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5.2 平行线及其判定
平行线的定义
定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行或相交，垂直是相交的一种。
注意：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就
平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属
于上述任何一种位置关系．
题型1：平面内两条直线的位置关系（注意与立体图形中的比较）
1.下列叙述正确的是 ( )
A．两条直线不相交就平行
B．在同一平面内，不相交的两条线叫做平行线
C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
D．在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线
【答案】C
【解析】在同一平面内两条直线的位置关系是不相交就平行，但在空间就不一定了，故 A选项错；平行
线是在同一平面内不相交的两条直线，不相交的两条曲线就不是平行线，故 B选项错；平行线是针对两
条直线而言．不相交的两条线段所在的直线不一定不相交，故D选项错．
【变式1-1】如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与面BCGF垂直，又与面EFGH平行的棱是
．【分析】根据长方体的特点，结合直线与平面垂直，直线与平面平行解答．
【解答】解：如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与面BCGF垂直，又与面EFGH平行的棱是棱AB，
棱CD．
故答案为：棱AB，棱CD．
【变式1-2】在同一平面内，两条直线的位置关系是（ ）
A．平行或垂直 B．平行或相交
C．垂直或相交 D．平行、垂直或相交
【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种情况，平行或相交．
【解答】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交，
故选：B．
【新题速递】（2022年春杨浦区）在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有（ ）
A.1条 B.2条 C.条 D.4条
【分析】根据长方体得出结论即可．
【解答】解：由题意知，在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有3条，
故选：C．
【点评】本题主要考查长方体的知识，熟练掌握长方体各棱的关系是解题的关键．
平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
注意：原理：同位角相等，两直线平行.
题型2：平行线的画法
2.（2022七下·佛山月考）已知，如图，直线 与直线 相交于点 ，点 是直线 上一点．
求作：直线 ，使直线 ．【答案】解：将三角板的一边落在已知直线AB上，用直尺紧靠三角板的另一边，沿直尺移动三角
板，使三角板中与直线AB重合的边过已知点D，沿过已知点D的三角板的边画直线DE，直线DE即
为所求．如图，
【解析】【分析】根据平行线的判定方法作出图象即可。
【变式2-1】如图.直线a.点B.点C.
（1）过点B画直线a的平行线，能画几条?
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗?
【解答】（1）如图，过直线a外的一点B画直线a的平行线，有且只有
一条直线与直线a平行；
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行，理由如下;
（3）如图，∵b//a，c// a，∴c∥b
【变式2-2】（2022七下·绥德期末）如图，点C为直线AB上方一点，用尺规作图法在点C的右侧找一
点P，使得 ．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，点P即为所求．注：答案不唯一.
【解析】【分析】根据“内错角相等，两直线平行“，为使得CP∥AB，只需使得∠BCP=∠ABC；只
需使用圆规确定这样的∠BCP即可；具体做法：①以点B为圆心，自取一小段长画圆弧，分别交
AB、BC于点D、E；②保持圆规不动，再以点C为圆心画圆弧，交BC于点F；③以点F为圆心，以
DE为半径画圆弧；两个圆弧的交点即为点P，④作直线CP.
平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
注意：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
题型3：平行公理及推论
3.下列说法中正确的有 ( )
①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为 a∥b，c∥d，所以
a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B 2个 C．3个 D．4个
【答案】 A
【解析】一条直线的平行线有无数条，故①错；②中的点在直线外还是在直线上位置不明确，所以②错，
③中b与c的位置关系不明确，所以③也是错误的；根据平行公理可知④正确，故选A．
【变式3-1】下列说法正确的是（ ）
A．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线；平行公理：经过直线外一
点，有且只有一条直线与这条直线平行；垂线段的性质可得答案．
【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法错误；
B、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原题说法错误；C、直线外一点与该直线上所有点的连线中垂线最短，故原题说法错误；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法正确；
故选：D．
【变式3-2】下面推理正确的是（ ）
A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d
C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c
【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行“进行分析，
得出正确答案．
【解答】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是a∥c，而非c∥d，故错误；
B、没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故错误；
C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故正确；
D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行．
故选：C．
【变式3-3】如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由
．
【分析】利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，进而得出答案．
【解答】解：已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由：经过直线外一点，有且只有一
条直线与这条直线平行．
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
直线平行的判定1-同位角相等，两直线平行
如右图，几何语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
题型4：同位角相等，两直线平行
4.如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠4 C．∠3+∠4＝180° D．∠3+∠5＝180°
【分析】根据同位角相等，两直线平行即可判断．【解答】解：A．∠1＝∠2，不能判断a∥b，故不合题意；
B．∵∠1＝∠4，
∴a∥b（同位角相等两直线平行），故符合题意；
C．∠3+∠4＝180°，不能判断a∥b，故不合题意；
D．∠3+∠5＝180°，不能判断a∥b，故不合题意；
故选：B．
【变式4-1】（2022七下·延庆期末）如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：AB CD．请将下面的
证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（ ），
∴∠1=∠B（ ）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2＝ （ ）．
∴AB CD（ ）．
【答案】解：∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（平角定义），
∴∠1=∠B（同角的补角相等）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠B（等量代换）．
∴AB∥CD（同位角相等，两条直线平行）．
【解析】【分析】由平角的定义可得∠1+∠BAD=180° ，结合已知∠B+∠BAD=180° ，利用同角的
补角相等可得 ∠1=∠B，利用等量代换可得∠2=∠1=∠B，根据同位角相等，两条直线平行可得
AB∥CD.
【变式4-2】按要求补全证明条件
如图，∠1＝70°，∠2＝70°．直线AB与CD平行吗？为什么？
解：理由如下：
∵∠2与∠3是对顶角，
∴∠2＝∠3（ ）．
∵∠2＝70°（已知），
∴∠3＝70°（ ）．又∠1＝70°（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换）．
∴ ∥ （ ）．
【分析】由对顶角相等得到∠2＝∠3，从而得出∠1＝∠3，再根据同位角相等，两直线平行即可得解．
【解答】解：直线AB与CD平行，理由如下：
∵∠2与∠3是对顶角，
∴∠2＝∠3（ 对顶角相等），
∵∠2＝70°，
∴∠3＝70°（等量代换），
又∠1＝70°，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；AB，CD，同位角相等，两直线平行．
直线平行的判定2-内错角相等，两直线平行.
如右图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
题型5：内错角相等，两直线平行
5.补全下面的证明过程，并在括号内填上适当的理由．
如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD．
求证：AC∥BD．
证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD（已知），
又∠COA＝∠BOD（ ），
∴∠C＝ （ ）．
∴AC∥BD（ ）．
【分析】由已知与对顶角相等，等量代换得到内错角相等，进而确定出AC与BD平行．【解答】证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD（已知），
又∠COA＝∠BOD（对顶角相等），
∴∠C＝∠D（等量代换），
∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：对顶角相等；∠D；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【变式5-1】如图，下列条件中能判断直线l ∥l 的是（ ）
1 2
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠5 C．∠2＝∠4 D．∠3＝∠5
【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．
【解答】解：A、根据∠1＝∠2不能判断直线l ∥l ，故本选项不符合题意．
1 2
B、根据∠1＝∠5不能判断直线l ∥l ，故本选项不符合题意．
1 2
C、根据“内错角相等，两直线平行”知，由∠2＝∠4能判断直线l ∥l ，故本选项符合题意．
1 2
D、根据∠3＝∠5不能判断直线l ∥l ，故本选项不符合题意．
1 2
故选：C．
【变式5-2】如图，已知CD⊥AD于点D，DA⊥AB于点A，∠1＝∠2，试说明DF∥AE．
解：因为CD⊥AD（已知），
所以∠CDA＝90°（ ）．
同理∠DAB＝90°．
所以∠CDA＝∠DAB＝90°（ ）．
即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠3＝∠4（ ）．
所以DF∥AE（ ）．
【分析】根据垂直定义得出∠CDA＝∠DAB，求出∠3＝∠4，根据平行线的判定推出即可．
【解答】解：因为CD⊥AD（已知），
所以∠CDA＝90°（垂直的定义），同理∠DAB＝90°．
所以∠CDA＝∠DAB＝90°（等量代换），
即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠3＝∠4（等式的性质1），
所以DF∥AE（内错角相等，两直线平行）．
【变式5-3】（2022七下·浦北月考）如图， ， ， .问
吗？为什么？
【答案】解：平行，理由如下：∵∠ACD=360°-90°-136°=134°，∠BAC=180°-46°=134°
∴ ∠ACD=∠BAC
∴ （内错角相等，两直线平行 ）
【解析】【分析】根据周角的定义可得∠ACD=360°-∠DCE-∠ACE=134°，根据邻补角的性质可得
∠BAC=180°-∠BAF=134°，则∠ACD=∠BAC，然后根据内错角相等，两直线平行进行证明.
直线平行的判定3-同旁内角互补，两直线平行
如右图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
注意：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
题型6：同旁内角互补，两直线平行
6.完成下面的证明：已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC．
证明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠ BAC ＝90° （ ），
∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知），
∴∠1+∠BAC+∠B＝ （ ），
即∠ +∠B＝180°，
∴AD∥BC （ ）．
【分析】由AB⊥AC，根据垂直的定义得到∠BAC为90°，再由图形可得：同旁内角∠B与∠BAD的和为∠B，∠BAC与∠1三角的度数之和，求出度数为180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得出AD
与BC平行，得证．
【解答】解：证明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠BAC＝90° （垂直的定义），
∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知），
∴∠1+∠BAC+∠B＝180°（等量关系），
即∠BAD+∠B＝180°，
∴AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：BAC；垂直的定义；180°；等量关系；BAD；同旁内角互补，两直线平行．
【变式6-1】在下列括号内，填上推理的根据．
已知：如图，∠1＝110°，∠2＝70°，求证：a∥b．
解：∵∠1＝110°（ ），
∠3＝∠1（ ），
∴∠3＝110°（ ），
又∵ （已知）
∴∠2+∠3＝180°
∴a∥b（ ）．
【分析】依据对顶角相等以及∠2的度数，即可得到∠2+∠3＝180°，即可判断a∥b．
【解答】解：∵∠1＝110°（已知），
∠3＝∠1（对顶角相等），
∴∠3＝110°（等量代换），
又∵∠2＝70°（已知），
∴∠2+∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：已知；对顶角相等；等量代换；∠2＝70°；同旁内角互补，两直线平行．
【变式6-2】推理填空：
已知∠B＝∠CGF，∠DGF＝∠F
求证：∠B+∠F＝180°证明：∵∠B＝∠CGF（已知）
∴AB∥CD
∵∠DGF＝ （已知）
∴CD∥
∴AB∥EF（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠B+ ＝180° ．
【分析】根据平行线的判定定理得出AB∥CD，CD∥EF，从而得出AB∥EF，哉由平行线的性质得出
∠B+∠F＝180°．
【解答】解：∵∠B＝∠CGF（已知）
∴AB∥CD （同位角相等两直线平行）
∵∠DGF＝∠F（已知）
∴CD∥EF
∴AB∥EF（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠B+∠F＝180° （两直线平行同旁内角互补），
故答案为同位角相等两直线平行，∠F，EF，∠F，两直线平行同旁内角互补．
【变式6-3】如图，下列条件中：①∠BAD+∠ABC＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝
∠BCD，能判定AD∥BC的是 ．
【分析】①由∠BAD+∠ABC＝180°，利用同旁内角互补得到AD∥BC，本选项符合题意；
②由∠1＝∠2，利用内错角相等两直线平行得到AD∥BC，本选项符合题意；
③由∠3＝∠4，利用内错角相等两直线平行得到AD∥BC，本选项符合题意；
④由∠BAD＝∠BCD，不能判定出平行，本选项不合题意．
【解答】解：①由∠∠BAD+∠ABC＝180°，得到AD∥BC，本选项符合题意；
②由∠1＝∠2，得到AD∥BC，本选项符合题意；
③由∠3＝∠4，得到AD∥BC，本选项符合题意；
④由∠BAD＝∠BCD，不能判定出平行，本选项不合题意．
故答案为：①②③．
题型7：与角平分线结合证平行
7.如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平
分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有 ．（填序号）【分析】根据平行线的判定方法分别判定得出答案．
【解答】解：①中，∵∠1＝∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），不合题意；
②中，∵∠5＝∠B，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），不合题意；
③中，∵∠1＝∠4且AC平分∠DAB，∴∠2＝∠4，∴AB∥CD，故此选项符合题意；
④中，∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行），故此选项符合题意；
故答案为：③④．
【变式7-1】如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明
AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝ （ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ，
得∠1＝∠2（ ），
所以AE∥GF（ ）．
【分析】根据邻补角的定义及题意得出∠BAG＝∠AGC，再根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，即可判
定AE∥GF．
【解答】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义），
所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等），
因为EA平分∠BAG，所以∠1＝ ∠BAG（角平分线的定义），
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ∠AGC，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内
错角相等，两直线平行．
【变式7-2】已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：
AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：
∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝ ∠ABC，∠2＝ ∠ADC（ ）．
∵∠ABC＝∠ADC（ ），
∴∠ ＝∠ （等量代换）．
∵∠1＝∠3（ ），
∴∠2＝∠ （ ）．
∴AB∥DC（ ）．
【分析】根据题目中的证明过程，可以写出相应的推理依据，本题得以解决．
【解答】证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝ ∠ABC，∠2＝ ∠ADC（角平分线的定义），
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行．
【变式7-3】填写下列空格：
已知：如图，CE平分∠ACD，∠AEC＝∠ACE．
求证：AB∥CD．证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠ ＝∠ （ ）．
∵∠AEC＝∠ACE（已知），
∴∠AEC＝∠ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【分析】直接利用平行线的判定方法得出答案．
【解答】证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠ACE＝∠DCE（角平分线的定义）．
∵∠AEC＝∠ACE（已知），
∴∠AEC＝∠DCE（等量代换）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：ACE；DCE；角平分线的定义；DCE；等量代换；内错角相等，两直线平行．
题型8：与垂线结合证平行
8.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
【答案与解析】
解：这两条直线平行.理由如下：
如图：
∵ b⊥a, c⊥a
∴ ∠1＝∠2＝90°
∴ b∥c (同位角相等，两直线平行) ．
【变式8-1】按要求完成下列证明：
已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°．
求证：DE∥BC．
证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+ ＝90°（ ）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴ ＝∠2（ ）．
∴DE∥BC（ ）．【分析】直接利用平行线的判定方法结合垂直的定义分析得出答案．
【解答】证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+∠EDC＝90°（ 垂直定义）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠EDC＝∠2（ 同角的余角相等）．
∴DE∥BC（ 内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠EDC；垂直定义；∠EDC；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【变式8-2】（2021七下·乾安期末）已知：如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PM垂
直于EF，∠1+∠2=90°．求证：AB//CD．
【答案】证明：∵PM⊥EF（已知），
∴∠APQ+∠2=90°（垂直定义）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠APQ=∠1（同角的余角相等）
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）．
【解析】【分析】先证明∠APQ+∠2=90°，再结合∠1+∠2=90°，可得∠APQ=∠1，从而得到AB//CD。
【变式8-3】已知：AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，求证：DG∥BA．
【分析】首先证明 AD∥EF，再根据平行线的性质可得∠1＝∠BAD，再由∠1＝∠2，可得∠2＝∠BAD，根据内错角相等，两直线平行可得DG∥BA．
【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠EFB＝∠ADB＝90°，
∴AD∥EF，
∴∠1＝∠BAD，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BAD，
∴DG∥BA．
题型9：利用常见的辅助线证平行
9.如图，已知∠B＝30°，∠D＝20°，∠BCD＝50°，试说明AB∥DE．
【分析】直接作CM∥AB，再利用平行线的判定得出答案．
【解答】证明：如图，作CM∥AB，则∠B＝∠BCM，
∵∠BCD＝50°，∠B＝30°，
∴∠MCD＝50°﹣30°＝20°，
∵∠D＝20°，
∴∠D＝∠MCD，
∴CM∥ED，
∴AB∥DE．
【变式9-1】如图，已知AB∥EF，∠ABC＝∠DEF，试判断BC和DE的位置关系，并说明理由．
【分析】延长BC交FE的延长线于点G，根据平行线的性质得出∠ABC＝∠G，再由∠ABC＝∠DEF可
得出∠G＝∠DEF，由此可得出结论．
【解答】解：BC∥DE．
理由：延长BC交FE的延长线于点G，
∵AB∥EF，
∴∠ABC＝∠G．∵∠ABC＝∠DEF，
∴∠G＝∠DEF，
∴BC∥DE．
解法二：连接BE．
∵AB∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，
∵∠ABC＝∠DEF，
∴∠CBE＝∠DEB，
∴BC∥DE．
【变式9-2】MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1=140°，∠2=50°，试判断AB和
CD的位置关系，并说明理由．
【答案】解:延长MF交CD于点H ∠1=90∠FH,2140∴∠CHF=1405-
902=50°,∠CHF=∠2,AB∥CD
【解析】【分析】延长MF交CD于点H，根据已知条件可证得∠CHF=∠2,再根据同位角相等，两直线平行可证明AB∥CD。
10.（2022秋•驻马店期末）如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A=∠D．
（1）若∠A=78°，∠C=47°，求∠BFD的度数．
（2）若∠AEB+∠BFD=180°，求证：AB∥CD．
【分析】（1）根据等量关系和三角形外角的性质可求∠BFD的度数．
（2）根据平角的定义和等量关系可得∠AEB=∠CFD，再根据三角形内角和定理和平行线的判定即可求
解．
【解答】（1）解：∵∠A=78°，∠A=∠D，
∴∠D=78°，
∵∠C=47°，
∴∠BFD=∠D+∠C=78°+47°=125°；
（2）证明：∵∠AEB+∠BFD=180°，∠CFD+∠BFD=180°，
∴∠AEB=∠CFD，
∵∠A=∠D，
∴（180°-∠A-∠B）+（∠C+∠D）=180°，
∴∠B=∠C，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，关键是熟悉内错角相等，两直线平行的知识
点．
【变式10-1】（2022春•榆林期末）如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF，EC平分∠DEF．
（1）试说明：AE⊥CE；
（2）若∠1=∠A，∠4=∠C，试判断AB与CD平行吗？为什么？
1 1
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠2=∠1= ∠BEF，∠3=∠4= ∠DEF，再由平角的定义可
2 2
∠BEF+∠DEF=180°，从而可求得∠2+∠3=90°，即可说明AE⊥EC；
（2）由题意可求得∠A=∠2，∠3=∠C，则可判定AB∥EF，EF∥CD，则有AB∥CD．
【解答】解：（1）∵EA平分∠BEF，EC平分∠DEF，
1 1
∴∠2=∠1= ∠BEF，∠3=∠4= ∠DEF，
2 2
∵∠BEF+∠DEF=180°，
1
∴∠2+∠3= （∠BEF+∠DEF）=90°，
2
∴AE⊥EC；
（2）AB∥CD，理由如下：
由（1）得：∠2=∠1，∠3=∠4，∵∠1=∠A，∠4=∠C，
∴∠A=∠2，∠3=∠C，
∴AB∥EF，EF∥CD，
∴AB∥CD．
【点评】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并灵活运用．
【变式10-2】（2022春•龙凤区校级期末）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．
（1）填空：∠2和∠D可用关系式表示为 ；∠1与∠D有怎样的关系式：
（2）求证：AB∥CD．
【分析】（1）结合题意及直角三角形的两锐角互余求解即可；
（2）首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知得到∠C=∠1，由∠2和∠D互余，得到∠C=∠2，从而
证得AB∥CD．
【解答】（1）解：∵∠2和∠D互余，
∴∠2+∠D=90°，
∵BE⊥FD，
∴∠DGE=90°，
∵∠1+∠D=90°，
故答案为：∠2+∠D=90°；∠1+∠D=90°；
（2）证明：∵BE⊥FD，
∴∠DGE=90°，
∴∠1+∠D=90°，
又∵∠2和∠D互余，
∴∠2+∠D=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠C=∠1，
∴∠C=∠2，
∴AB∥CD．
【点评】此题考查的知识点是平行线的判定和性质，由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D互余
是解决问题的关键．一、单选题
1．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠1＝∠A B．∠A＝∠3
C．∠1＝∠4 D．∠A+∠2＝180°
【答案】A
【解析】【解答】解：当∠1＝∠A时，可知是DE和AC被AB所截得到的同位角，可得到DE∥AC，
而不是AB∥DF，故A选项不可以；
当∠A＝∠3时，可知是AB、DF被AC所截得到的同位角，可得AB∥DF；∠2+∠A＝180°时，是一对
同旁内角，可得AB∥DF；故B、D选项都可以；
当∠1＝∠4时，可知是AB、DF被DE所截得到的内错角，可得AB∥DF，故C选项可以；
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可
2．下面说法正确的个数为（ ）
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②两直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
③相等的角是对顶角；④画一条线段的垂线段可以画无数条．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项符合题意；
②两条平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故此选项不符合题意；
③相等的角不一定是对顶角，故此选项不符合题意；
④在同一平面内，经过一点能画一条且只能画一条直线与已知直线垂直，经过的点不确定，可以画无
数条，故此选项符合题意；
综上所述，正确的个数有2个，
故答案为：B．【分析】利用平行线的性质定理和判定定理对顶角的性质解答即可。
3．如图，直线 、 被直线 所截，下列条件不能判定直线 与 平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】如图，
由∠1=∠3，可得直线a与b平行，故A能判定；
由∠2+∠4= ,∠2=∠5,∠4=∠3,可得∠3+∠5= ，故直线a与b平行，故B能判定；
由∠1=∠4，∠4=∠3，可得∠1=∠3，故直线a与b平行，故C能判定；
由 ，不能判定直线a与b平行，
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定方定理逐一分析即可.
4．如图所示，下列推理不正确的是（ ）
A．若 ，则B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】D
【解析】【解答】解：A、若∠1=∠B，则BC∥DE，正确，不符合题意；
B、若∠2=∠ADE，则AD∥CE，正确，不符合题意；
C、若∠A+∠ADC=180°，则AB∥CD，正确，不符合题意；
D、若∠B+∠BCD=180°，则AB∥CD，错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】同位角相等，两直线平行，据此判断A；内错角相等，两直线平行，据此判断B；同旁内角
互补，两直线平行，据此判断C、D.
5．如图，能判定 的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵∠A＋∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，故A不符合题意；
B、由∠A＝∠C，不能判定AB∥CD，故B不符合题意；
C、∵∠CBD＝∠ADB，
∴AD∥BC，故C不符合题意；
D、∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，故D符合题意；故答案为：D．
【分析】结合图形，利用平行线的判定方法证明求解即可。
6．如图所示，下列推理不正确的是（ ）
A．若∠AEB＝∠C，则AE∥CD
B．若∠AEB＝∠ADE，则AD∥BC
C．若∠C＋∠ADC＝180°，则AD∥BC
D．若∠AED＝∠BAE，则AB∥DE
【答案】B
【解析】【解答】解：A. 若∠AEB＝∠C，则AE∥CD，根据同位角相等两直线平行，所以A选项正
确；不符合题意
B. 若∠AEB＝∠ADE，则AD∥BC，所给条件为无关的两个角，不能推导出平行，所以B不正确，符
合题意，
C. 若∠C＋∠ADC＝180°，则AD∥BC，根据同旁内角互补两直线平行，所以C选项正确，不符合题
意；
D. 若∠AED＝∠BAE，则AB∥DE，根据内错角相等两直线平行，所以D选项正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】直接根据平行线的判定定理进行判断即可.
二、填空题
7．将一副三角板如图摆放，则 ∥ ，理由是 .【答案】BC；DE；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：一副三角板如图摆放，
∴ ，
∴ （内错角相等，两直线平行），
故答案为： BC，DE ；内错角相等，两直线平行.
【分析】由学具的性质及内错角相等两直线平行可求解.
8．设a，b，c为平面内三条不同的直线，若a⊥c，b⊥c，则a与b的位置关系是 .
【答案】a//b
【解析】【解答】解：∵a⊥c，b⊥c
∴a//b
故答案为：a//b.
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出答案.
9．如图，如果∠1=∠3，可以推出一组平行线为 .
【答案】AB//CD
【解析】【解答】根据图形可得，∠1与∠3是AB，CD被 AD所截得的内错角，
∵∠1=∠3，
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：AB//CD.
【分析】根据“内错角相等，两直线平行”即可得到答案.
10．如图，要使 ，可以添加的条件是 （填写一个你认为正确的即可）．
【答案】 （答案不唯一，只要符合题意即可得分）【解析】【解答】解：∵
∴ （内错角相等，两直线平行）．
故答案为： （答案不唯一，只要符合题意即可得分）．
【分析】根据平行线的判定方法求解即可。
11．如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是
．通过作图可以发现，过直线l外一点，能且只能画出一条平行线，于是得到平行线的一条基本性质:
．
【答案】同位角相等，两直线平行；在同一平面内，过直线l外一点有且只有一条直线与已知直线平
行
【解析】【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
这样做的依据是：同位角相等，两直线平行．
从而得到平行线的一条基本性质为：
在同一平面内，过直线l外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
故答案为：在同一平面内，过直线l外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
【分析】根据平行线的判定解决问题即可。
三、作图题
12．如图，点M在∠AOB的内部．
画图： ①过点M画AO的平行线，交OB于点C；
②过点M画OB的垂线，交OB于点D；
【答案】解：①如下图MC//OA；
②如下图AD⊥OB．【解析】【分析】①把三角板1的一条边与直线OA重合，将三角板2与三角板1剩余两边中的任意
一条重合，按住三角板2不动,沿着三角板2移动三角板1，当三角板1的另一边与M重合时即可画出
平行线；②用直角三角板，一条直角边与OB重合，沿BO移动三角板使另一条直角边过点M画直线
即可．
四、解答题
13．推理填空：
已知：如图AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，求证：BE∥CF．
证明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C（已知）
∴∠1＋∠3=90°，∠2＋∠4=90°
∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余
又∵∠1=∠2（ ）
∴ = （ ）
∴BE∥CF（ ）
【答案】证明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C（已知）
∴∠1＋∠3=90°，∠2＋∠4=90°
∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余
又∵∠1=∠2（已知），
∴（ ）（等角的余角相等）
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）
【解析】【分析】根据平行线的判定定理进行填空即可得出答案.
14．如图，BE∥CG，∠1＝∠2，求证：BD∥CF【答案】证明：∵BE∥CG，
∴∠ABE=∠ACG，
∵∠1=∠2，
∴∠ABD=∠ACF，
∴BD∥CF．
【解析】【分析】只要证明∠ABD=∠ACF，根据同位角相等两直线平行即可证明．
15．已知：如图，AB CD，直线AE交CD于点C，∠BAC+∠CDF=180°．
求证：AE DF．
【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCE．
又∵ ∠BAC+∠CDF=180°
∴∠DCE+CDF=180°
∴AE∥DF．
【解析】【分析】根据AB//CD，得到∠BAC=∠DCE，再根据∠BAC+∠CDF=180°，利用等量代换证出
AE//DF。
五、综合题
16．如图，已知射线 ， ， ， 在射线 上，且满足 平分 ，
平分 ．（1）求证： ；
（2）求 的度数．
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴
∵ 平分 ， 平分
∴ ， ，
∴ ；
∴
【解析】【分析】（1）利用角的运算和等量代换求出 ，即可得到 ；
（2）根据角平分线的定义可得 ， ，再利用角的运算和等量代换
求出 即可。
