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5.1.1&5.1.2 相交线与垂线
邻补角和对顶角的概念
1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长
线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角，如右图∠1和∠2、∠2 和
∠3分别互为邻补角.
注意：
(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角
的和为180°．
(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．
(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.
2. 对顶角及性质：
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．
（2）性质：对顶角相等．
注意：
(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．
(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.
题型1、邻补角和对顶角的概念
1.下列说法正确的是（ ）
A．互补的两个角是邻补角
B．相等的角必是对顶角
C．对顶角一定相等
D．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等【变式1-1】图中∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述：
①∠1和∠2互为对顶角；②∠1和∠2互为邻补角；③∠1＝∠2；④∠1＝∠3
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
题型2：判断对顶角和邻补角
2下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】下列四幅图中，∠1和∠2是对顶角的为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】下列说法正确的是（ ）
A．有公共顶点的两个角是对顶角
B．对顶角不一定相等C．有公共顶点且相等的角是对顶角
D．对顶角相等
【新题速递】（2022秋•道里区校级月考）下列四个图形中，∠1和∠2是对顶角的是
A. B. C. D.
题型3：找一个角的邻补角和对顶角
3直线L ，L 被L 所截所得如图所示的5个角，其中是对顶角的一组是（ ）
1 2 3
A．∠3和∠5 B．∠3和∠4 C．∠1和∠5 D．∠1和∠4
【变式3-1】下列图形中∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】4条直线交于一点，则对顶角有（ ）
A．4对 B．6对 C．8对 D．12对
题型4：邻补角和对顶角相关角度求解
4如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，且∠BOC＝100°，则∠DOE为（ ）
A．40° B．80° C．100° D．140°
【变式4-1】如图，∠C＝88°＝∠D，AD与BE相交于点E，若∠DBC＝23°，则∠CAE的度数是（ ）A．23° B．25° C．27° D．无法确定
【变式4-2】如果∠A＝135°，那么∠A的邻补角的度数为 °．
【变式4-3】∠2与∠1互为邻补角，且∠2比∠1的3倍还多20°．则∠1的度数是 ．
【新题速递】（2022春•思明区校级期中）如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOC：∠EOD=1：2，
OA平分∠EOC，求∠BOD．
邻补角与对顶角对比总结：
垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是
直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它
们的交点叫垂足．
注意：
(1)记法：直线a与b垂直，记作： ；
直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.
(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，
即有： CD⊥AB．
角的名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点
题 型
5 ： 垂线
对顶角 ①两条直线相交形成 对 顶 角 相 ①都是两条直线相 ①有无公共边；
的 的角； 等. 交而成的角； ② 两 直 线 相 交 定义
及 ②有一个公共顶点； ②都有一个公共顶 时，对顶角只有 性质
③没有公共边. 点； 2对；邻补角有4 5 下
③都是成对出现 对.
的.
邻补角 ①两条直线相交而 邻 补 角 互
成； 补.
②有一个公共顶点；
③有一条公共边.列语句中，正确的有 ( )
①一条直线的垂线只有一条；
②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；
③两直线相交，则交点叫垂足；
④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式5-1】直线 外有一点P，则点P到直线 的距离是( ).
A．点P到直线 的垂线的长度.
B．点P到直线 的垂线段.
C．点P到直线 的垂线段的长度.
D．点P到直线 的垂线.
【新题速递】（2022 春•景县月考）如图，直线 AB，CD 相交于点 O，下列条件：①∠AOD=90°；
②∠AOC=∠BOC；③∠AOC=∠BOD，其中能说明AB⊥CD的有（ ）
A.① B.①或② C.①或③ D.①或②或③
垂线的画法：过一点画已知直线的垂线（有且只有一条），可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三
角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画
直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
注意：
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线
上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
题型6：垂线的唯一性及作图
6.如图所示，过点M作l ，l 的垂线，过M作AB的垂线段，标出垂足．
1 2．
【变式6-1】如图．
①过P点画AB的垂线．
②过P点分别画OA、OB的垂线．
③过点A画BC的垂线．
题型7： 垂线及角度计算
7.如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF＝56°，则∠BED的度数为（ ）
A．24° B．26° C．34° D．44°
【变式7-1】如图，AC⊥BC，直线EF经过点C，若∠1＝34°，则∠2的大小为（ ）A．56° B．66° C．54° D．46°
【变式 7-2】如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，且∠BOD＝2∠BOC，若以点 O 为端点的射线
OE⊥CD，则∠BOE的度数为 ．
【新题速递】（2022春•如皋市期中）如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，若∠AOC：
∠BOC=1：2，求∠EOD的度数．
垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
注意：
（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说
明了垂线的存在性和唯一性．
（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一
点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”
解决问题．
题型8：垂线段最短及应用
8.如图，测量运动员跳远成绩选取的应是图中（ ）A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PM的长度 D．线段PH的长度
【变式8-1】如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到
的河边，他这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【变式8-2】已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：
（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；
（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；
（3）在以上的图中，互余的角为 ，互补的角为 ．（各写出一对即可）
【新题速递】（2022春•汉阴县月考）如图，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，使李庄的人乘火
车最方便（即距离最近），请你在铁路边选一点来建火车站，并说明理由．4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
注意：
（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．
题型9：点到直线的距离应用
9如图，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，线段CD的长度是（ ）
A．点A到BC的距离 B．点B到AC的距离
C．点C到AB的距离 D．点D到AC的距离
【变式9-1】如图，点C到直线AB的距离是（ ）
A．线段CA的长度 B．线段CB的长度
C．线段AD的长度 D．线段CD的长度
【变式9-2】如图，点A表示小雨家，点B表示小樱家，点C表示小丽家，她们三家恰好组成一个直角三
角形，其中AC⊥BC，AC＝900米，BC＝1200米，AB＝1500米．
（1）试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离．
（2）画出表示小丽家到街道AB距离的线段．【新题速递】（2022春•东城区期中）如图，A、B、C是平面内三点．
（1）按要求作图：
①作射线BC，过点B作直线l,使A、C两点在直线l两旁；
②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ；
（2）在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B
之间的距离为 8，点 A、C 之间的距离为 6，则 AP+PQ 的最小值为 ,依据是
.
一、单选题
1．（2022·吉林模拟）如图，从人行横道线上的点P处过马路，沿线路PB行走距离最短，其依据的数
学道理是（ ）
A．垂线段最短B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2．平面内，经过直线 l 外一点画 l 的垂线，能画出（ )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．下列图形中， ∠1 与 ∠2 是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图， ∠1 与 ∠2 是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
5．如图，点O是直线AB上的一点， ∠AOC=40∘ ，OM平分 ∠BOC ，则 ∠BOM 等于 (
)
A．60∘ B．65∘ C．70∘ D．75∘
6．如图，直线AB，CD相交于点O， EO⊥AB，垂直为点O，∠BOD=50°，则 ∠COE= （ ）A．1 30° B．1 40° C．50° D．40°
二、填空题
7．如图，在立定跳远后，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在跳线
上，另一边与拉的皮尺重合，这样做的理由是 ．
8．把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE是 度．
9．如图，已知O是直线AB上一点，∠1=20°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是 度．
10．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD=38°，则∠AOC=
度，∠COB= 度．三、作图题
11．如图，已知直线l，点A是直线l外一点，用尺规作l的垂线，使它经过点A（请保留作图痕迹，
不写做法）。
四、解答题
12．如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，若∠3＝3∠2、∠2＝2∠1，求∠1、∠2、∠3的度数.
13．（2017七下·寮步期中）如图直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，∠EOD =32° ，求
∠AOC和∠COB的度数。
五、综合题
14．（2022七下·潢川期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB.（1）若∠1=∠2，证明：ON⊥CD；
1
（2）若∠1= ∠BOC，求∠BOD的度数.
4
15．如图，直线AB、CD相交于O点，OM⊥AB；
（1）若∠1=∠2，求∠NOD；
1
（2）若∠1= ∠BOC，求∠AOC与∠MOD.
4
