文档内容
5.3 实际问题与一元一次方程 学案
目标解读
（一）学习目标：
1.理解一元一次方程的基本概念，并能在实际问题中正确建立一元一次方程。
2.学会运用一元一次方程解决简单的实际问题，提升逻辑思维能力与数学应用能力。
3.培养学生的分析问题和解决问题的能力，增强数学学习的自信心和兴趣。
（二）学习重难点：
重点:-元一次方程的概念及其应用；从实际问题中提取关键信息，构建一元一次方程。
难点:理解并运用一元一次方程解决具有复杂情境的实际问题，提高思维的灵活性和深度。
基础梳理
阅读课本，识记知识：
1.列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题：分析题目中已知什么，求什么，找到包含已知和未知的等量关系；
（2）设：用 来表示题目中的一个未知数，其他的未知数用含 的整式来表示；
（3）列：根据题目的等量关系列出方程；
（4）解：解所列的方程，求出未知数的值；
（5）检验：检验所得未知数的值是否是方程的解，是否符合问题的实际意义；
（6）答：写出答案。
2.列一元一次方程解应用题的常见类型：
（1）和、差、倍、分问题：和、差、倍、分对应两个量之间的加、减、乘、除，解题时要注意弄清倍、分
关系和多少关系等；
（2）增长（减少）率问题：增长后的量=原有量×（1+增长率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）；
（3）等积变形问题：长方形体积=长×宽×高；圆柱体积= ；
（4）行程问题：路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路
程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。
（5）航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度；
（6）调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系；
（7）比例分配问题：全部数量=各种成分的数量之和；
1（8）年龄问题：大小两个年龄的差不会变；
（9）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的
和等于总工作量；一般情况下，把总工作量设为1.
（10）利润问题：商品的售价=商品的标价×折扣；商品的利润=商品售价-商品进价；商品的利润率
= ；
（11）数字问题：设 分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为
；
（12）储蓄问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）；
（13）浓度问题：溶液质量=溶质质量+溶剂质量；百分比浓度= ；溶质质量=溶液
质量×百分比浓度。
典例探究
【例1】某超市将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售,仍可获利20%,则该超市该品
牌粽子的标价为( )
A.180元 B.170元 C.160元 D.150元
【答案】A
【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x元,则售价为80%x元,由题意得80%x-120=20%×120,解
得x=180.故该超市该品牌粽子的标价为180元.故选A.
【例2】 某次数学竞赛共有20道题,已知做对一道得4分,做错一道或者不做扣1分,某同学最后
的得分是50分,则他做对的题目道数是( )
A.14 B.15 C.16 D.17
【答案】A
【分析】设他做对x道题,则做错或不做(20-x)道题,由题意得4x-(20-x)=50,解得x=14.
所以他做对14道题.
达标测试
一、选择题
1．某轮船在静水中的速度为 ，水流速度为 ，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再
2返回甲码头，共用时 （不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为 ，则可列方程为
（ ）
A． B．
C． D．
2．某市为缓解交通拥堵，决定修建高架快速路，原计划用20个月完成这项工程，实际提前2个月
完成该工程，求实际每月的工作效率比原计划提高的百分比？若设实际每月的工作效率比原计划提高
的百分比是 ，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，求标价多少元？小明同学
在解此题的时候，设标价为x元，列出如下方程： ．小明同学列此方程的依据是
（ ）
A．商品的利润不变 B．商品的售价不变
C．商品的成本不变 D．商品的销售量不变
4．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．
问物价几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱：如果每人出7钱，则少
了4钱，问该物品的价值多少钱？在这个问题中，该物品价值的钱数为（ ）
A．53 B．56 C．59 D．62
5．如图，在数轴上，点 、 分别表示数 、 ，且 、 互为相反数，若 ，则点 表示的数为
（ ）
A．8 B．4 C．0 D．
6．某小组计划做一批中国结，如果每人做5个，那么比计划多做了8个，如果每人做3个，那么比
计划少6个．设计划做x个“中国结”，可列方程（ ）
A． B． C． D．
7．某市采取分段收费．若每户每月用水不超过 ，每立方米收费2元；若用水超过 ，超过
部分每立方米加收1元．小明家某月交水费82元，则该月用水（ ） ．
A．38 B．28 C．34 D．44
8．2023年4月的日历上圈出了相邻的三个数 、 、 ，并求出了它们的和为36，这三个数在日历
中的排布不可能是（ ）
3A． B．
C． D．
9.由于换季,商场准备对某商品打折出售,如果按原售价的七五折出售,将亏损25元,而按原售价
的九折出售,将盈利20元,则该商品的原售价为( )
A.230元 B.250元 C.270元 D.300元
10.我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、
物价各几何?”意思是:现有几个人共买一件物品,每人出8钱,多出3钱;每人出7钱,还差4钱.问人
数,物价各是多少?若设共有x人,物价是y钱,则下列方程正确的是( )
A.8(x-3)=7(x+4) B.8x+3=7x-4
C.
二、填空题
11．甲、乙二人分别从A、B两地出发相向而行．如果二人同时出发，则12小时相遇；如果甲走全程
需要20小时，则甲、乙二人的速度比是 ．
12．某商场门口沿马路向东是公园，向西是某中学．该校两名学生从商场出来准备去公园，他们商
议两种方案：（1）先步行回校取自行车，然后骑车去公园；（2）直接从商场步行去公园．已知骑车速度
是步行速度的4倍，从商场到学校有3公里的路程．结果他们采用了所用时间较少的方案（1），那么商
场到公园的路程至少大于 公里．
13．一项工作，甲单独做需9天完成，乙单独做需12天完成，如果两人合做几天后，余下的工作再
由甲单独做2天完成，则甲、乙两人合做了 天．
14．小明、小杰两人共有100本图书，如果小杰送给小明15本，两人的图书就一样多．如果设小明
原来有 本图书，根据题意，可以列出方程： ．
15．一游泳池计划注入一定体积的水，按每小时 的速度注水，注水 小时后，注水口发生故
障，停止注水，经 分钟抢修后，注水速度比原来提高了 ，结果比预定的时间提前了 分钟完成
注水任务，则计划注入水的体积为 ．
三、解答题
416．某车间有22名工人,每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母.1个螺钉需要配2个螺
母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名?
17.有一艘客轮和一艘货轮每天都要往返于A、B两个港口，客轮从A港口顺流而下到B港口需要4
个小时，从 港口逆流而上返回A港口需要5小时，已知水流的速度是 ，货轮逆流的速度与客轮
顺流的速度相等．
(1)求客轮在静水中的速度；
(2)若客轮从A港口开往目的地B港口，先出发10分钟之后，货轮从B港口开往目的地A港口，问
货轮开出几小时两船相距 ．
18.超市规定某品牌矿泉水销售方法如下：
购买矿泉水的数量 不超过30瓶 30以上但不超过50瓶 50瓶以上
每瓶价格 3元 元 2元
学校举行运动会时，六（ ）班集体购买这个品牌的矿泉水，由于天气炎热，第一次买的水不够喝，
又买了一次（第一次多于第二次）．已知两次共购买水 瓶，共付 元．
(1)如果六（ ）班第一次直接买 瓶水，可以少付多少钱？
(2)求这个班级第一次和第二次分别购买多少瓶水？
自学反思
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
（二）把本节课所学知识画出思维导图
5参考答案
1．D
【分析】根据题意逐项分析即可．
【详解】解：∵张老师骑自行车的速度为 米/分，汽车速度是自行车速度的 倍，
∴汽车速度是 米/分，故C选项说法错误；
设乘坐汽车到达纪念馆所用的时间为 分钟，
则
解得：
故乘坐汽车到达纪念馆所用的时间为 分钟，故A选项说法错误；
则骑自行车到达纪念馆所用的时间为 分钟，故B选项说法错误；
学校与刘禹锡纪念馆之间的距离为 米 千米，故D选项说法正确；
6故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
2．A
【分析】根据“甲先做 天，乙再参加合做”找到等量关系列出方程即可．
【详解】由题意可得： ，
故选： ．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是根据工作量之间的关
系列出方程．
3．B
【分析】先求出商品B的进价和售价，然后进行比较即可．
【详解】解：商品B的售价为 （元），
设商品B的进价为x元，根据题意得：
，
解得： ，
总进价为 （元），
总售价为： （元），
∵ ，
∴该商店这次销售亏损了，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了销售盈亏问题，解题的关键是求出商品B的进价和售价．
4．D
【分析】根据往返的时间和等于5小时，列方程即可．
【详解】解：由题意得，可得 ．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
5．D
【分析】由 的长度结合 、 表示的数互为相反数，即可得出 ， 表示的数
【详解】解：∵ ， 两点对应的数互为相反数，
∴设 表示的数为 ，则 表示的数为 ，
∵
∴ ，
7解得： ，
∴点 表示的数为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值，相反数的应用，关键是能根据题意得出方程 ．
6．D
【分析】设计划做x个“中国结”，根据人数不变列出方程即可．
【详解】解：设计划做x个“中国结”，
由题意得， ，
故选D．
【点睛】此题考查的是从实际问题中抽象出一元一次方程，正确找到实际问题中的等量关系是解
决此题的关键．
7．C
【分析】根据题意得出20立方米时交40元，题中已知五月份交水费82元，即已经超过20立方米，
所以在82元水费中有两部分构成，列方程即可解答．
【详解】解：设他家该月用水 ，根据题意得：
，
解得： ，
答：他家该月用水 ．
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，
找出合适的等量关系列出方程，再求解．
8．B
【分析】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意可列方程求解，然
后判断即可．
【详解】解：A．设最小的数是 ． ， ．故本选项不符合题意．
B．设最小的数是 ． ， ，故本选项符合题意．
C．设最小的数是 ． ， ，故本选项不符合题意．
D．设最小的数是 ． ， ，本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用．解题的关键在于掌握日历中的每个数都是整数且上
下相邻是7，左右相邻相差是1．
9.D 设该商品的原售价为x元,根据题意得75%x+25=90%x-20,解得x=300,则该商品的原售价为
300元.故选D.
810.D 若共有x人,根据题意可得8x-3=7x+4,若物价是y钱,根据题意可得 = .故选D.
11. D
【分析】设数轴上的动点 表示的数是 ，根据数轴上的点向左移动时，点表示的数减去移动的长
度，向右移动时，点表示的数加上移动的长度，得到点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，
根据点 表示数是 ，推出 ，解之即可．
【详解】解：设数轴上的动点A表示的数是 ，
由于右移动7个单位长度到点 ，
∴点 表示的数是 ，
再向左移动5个单位长度到 ，
∴点 表示的数是 ．
∵点 表示数是 ，
∴ ，即 ，
∴点A表示的数是 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，解一元一次方程，解决问题的关键是熟练掌握数轴上
的点表示的数“左减右加”．
12．A
【分析】根据“阶梯价格”收费办法列出方程即可．
【详解】根据题意可得， ．
故选：A．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
13．C
【分析】设体积为v，根据瓶子中水的体积不变列出方程求解即可．
【详解】解：设体积为v，则 ，
解得 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，明确瓶子中水的体积不变是解题的关键．
14．
【分析】根据题意，设小明原来有 本图书，由等量关系“小杰送给小明15本，两人的图书就一样
多”列出方程即可得到答案．
【详解】解：设小明原来有 本图书，则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元一次方程解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键
915．
【分析】设计划注入水的时间为x小时，根据“比预定的时间提前了10分钟完成注水任务”列出
方程并解答．
【详解】解：设计划注入水的时间为x小时，
依题意得： ，
解得 ．
，
∴计划注入水的体积为 立方米．
故答案为： ．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于根据题意找到等量关系列出方程．
16.解析 设应安排x名工人生产螺钉,则安排(22-x)名工人生产螺母,
依题意,得2×1 200x=2 000(22-x),
解得x=10,所以22-x=22-10=12.
答:应安排10名工人生产螺钉,12名工人生产螺母.
17. 400
【分析】根据题意列一元一次方程，注意八折即原价的 ．
【详解】解：设成本为x元，则
解得， ．
故答案为：400．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．
18.(1) 元
(2)第一次购买 瓶矿泉水，第二次购买 瓶矿泉水
【分析】（1）计算直接买 瓶水的费用为 （元），计算两种方式购买费用的差即可．
（2）设六（ ）班第一次购买 瓶矿泉水，依题意可分为三种情况求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，直接买 瓶水的费用为 （元），
故少支付： （元）．
（2）解：设六（ ）班第一次购买 瓶矿泉水，依题意可分为三种情况：
①第一次买的超过 瓶，第二次买的不超过 瓶，
依题意得： ，
解得： ．（不符题意）
②第一次买的超过 瓶但不超过 瓶，第二次买的不超过 瓶，
依题意得： ，
10解得： ．
②次购买的瓶数都是超过 瓶但不超过 瓶．
依题意得： 元，不符合题意．
答：六（ ）第一次购买 瓶矿泉水，第二次购买 瓶矿泉水．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．
11
