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§5.5 复 数
课标要求 1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复
数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
知识梳理
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中________是实部，______是虚部，
i为虚数单位．
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di ____________(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：
⇔
a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔____________(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：
向量OZ的模叫作复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作________或________，即|z|＝|a＋bi|＝
____________(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ.
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
①加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________________；
1 2
②减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________；
1 2
③乘法：zz＝(a＋bi)(c＋di)＝________________；
1 2
④除法：＝＝＝________________(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．如图给出的平行四边形 OZ ZZ 可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝
1 2
__________，Z1Z2＝____________.
常用结论
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．
3．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
4．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)复数z＝0没有共轭复数．( )
(2)复数可以比较大小．( )
(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．
( )
2．已知复数z＝i3(1＋i)，则z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．(2023·合肥模拟)已知i是虚数单位，若|1＋ai|＝5，则实数a等于( )
A．2 B．2 C．－2 D．±2
4．已知复数z满足z(1－i)＝i(i为虚数单位)，则z的虚部为________.
题型一 复数的概念
例1 (1)(多选)(2023·银川模拟)若复数z满足z(1－2i)＝10，则( )
A.＝2－4i
B．z－2是纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点在第三象限
D．若角α的始边为x轴非负半轴，复数z对应的点在角α的终边上，则sin α＝
(2)(2024·杭州模拟)若复数z满足z(1＋i)＝－2＋i(i是虚数单位)，则|z|等于( )
A. B. C. D.(3)(多选)(2023·永州模拟)若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有两个不同复数根x 和x ，其
1 2
中x＝－＋i(i是虚数单位)，则下面四个选项正确的有( )
1
A．m＝1 B．x>x C．x＝1 D．x＝
1 2 2
跟踪训练1 (1)(多选)下面是关于复数z＝－1－i(i为虚数单位)的命题，其中真命题为( )
A．|z|＝2
B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i
D．z的虚部为－1
(2)(2023·淄博模拟)若复数z＝的实部与虚部相等，则实数a的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(3)(2023·怀化模拟)若复数z是x2＋x＋1＝0的根，则|z|等于( )
A. B．1 C．2 D．3
题型二 复数的四则运算
例2 (1)(2023·新高考全国Ⅰ)已知z＝，则z－等于( )
A．－i B．i C．0 D．1
(2)(多选)(2023·忻州模拟)下列关于非零复数z，z 的结论正确的是( )
1 2
A．若z，z 互为共轭复数，则z·z∈R
1 2 1 2
B．若z·z∈R，则z，z 互为共轭复数
1 2 1 2
C．若z，z 互为共轭复数，且z≠0，则＝1
1 2 2
D．若＝1，则z，z 互为共轭复数
1 2
跟踪训练2 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)(2＋2i)·(1－2i)等于( )
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
(2)(2023·济宁模拟)已知复数z满足z·i3＝1－2i，则的虚部为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
题型三 复数的几何意义
例3 (1)(2023·渭南模拟)棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(i为虚数单位)是由法国
数学家棣莫弗(1667－1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，若复数z满足z·6＝|1＋i|，则复数
z对应的点Z落在复平面内的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(2023·邢台模拟)已知i是虚数单位，复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且|z－i|＝|z＋2－i|，则|z－3
＋i|的最小值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
跟踪训练3 (1)在复平面内，O为坐标原点，复数z ＝i(－4＋3i)，z ＝7＋i对应的点分别为
1 2Z，Z，则∠ZOZ 的大小为( )
1 2 1 2
A. B. C. D.
(2)(2023·太原模拟)已知复数z满足|z－2|＝1，则|z－i|的最小值为( )
A．1 B.－1 C.＋1 D．3
