
般先叙述 ，再叙述 .
思维导图合作探究
问题1：在一副三角尺中，除了直角，其他两个角的和有什么特点？
一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角 （简称为两个角互余），即其中一个
角是另一个角的余角.
类似地，如下图，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角
的补角.
典例分析例1：若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数.
针对训练一
1. 一个角是70°39′，求它的余角和补角．
2. 一个角的补角是它的3倍，这个角是多少度？
3. 一个角是钝角，它的一半是什么角？它的余角呢？补角呢？
4. 已知∠A与∠B 互余，且∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B的度数.
典例分析
例2：如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若
∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．合作探究
问题2：如图，∠1 与∠2，∠3都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？
典例分析
例3：如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互
为余角？
变式训练：
如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;
（2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．针对训练二
如图，已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.
合作探究
问题3：如图，说出下列方位
（1）射线 OA 表示的方向为 .
（2）射线 OB 表示的方向为 .
（3）射线 OC 表示的方向为 .
（4）射线 OD 表示的方向为 .
典例分析
例4：如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°，南偏西
10°，西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D. 仿照表示灯塔方位的方法画出
表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线.当堂巩固
1. 一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2. 下列说法正确的是（ ）
A．一个角的补角一定大于它本身
B．一个角的余角一定小于它本身
C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角
D．一个角的余角一定小于其补角
3. 已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，则∠C的度数是 .
4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°，则∠1= ，∠2= .
5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
（1）图中有哪几对互余的角？
（2）图中哪几对角是相等的角（直角除外）？为什么？
6. 垃圾打捞船A和B都停驻在湖边观测湖面，从A船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物，同时，从B船也发现该白色漂浮物在它的北偏西30°方向.
（1）试在图中确定白色漂浮物C的位置；
（2）点 C 在点 A 的北偏东60°的方向上，那么点 A在点 C 的 方向上.
A. 南偏东30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60°
感受中考
1．（2022•甘肃）若∠A=40°，则∠A的余角的大小是（ ）
A．50° B．60° C．140° D．160°
2．（2022•连云港）已知∠A的补角为60°，则∠A = °．
3.（3分）（2020•通辽4/26）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（
）
课堂小结
回顾本节课所学主要内容，构建知识与方法框图：【参考答案】
核心知识
1. 90°；余角；
2. 180°；补角；
3. 相等；相等；
4. 方向；正北；正南；
5. 北或南；偏东或偏西.
典例分析
例1：解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°，余角是 ( 90－x )° .
根据题意，得
180－x = 4 ( 90－x ) .
解得x = 60.
答：这个角的度数是 60 °.
针对训练一1. 解：余角：90°－70°39′=19°21′
补角：180°－70°39′=109°21′
2. 解：设这个角为x°，
则180°－x=3x，
∴x=45°．
3. 解：它的一半是锐角；因为钝角大于90°，所以它没有余角；补角是锐角.
4. 解：设∠B的度数为x°，则∠A 的度数为 (3x+30)°.
根据题意得：
x + ( 3x+30 ) = 90.
解得x=15.
故∠B 的度数为15°.
典例分析
例2：解：设∠AOB=x，
因为∠AOC与∠AOB互补，
则∠AOC=180°－x．
因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，
所以∠AOM= ，∠AOM= .
所以 ，
解得x=50°，则180°－x=130°.
即∠AOB=50°，∠AOC=130°.
典例分析
例3：解：因为点A，O，B在同一直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC = (∠AOC+∠BOC ) = 90°.
所以∠COD和∠COE互为余角，同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
变式训练：
解：（1）∠COE、∠BOE；∠COE、∠BOE；
（2）解：OE平分∠BOC，
理由如下：∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠COD+∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE，
∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，
∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．
针对训练二
∠BOC和∠AOD.
典例分析
例4：解：画法：1. 以点O为顶点，表示正北方的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东
与北之间. 射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向.
2. 同理画出射线OC、射线OD.
射线OC、射线OD即为所求.
当堂巩固
1. A ；
2. D；
3. 150°；
4. 62°；28° ；5. （1）∠A+∠B=90°
∠A+∠2=90°
∠1+∠B=90°
∠1+∠2=90°
（2）∠B=∠2（同角的余角相等）
∠A=∠1（同角的余角相等）
6.（1）
（2） D.
感受中考
1．【解答】解：因为∠A=40°，
所以∠A的余角为：90°－40°=50°，
故选：A．
2．【解答】解：因为∠A的补角为60°，
所以∠A =180°－60°=120°，
故答案为：120．
3.【解答】解：A．∠α与∠β互余，故本选项正确；
B．∠α =∠β，故本选项错误；
C．∠α =∠β，故本选项错误；
D．∠α与∠β互补，故本选项错误，
故选：A．
