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§5.3 平面向量的数量积
课标要求 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向
量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两
个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的
平面几何问题．
知识梳理
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则____________＝
θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量________________叫做向量a与b
的数量积，记作____________．
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝
b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A ，B ，得到A1B1，
1 1
我们称上述变换为向量a向向量b__________，A1B1叫做向量a在向量b上的____________．
记为____________．
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝____________.
(2)(λa)·b＝____________＝____________.
(3)(a＋b)·c＝____________.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝____________
模 |a|＝____________ |a|＝____________夹角 cos θ＝________ cos θ＝____________
a⊥b的
a·b＝0
充要条件
|a·b|与
|xx＋yy|≤
1 2 1 2
|a||b| |a·b|≤|a||b|
的关系
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；
若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；
若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
3．向量a在向量b上的投影向量为·.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( )
(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.( )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( )
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.( )
2．(必修第二册P60T8改编)已知向量m＝(2x,1)与向量n＝垂直，则x等于( )
A. B．－ C. D．－
3．(2023·郑州模拟)已知向量a，b满足|b|＝2|a|＝2，且a与b的夹角为，则(2a＋b)·a等于(
)
A．12 B．4 C．3 D．1
4．(必修第二册 P18 例 10 改编)已知 a＝(1，)，|b|＝2，a·b＝－3，则 a 与 b 的夹角为
________.
题型一 平面向量数量积的基本运算
例1 (1)(2023·安康模拟)已知四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝，|AD|＝2，DN＝2NC，
BM＝3MC，则AM·NM等于( )
A．7 B．1 C. D.(2)在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝AB＝2DC＝2，E为BC的中点，F为AE的
中点，则CF·DF等于( )
A. B. C. D.
跟踪训练1 (1)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AD＝1，点
E在边AB上，且CD·CE＝3，则BE等于( )
A．1 B．2 C. D.
(2)(2023·唐山模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝，E是边BC的中点，F
是CD上靠近D的三等分点，若AE·BF＝8，则|AD|等于( )
A．4 B．4 C．4 D．8
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 向量的模
例 2 (2023·新高考全国Ⅱ)已知向量 a，b 满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝
________________________________________________________________________.
命题点2 向量的夹角
例3 (2023·深圳模拟)已知a，b为单位向量，且|3a－5b|＝7，则a与a－b的夹角为( )
A. B. C. D.
命题点3 向量的垂直
例4 (2023·新高考全国Ⅰ)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
命题点4 向量的投影
例5 (1)已知向量a与b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，则向量a在b上的投影向量为( )
A．b B.b C．a D.a
(2)已知非零向量a，b满足b＝(，1)，〈a，b〉＝，若(a－b)⊥a，则向量a在b方向上的投
影向量的坐标为______________．
思维升华 (1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
跟踪训练2 (1)已知非零向量a，b满足|b|＝|a|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(
⇔ ⇔
)
A．45° B．135° C．60° D．120°
(2)(多选)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－2,1)，则下列说法正确的是( )
A．若m＝1，则|a－b|＝
B．若a⊥b，则m＝2
C．“m<－”是“a与b的夹角为锐角”的充要条件
D．若m＝－1，则b在a上的投影向量的坐标为
题型三 平面向量的实际应用
例6 (多选)(2023·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况．假设
行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F ，F ，若|F |＝|F |，且F 与F 的夹角为
1 2 1 2 1 2
θ，则以下结论正确的是( )
A．|F |的最小值为|G|
1
B．θ的范围为[0，π]
C．当θ＝时，|F |＝|G|
1
D．当θ＝时，|F |＝|G|
1
跟踪训练3 长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v 的大小|v|＝10
1 1
km/h，水流的速度v 的大小|v|＝6 km/h，如图，设v 和v 所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从
2 2 1 2
A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于( )
A．－ B．－ C．－ D.
