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七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》
5.3 平行线的性质
平行线的性质
知识点一
◆1、平行线性质定理
性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
简单说成：两直线平行，同位角相等．
几何语言表示：
∵a∥b(已知)，
∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．
性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
简单说成：两直线平行，同位角相等．
几何语言表示：
∵a∥b(已知)，
∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)．
性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．
简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
几何语言表示：
∵a∥b(已知)，
∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)．
◆2、平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．
平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别：
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．命题及其组成
知识点二
◆1、概念：判断一件事情的语句，叫做命题．
【注意】1、命题必须满足的条件：①必须是语句；②对一件事情作出判定；二者缺一不可.
2、命题只需具有“判断”功能，而不论这个判断是否对错.
◆2、命题的组成
每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可
以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是
题设，“那么”后面解的部分是结论．
真、假命题
知识点三
◆1、真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；
◆2、假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
定理与证明
知识点四
◆1、定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．
◆2、证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证
明.（√a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
◆3、证明的一般步骤：
①根据题意画出图形；
②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；
③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖
掘，寻求证明的途径；
④书写证明过程.题型一 利用平行线的性质求角的度数
【例题1】（2022秋•李沧区期末）如图，AB∥CD，直线EF分别与直线AB、直线CD相交于点E，F，
点G在CD上，EG平分∠BEF．若∠EGC＝58°，求∠EFD的度数．解题技巧提炼
两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两
个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.
【变式1-1】（2022•西藏）如图，l ∥l ，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（ ）
1 2
A．46° B．90° C．96° D．134°
【变式 1-2】（2022春•五莲县期末）如图，已知 AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则
∠BCD的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．35°
【变式1-3】（2021秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的
和是（ ）
A．200° B．210° C．220° D．230°
【变式1-4】（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数
为 ．【变式1-5】（2022春•海淀区月考）如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD
平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．
【变式1-6】（2021春•黄冈期中）如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝
36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．
题型二 利用平行线的性质说明两直线垂直
【例题 2】（2022 春•龙岗区期末）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB 于 H，求证：CD⊥AB．
解题技巧提炼
准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定
义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.
【变式2-1】如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．
【变式2-2】已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．【变式2-3】（2022春•海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于
点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．
题型三 平行线的性质与判定的综合应用
【例题3】（2022春•永川区期末）如图，已知∠2+∠3＝180°，∠1＝120°，则∠4＝（ ）
A．120o B．80o C．60o D．75o解题技巧提炼
平行线的判定和性质在解题中经常反复使用，见到角相等或互补就应该联想到能
否判定两条直线平行，见到直线平行就应该联想到能否证明相关的角相等或互
补.
【变式3-1】（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3
C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1
【变式3-2】（2022春•重庆月考）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，
∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．
【变式3-3】（2022春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平
分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；
（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．
【变式3-4】（2022春•温江区校级期中）如图，已知点 E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与
FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．
（1）求证：AB∥CD；（2）若∠CED＝75°，求∠FHD的度数．
【变式 3-5】（2022春•木兰县期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线
AD，BC，然后在平行线间画了一点E，连接CE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，
分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠C，∠D与∠DEC之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．
（1）请直接写出图①到图④各图中的∠C，∠D与∠DEC之间的关系吗？
（2）请从图③④中，选一个说明它成立的理由．
【变式3-6】（2022秋•朝阳区校级期末）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，连接BE，CE，可以
发现∠B+∠C＝∠BEC．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（ ）．
∴∠C＝∠CEF．（ ）．
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（同理）．
∴∠B+∠C＝ ．
即∠B+∠C＝∠BEC．（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠BEC+∠C＝360°．
（3）解决问题：如图③，AB∥DC，E、F、G是AB与CD之间的点，直接写出∠1，∠2，∠3，∠4，
∠5之间的数量关系 ．
题型四 利用平行线的性质解决实际问题
【例题4】如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜
子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？
解题技巧提炼
给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构
造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.【变式4-1】如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两
地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路 AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向
是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是 千米．
【变式4-2】（2022春•高新区校级期末）学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公
路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐
的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C 是多少度？请你帮小明求出
（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【变式4-3】（2021春•沧县期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相
反，则两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45°
C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°
D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°
【变式4-4】（2022春•东湖区校级月考）工人师傅对一个如图所示的零件进行加工，把材料弯成了一个
40°的锐角，然后准备在A处第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与BC保持平行，弯的角度应是
．【变式4-5】（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，
其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，
∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
题型五 利用平行线的性质解决折叠问题
【例题5】如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（ ）
A．58° B．64° C．72° D．60°
解题技巧提炼
结合长方形的性质，对边是互相平行的，从而综合折叠的特征和平行线的性质求
解即可.折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化.
【变式5-1】（2021秋•陈仓区期末）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（ ）
A．77° B．64° C．26° D．87°
【变式5-2】如图，把长方形ABCD沿EF折叠后使两部分重合，若∠1＝30°，则∠AEF＝（ ）
A．100° B．150° C．110° D．105°
【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若
∠B＝50°，则∠BDF的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【变式5-4】（2022•沭阳县模拟）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将
纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（ ）
A．∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15° C．∠1+∠2＝90° D．2∠2﹣∠1＝90°【变式5-5】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角
相差18°，则图中∠1的度数为（ ）
A．72°或48° B．72°或36° C．36°或54° D．72°或54°
题型六 借助三角尺求角的度数
【例题6】（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，
∠ACB＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度
数是（ ）
A．38° B．45° C．52° D．58°
解题技巧提炼
借助三角尺求角的度数主要是利用三角尺的特征，结合平行线的性质一般解决求
角的度数问题.
【变式6-1】（2022秋•琼海期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列
结论不一定正确的是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠2+∠3＝90° C．∠3+∠4＝180° D．∠1+∠2＝90°
【变式6-2】（2022秋•南关区校级期末）如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，
若∠1＝58°，则∠2的度数为（ ）
A．58° B．42° C．32° D．30°
【变式6-3】（2022•大渡口区校级模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．
则∠BAE的度数为（ ）
A．85° B．75° C．65° D．55°
【变式6-4】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，
则∠HFD的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°题型七 命题的识别及改写
【例题7】下列语句是命题的是（ ）
A．延长线段AB至C B．垂线段最短
C．直线AB平行于直线CD吗 D．不许大声讲话
解题技巧提炼
命题是判断一件事情的语句，正确区分命题的题设和结论是把命题写成“如果…
那么…”形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
命题改写的原则是不改变原题的原意．
【变式7-1】（2021秋•泾阳县期末）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．同旁内角互补
C．平角是一条直线
D．延长线段AO到点C，使OC＝OA
【变式7-2】（2022秋•南岸区期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．内错角相等
C．相等的角是对顶角
D．同旁内角互补，两直线平行
【变式7-3】（2021秋•雁山区校级期末）下列命题中是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C．同旁内角互补
D．平行于同一条直线的两条直线平行【变式7-4】（2022春•北京期末）已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的
是 ．（填写所有真命题的序号）
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
③如果a∥b，c∥b，那么a∥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．
【变式 7-5】（2022 秋•榆阳区校级期末）对假命题“若 a＞b，则 a2＞b2”举反例，正确的反例是
（ ）
A．a＝﹣1，b＝2 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝﹣1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝﹣2
【变式7-6】（2022春•江汉区校级月考）下列命题：①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③内错角相等；④a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则
a∥c．其中真命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式7-7】把下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出命题的真假．
（1）等角的补角相等．
（2）垂直于同一直线的两直线平行．
【变式7-8】判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．
（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
（2）若a+b＝0，则ab＝0；
（3）若ab＝0，则a+b＝0．题型八 命题的分析与证明
【例题 8】（2022春•白水县期末）如图，在三角形 ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AB上一点，
EF⊥BC于点F，点G是AC上一点，连接DG，且∠1＝∠2．求证：AB∥DG．
解题技巧提炼
本题考查了命题证明的书写，推理过程要具有逻辑性，在解题的过程中需要综合
运用平行线的性质与判定.
【变式8-1】（2022春•莱西市期末）已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．求证：DE∥BC．
【变式 8-2】（2022秋•黄岛区校级期末）如图，点 E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝
∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．【变式8-3】（2022秋•南岸区校级月考）如图，在四边形ABCD中．点E为AB延长线上一点，点F为
CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝
∠F．
【变式8-4】（2022春•萍乡期末）如图，EF⊥AC交AC于点F，DB⊥AC交AC于点M，∠1＝∠2，∠3
＝∠C，
求证：AB∥MN．
【变式8-5】（2022春•江城区期中）如图，点 E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点
M，G在AB上，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2．
求证：（1）∠2＝∠CBD；
（2）MD∥BC．【变式8-6】如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°．
（1）图1中：∠DEF＝ ，图2中：∠DEF＝ ；
（2）请观察图1、图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题．
