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5.3 平行线的性质
注意：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都
平行线的性质
是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线
性质1：两直线平行，同位角相等； 平行”．
性质2：两直线平行，内错角相等； (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行
线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
题型1：两直线平行同位角相等
1.如图，已知a∥b，∠2＝115°，则∠1的度数为（ ）
A．65° B．125° C．115° D．25°
【分析】如图，根据平角的定义，得∠2+∠3＝180°，故∠3＝65°．根据平行线的性质，由a∥b，得∠1
＝∠3＝65°．
【解答】解：如图，
∵∠2+∠3＝180°，∠2＝115°，
∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣115°＝65°．
又∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝65°．
故选：A．【变式1-1】如图，∠1＝∠2，∠3＝112°，则∠4等于（ ）
A．62° B．68° C．78° D．112°
【分析】首先证明a∥b，可得∠3＝∠5＝112°，再根据邻补角的性质即可解决问题．
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠2，∠2＝∠ABC，
∴∠1＝∠ABC，
∴a∥b，
∴∠3＝∠DEF＝112°，
∴∠4＝180°﹣112°＝68°，
故选：B．
【变式1-2】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于
折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝103°，则∠3﹣∠4的
度数为 ．
【分析】光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，依据平行线的性质进行判断，即可得出图中
∠3﹣∠4的度数．【解答】解：如图，∵AB∥CD，
∴∠5＝180°﹣∠2，
∵AC∥BD，
∴∠3＝∠5，
∵AE∥BF，
∴∠1＝∠6，
∵EF∥AB，
∴∠4＝∠6，
∴∠3﹣∠4＝180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣（∠1+∠2）＝77°．
故答案为：77°．
【新题速递】（2022七下·东港期末）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B，AD⊥b于
点D，若∠1=57°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．32° C．33° D．40°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵a∥b，∠1=57°，
∴∠ABD=∠1=57°，
∵AD⊥b，
∴∠ADB=90°，
∴∠2=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-57°=33°．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质可得∠ABD=∠1=57°，再结合∠ADB=90°，利用角的运算求出∠2=180°-
∠ADB-∠ABD=180°-90°-57°=33°即可。题型2：两直线平行内错角相等
2.如图，∠1＝∠2，∠4＝120°，则∠3等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【分析】根据邻补角的性质求出∠6，证明l ∥l ，根据平行线的性质解答即可．
1 2
【解答】解：∵∠4＝120°，
∴∠6＝180°﹣120°＝60°，
∵∠1＝∠2，∠1＝∠5，
∴∠5＝∠2，
∴l ∥l ，
1 2
∴∠3＝∠6＝60°，
故选：B．
【变式2-1】（2022九上·博白月考）如图，直线 ，一个三角板的直角顶点在直线 上，两直角边
均与直线 相交， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图：， ， ，
，
直线 ，
．
故答案为：B．
【分析】由平角定义可求得∠3的度数，然后根据平行线的性质可求解.
【变式2-2】如图，B是AC边上一点，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E．
【分析】由平行线的性质得出同位角相等∠A＝∠3，由∠1＝∠2，得出DE∥AC，得出内错角相等∠E
＝∠3，即可得出结论．
【解答】证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴DE∥AC，
∴∠E＝∠3，
∴∠A＝∠E．
【新题速递】（2022七下·抚远期末）如图，直线 ，直线 ，若 ，则 的度数
为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．30°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，标注直线a即直线AH，射线BA即射线BK，∵直线a
b，150，
∴
∵直线AB AC，
∴
∴
故答案为：C
【分析】根据平行线的性质可得1CAH 50， 由垂直的定义可得CAK 90， 利用∠2=90°-
∠CAH即可求解.
题型3：两直线平行同旁内角互补
3.（2022七下·崇川期末）如图，弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，要保证管道 ，则
∠BCD等于（ ）
A．60° B．50° C．70° D．65°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°． 又∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°．
故答案为：A．
【分析】根据二直线平行，同旁内角互补，得出∠ABC+∠BCD=180°，结合∠ABC=120°， 即可求出
∠BCD的大小.
【变式3-1】（2021七下·抚远期末）已知：如图，AD∥BC，∠D＝100°，AC平分∠BCD，求∠DAC
的度数．【答案】解：∵AD∥BC，∠D＝100°，
∴∠BCD=180°-∠D=80°．
又CA平分∠BCD，
∴∠ACB=∠BCD÷2=40°．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=40°．
【解析】【分析】先求出 ∠BCD=80°，再求出∠ACB=40°，最后计算求解即可。
【变式3-2】完成下面的证明．
已知：如图，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°
求证：BF∥DE
证明：
∠AGF＝∠ABC
GF∥ （ ）
∠1＝∠3 （ ）
∠1+∠2＝180°，
+∠3＝180°
BF∥DE（ ）
【分析】根据平行线的判定定理和性质定理解答．
【解答】解：∵∠AGF＝∠ABC，
∴GF∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴BF∥DE（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠2；同旁内角互补，两直线平行．
【新题速递】（2022七下·北海期末）如图， // 分别交 于点E、F，
，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD ， ，
∴∠3＝180°－∠1＝180°－70°＝110°，
∴∠2＝∠3＝110°.
故答案为：D.
【分析】根据二直线平行，同旁内角互补，得∠1+∠3=180°，结合∠1的度数可得∠3的度数，然后根
据对顶角的性质可得∠2的度数.
题型4：单拐点问题（猪蹄/铅笔模型）
4.（2022·安顺）如图， ，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若 ，则
的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线c∥a，
∵ ，
∴ ，
∴∠2=∠3，∠4=∠1=15°，
∴∠3=∠3+∠4-∠4=45°-15°=30°，
∴∠2=∠3=30°，
故答案为：C.
【分析】过等腰直角三角板的一个顶点作直线c∥a，得出 ，根据平行线的性质得出∠2=∠3，
∠4=∠1=15°，然后根据角的和差求出∠3的度数，即可得出结论.【变式4-1】（2022七下·黄山期末）如图所示， ， ，若 ，则 的
度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过E作 ，
∵
∴
∴
∵ ，
∵ ，
∴
故答案为：C
【分析】先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可。
【变式4-2】如图，直线AB∥EF∥CD．
（1）在图①中，试探究：∠BAE，∠AEC，∠ECD之间的关系；
（2）当动点E如图②所示时，（1）中的结论还成立吗？如不成立，请你写出它们之间的关系．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案．
【解答】解：（1）∠AEC＝∠BAE+∠ECD，
在图①中，∵AB∥EF∥CD，
∴∠AEF＝∠BAE，∠CEF＝∠ECD，
∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠ECD；
（2））∠AEC+∠EAB+∠ECD＝360°，
在图②中，∵AB∥PE∥CD，
∴∠BAE+∠AEF＝180°，∠CEF+∠ECD＝180°，
∴∠BAE+∠AEF+∠CEF+∠ECD＝360°，
∴∠AEC+∠EAB+∠ECD＝360°．
【提升应用】（2022八上·乐清开学考）小明完成暑假作业后在家复习，他看到七下课本12页例4：
“如图1﹣13，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°.判断AB，CD是否平行，并说明理
由.”，试着“玩”起数学来：
（1）【基础巩固】
条件和结论互换，改成了：“如图1﹣13，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2＝
90°.”小明认为这个结论正确.你赞同他的想法吗？请说明理由.
（2）【尝试探究】
小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2＝90°”这个结论不成立.请帮小明完成
探究：
如图1，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角，
①若∠2＝22°，求∠1的度数；
②试说明：2∠1﹣∠2＝90°.
（3）【拓展提高】
如图2，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，请直接写出∠1与∠2的等量关系
.
【答案】（1）解：我赞同他的想法，理由如下：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴∠1＝ ∠BAC，∠2＝ ∠ACD，
∴∠1+∠2＝90°；
（2）解：①∵CP⊥AC，
∴∠ACP＝90°，
∵∠2＝22°，∠2+∠ACD＝∠ACP，
∴∠ACD＝68°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠BAC＝112°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠1＝ ∠BAC＝56°；
②∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠1＝ ∠BAC，
∴2∠1+∠ACD＝180°，
∵∠ACD＝90°﹣∠2，
∴2∠1+90°﹣∠2＝180°，
∴2∠1﹣∠2＝90°；
（3）∠1+2∠2＝90°
【解析】【解答】解：（3）∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠2，
∵AP⊥AC，
∴∠CAP＝90°，
∴∠BAC＝90°+∠1，
∴90°+∠1+2∠2＝180°，∴∠1+2∠2＝90°.
故答案为：∠1+2∠2＝90°.
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BAC+∠ACD＝180°，由角平分线的概念可得∠1＝
∠BAC，∠2＝ ∠ACD，然后将两式相加即可；
（2）①根据垂直的概念可得∠ACP＝90°，∠ACD＝∠ACP-∠2＝68°，根据平行线的性质可得
∠BAC+∠ACD＝180°，求出∠BAC的度数，由角平分线的概念可得∠1＝ ∠BAC，据此计算；
②由平行线的性质可得∠BAC+∠ACD＝180°，根据角平分线的概念可得∠1＝ ∠BAC，则
2∠1+∠ACD＝180°，根据余角的性质可得∠ACD＝90°﹣∠2，代入求解即可；
（3）根据平行线的性质可得∠BAC+∠ACD＝180°，根据角平分线的概念可得∠ACD＝2∠2，易得
∠BAC＝90°+∠1，代入求解即可.
题型5：多拐点问题（探究性）
5.如图，已知m∥n，试判断∠1，∠2，∠3，∠4会满足怎样的关系，并说明理由．
【分析】过P，Q做m的平行线，由两直线平行内错角相等，可以找出∠1，∠2，∠3，∠4之间的关
系．
【解答】解：过P，Q分别做m的平行线，如图
由都平行可得出 （两直线平行内错角相等），
则∠1+∠3＝∠2+∠4．
【变式5-1】如图，已知直线AB∥CD，试确定∠A，∠F，∠C与∠E，∠G之间的数量关系并说明理由．【分析】作HE∥AB，FI∥AB，JG∥AB，首先证明∴AB∥HE∥FI∥JG∥CD，然后利用平行线的性质
进行证明即可．
【解答】解：作HE∥AB，FI∥AB，JG∥AB，
∵HE∥AB，FI∥AB，JG∥AB，AB∥CD，
∴AB∥HE∥FI∥JG∥CD．
∴∠A＝∠AEH，∠HEF＝∠EFI，∠IFG＝∠FGJ，∠JGC＝∠C．
∴∠E+∠G＝∠A+∠F+∠C．
【变式5-2】（1）如图（a），已知AB∥CD，∠B＝120°，∠C＝25°．
①求 的度数；
②若∠B＝m°，∠C＝n°，请直接写出 与m，n之间的关系式；
α
（2）如图（b），已知 AB∥EF，∠BCD＝90°，试探究 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
α
α β θ
【分析】（1）延长BE交CD于F，根据平行线的性质和数据线的外角的性质即可解答；
（2）作CG∥AB，DH∥AB，根据两直线平行，内错角相等计算即可．
【解答】解：如图a，（1）①延长BE交CD于F，
∵AB∥CD，∠B＝120°，
∴∠EFC＝180°﹣∠B＝60°，
∵∠C＝25°，
∴ ＝∠EFC+∠C＝85°；
②同理，∠EFC＝180°﹣∠B＝180°﹣m，
α
＝∠EFC+∠C＝180°﹣m+n；
α（2） + ﹣ ＝90°，
证明：如图b，作CG∥AB，DH∥AB，
α β θ
∵AB∥EF，∴DH∥EF，CG∥DH，
∴∠BCG＝∠ABC，∠HDE＝∠DEF，∠GCD＝∠CDH，
∴∠BCD＝∠ABC+∠CDH，即90°＝ + ﹣ ．
α β θ
两条平行线的距离
定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．
注意：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度
就是两条平行线的距离．
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的
距离处处相等．
题型6：平行线间的距离及应用
6.如图所示，直线l ∥l ，点A、B在直线l 上，点C、D在直线l 上，若△ABC的面积为S ，△ABD的面
1 2 2 1 1
积为S ，则( )
2
A．S ＞S B．S ＝S C．S ＜S D．不确定
1 2 1 2 1 2
【答案】B
【解析】因为l ∥l ，所以C、D两点到l 的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面
1 2 2
积相等．
【变式6-1】如图已知直线 ，三个图形的顶点均在直线 ， 上，三个图形面积最大的结论正确的是
（ ）A．①最大 B．②最大 C．③最大 D．不确定
【分析】设m、n之间的距离为h，然后分别表示出三个图形的面积即可得到答案．
【详解】解：设m、n之间的距离为h，
∴图①的面积为 ，图②的面积为 ，图③的面积为 ，
∴图③的面积最大，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线间距的应用，熟知正确表示出三个图形的面积是解题的关键．
【变式6-2】如图，P是直线 m上一动点，A、B是直线 n上的两个定点，且直线 m∥n；对于下列各
值：①点P到直线n的距离；②△PAB的周长；③△PAB的面积；④∠APB的大小．其中会随点 P的移
动而变化的是（ ）
A. ①② B.①③ C.②④ D.③④
【解答】解：∵直线m∥n,
∴点P到直线n的距离；故①错误；
∵PA、PB的长度随点P的移动而变化，
∴△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；
∵点P到直线n的距离不变，AB的大小不变，
∴△PAB的面积不变，故③错误；
直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，∠APB的大小随点P的移动而变化，
故④正确；
综上所述，会随点P的移动而变化的是②④．
故选：C．
【点评】本题考查了等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关
键．
7.平行线的性质与折叠问题
7.（2021七下·海曙期末）将长方形ABCD纸片沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知
∠CED'=80°，则∠EAB的大小是( )
A．60° B．50° C．75° D．55°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠CED''=80°，
∴∠DED'=100°，∵AE为折痕，
∴∠DEA=∠EAD'=50°，
又∵CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAB=50°，
故答案为：B.
【分析】先根据补角的性质得到∠DED'=100°，再由折叠的性质得到∠DEA=∠EAD'=50°，最后根据平
行的性质即可求解.
【变式7-1】如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1=35°，
则∠2的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．55°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠1=35°，CD∥AB，
∴∠ABD=35°，∠DBC=55°，
由折叠可得∠DBC'=∠DBC=55°，
∴∠2=∠DBC'﹣∠DBA=55°﹣35°=20°，
故选：A．
【分析】根据矩形的性质，可得∠ABD=35°，∠DBC=55°，根据折叠可得∠DBC'=∠DBC=55°，最后
根据∠2=∠DBC'﹣∠DBA进行计算即可．
【变式7-2】如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，C点落在C′处，D点落在D′处，ED′交BC
于点G．已知∠EFG=50°，试求∠DEG与∠BGD′的度数．
【答案】解：∵四边形ED′C′F由四边形EDCF折叠而成，
∴∠DEG=2∠DEF=2∠D′EF．
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFG=50°，
∴∠GEF=∠DEF=50°，
∴∠DEG=∠GEF+∠DEF=100°．
在△GEF中，∵∠GEF=50°，∠GFE=50°
∴∠EGF=180°﹣∠GEF﹣∠GFE=80°
∴∠BGD′=∠EGF=80°．
【解析】【分析】先根据图形折叠的性质得出∠DEG=2∠DEF=2∠D′EF，再由平行线的性质求出
∠DEG的度数；根据三角形内角和定理求出∠EGF的度数，进而可得出结论．
题型8：平行线的判定与性质的综合应用
8.（2023八上·渠县期末）已知，如图，在△ABC中，AH平分∠BAC交BC于点H，D、E分别在
CA、BA 的延长线上，DB∥AH，∠D＝∠E.
（1）求证：DB∥EC；
（2）若∠ABD＝2∠ABC，∠DAB比∠AHC大5°.求∠D的度数.
【答案】（1）证明：∵DB AH，
∴∠D＝∠CAH，
∵AH平分∠BAC，
∴∠BAH＝∠CAH，
∵∠D＝∠E，
∴∠BAH＝∠E，
∴AH EC，
∴DB EC；
（2）解：设∠ABC＝x，则∠ABD＝2x，∠BAH＝2x，
∠DAB＝180°−4x，
∠DAB比∠AHC大5°
∠AHC＝175°−4x，
DB AH，
即：175°−4x＝3x，
解得x＝25°，
则∠D＝∠CAH＝∠BAH＝∠ABD＝2x＝50°.
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等可得∠D＝∠CAH，根据角平分线的定义可得
∠BAH＝∠CAH，再根据已知条件和等量关系可得∠BAH＝∠E，从而根据同位角相等，两直线平行，即可求解；
（2）设∠ABC＝x，则∠ABD＝2x，则∠BAH＝2x，可得∠DAB＝180°−4x，可得∠AHC＝175°
−4x，根据二直线平行，同位角相等得∠AHC=∠DBC，据此建立方程，解方程求得x，进一步求得
∠D的度数．
【变式8-1】（2023八上·榆林期末）如图，在 中，点 ， 分别在 ， 上，点 ， 在
上，连接 ， ， . ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数.
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ .
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵
∴ .
∵ ，
∴
【解析】【分析】（1）利用对顶角相等，可证得∠1+∠4=180°，利用平行线的判定定理可证得
AB∥EF，利用平行线的性质可推出∠B=∠EFC，由此可推出∠3=∠EFC，利用内错角相等，两直线平
行，可证得结论.
（2）利用两直线平行，同旁内角互补，内错角相等，可求出∠AED的度数，从而可求出∠3、∠DEC
的度数；然后根据∠CEF=∠DEC-∠3，代入计算求出∠CEF的度数.
【变式8-2】如图，已知∠ 和∠ 的度数满足方程组 ，且CD∥EF，AC⊥AE．
α β（1）分别求∠ 和∠ 的度数；
（2）求∠C的度数．
α β
【分析】（1）用方程①减去方程②，求出∠ 的度数，再把∠ 的度数代入其中一个方程，即可求出
∠ 的度数．
α α
（2）证AB∥CD，利用平行线的性质即可解决问题．
β
【解答】解：（1）解方程组 ，
①﹣②得：3∠ ＝150°，解得∠ ＝50°，
把∠ ＝50°代入②得：∠ ﹣50°＝80°，
α α
解得∠ ＝130°；
α β
β
（2）∵∠ +∠ ＝50°+130°＝180°，
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
α β
又∵CD∥EF，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，
∵AC⊥AE，
∴∠CAE＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
【变式8-3】（2022八上·黄冈开学考）如图，AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E，F在CD上，且满足
∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．
（1）直线AD与BC有何位置关系？请说明理由；
（2）求∠DBE的度数；
（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC＝∠ADB？若存
在，求∠ADB的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：AD∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A+∠ABC=180°，
∵∠A＝∠C＝100°，∴∠C+∠ABC=180°，
∴AD∥BC；
（2）解：∵∠A＝∠C＝100°，∠C+∠ABC=180°，
∴∠ABC=180°-∠C=80°，
∵∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF，
∴∠DBF= ∠ABF，∠EBF= ∠CBF，
∴∠DBE=∠DBF+∠EBF= (∠ABF+∠CBF)= ∠ABC=40°；
（3）解：存在，
当∠BEC=∠ADB时，由∠BEC=∠ABE，∠ADB=∠CBD得∠ABE=∠CBD，
即∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，
∴∠ABD=∠CBE，
又∵∠ABD+∠CBE= ∠ABF+ ∠CBF= ∠ABC=40°，
∴∠ABD=∠CBE=20°，
∴∠BEC=180°-∠C-∠CBE=180°-100°-20°=60°，
∴∠ADB=60°．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A+∠ABC=180°，从而得出∠C+∠ABC=180°，再根
据平行线的判定定理即可得出AD∥BC；
（2）先求出∠ABC=80°，根据角平分线的定义得出∠DBF= ∠ABF，∠EBF= ∠CBF，从而得出
∠DBE=∠DBF+∠EBF= ∠ABC=40°，即可得出答案；
（3）先求出∠ABD=∠CBE=20°，从而求出∠BEC=180°-∠C-∠CBE=60°，即可得出∠ADB=60°．
题型9：命题与定理
9.下命题中：
①若两条直线相交所形成的四个角中有三个角相等，则这两条直线互相垂直；
②若AC＝BC，则C是线段AB的中点；
③在同一平面内，不相交的两条线段必平行；
④两点确定一条直线．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据对顶角及互补角的概念判断即可；②根据中点的定义判断即可；③根据平行线的判定
方法判断即可；④根据两点确定一条直线公理判断即可．
【解答】解：①两条直线相交成四个角，则这四个角中有2对对顶角．如果三个角相等，则这四个角相等，都是直角，所以这两条直线垂直．故正确；
②若AC＝BC且三点在同一条直线上，则C是线段AB的中点，故原说法不正确；
③在同一平面内，不相交的两条线段所在的直线必平行，故原说法不正确；
④两点确定一条直线，正确．
说法正确的有2个，
故选：B．
【变式9-1】（2022八上·成武期中）命题：①对顶角相等；②经过直线外一点，有且只有一条直线与
已知直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：由对顶角的性质可直接判断①是正确的，是真命题；
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故②符合题意，是真命题；
由反例“角平分线分成的两个角相等”，但它们不是对顶角，故③不符合题意，是假命题；
由“两直线平行，同位角相等”，前提是两直线平行，故④不符合题意，是假命题．
故答案为：B．
【分析】根据假命题的定义逐项判断即可。
【变式9-2】（2022七上·无棣期中）下列说法正确的是（ ）
① 0是绝对值最小的有理数；②相反数大于本身的数是负数；③一个有理数不是正数就是负数；
④两个数比较，绝对值大的反而小
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【解析】【解答】解：绝对值最小的数是0，故①符合题意．
负数的相反数为正数，都大于其本身，故②符合题意．
有理数包括0，故③不符合题意．
例如2与-1，2的绝对值大，并且数值也大，故④不符合题意．
故答案为：A
【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。
【变式9-3】（2022七上·海东期中）下列说法正确的是（ ）
①零是整数；②零是有理数；③零是自然数；④零是正数；⑤零是负数；⑥零是非负数．
A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．①②③⑥ D．②③④⑤
【答案】C
【解析】【解答】解：①零是整数，符合题意；
②零是有理数，符合题意；
③零是自然数，符合题意；
④零不是正数，故原说法不符合题意；⑤零不是负数，故原说法不符合题意；
⑥零是非负数，符合题意；
所以正确的有①②③⑥．
故答案为：C
【分析】根据有理数的定义及分类求解即可。
一、单选题
1．（2022·龙江模拟）将一副三角板如图所示的位置放在直尺上，则∠1的度数是（ ）
A．115° B．105° C．110° D．95°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：∠BAC＝45°，∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝75°，
∴∠DAF＝180°－∠BAD＝105°，
∵EG//BF，
∴∠1＝∠DAF＝105°．
故答案为：B．
【分析】先求出∠BAD的度数，再利用邻补角的性质求出∠DAF的度数，最后利用平行线的性质可
得∠1＝∠DAF＝105°。
2．（2021七下·肥城期中）下列说法不正确的是（ ）A．平面内两条不相交的直线叫做平行线
B．一条直线的平行线有且只有一条
C．过直线外一点能画一条直线与已知直线平行
D．同一平面内，过直线外一点能画一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【解析】【解答】解：A、平面内两条不相交的直线叫做平行线，此选项不符合题意；
B、一条直线的平行线无数条，此选项符合题意；
C、过直线外一点能画一条直线与已知直线平行，此选项不符合题意；
D、过直线外一点能画一条直线与已知直线垂直，此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的定义、平面内两直线的位置关系逐项判断即可。
3．（2021八下·崇明期末）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线相等的菱形是正方形
【答案】D
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合
题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据矩形、菱形和正方形的判定方法逐项判定即可。
4．（2022·河池模拟）如图， ， 是截线， ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1=70°，
∴∠1=∠CEB=70°.
∴∠2=180°－∠CEB=180°－70°=110°.
故答案为：C.
【分析】由二直线平行，同位角相等，可得∠1=∠CEB=70°，根据邻补角的定义可得∠2=180°－
∠CEB，继而得解.
5．（2021·芜湖模拟）在数学课上，小明同学在练习本上相互平行的横格线上先画了直线 ，度量出
，接着他准备在点 处画直线 ，若要使 ，则 的度数为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．105°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，由题意得： ，
，
要使 ，则 ，
，
，，
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再求出∠3=75°，最后求解即可。
6．（2021八上·岳阳期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．互补的角是邻补角 B．同位角相等
C．对顶角相等 D．同旁内角互补
【答案】C
【解析】【解答】解： 、互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题，不符合题意；
、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意；
、对顶角相等，是真命题，符合题意；
、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】互补的角可能为邻补角，还可能为平行线所截的同旁内角，据此判断A；根据平行线的性质
可判断B、D；根据对顶角的性质可判断C.
7．（2021七下·武昌期中）如图，AB∥CD，∠1＝105°，则∠2的度数是（ ）
A．105° B．85° C．75° D．65°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝105°，
∴∠2＝180°﹣105°＝75°.
故答案为：C.
【分析】利用平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可求出∠2的度数.
二、填空题
8．（2022七下·淮安月考）如图，已知直线 ，∠1=100°，则∠2的度数为 .【答案】80°
【解析】【解答】解：如图：∵∠1=100°，
∴∠1的邻补角：∠3=180°﹣100°=80°（邻补角互补），
∵ ，
∴∠2=∠3=80°（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2的度数为80°.
故答案为： .
【分析】根据邻补角的定义可求出∠3=180°﹣∠1，再根据二直线平行，同位角相等可得∠2=∠3，据
此即可得出答案.
9．（2021八上·玉田期中）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 命题．(填“真”或
“假”)
【答案】假
【解析】【解答】解：“全等三角形的对应角相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相
等，因而逆命题是：对应角相等的三角形全等．是一个假命题．
故答案为：假．
【分析】先将命题的逆命题写出，再根据真命题的定义判断即可。
10．（2022七下·吴江期末）如图，若AB CD EF，则∠x，∠y，∠z三者之间的数量关系是.
【答案】∠x+∠z＝∠y
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴∠x+∠z+∠CEF＝180°，∠y+∠CEF＝180°，
∴∠CEF＝180°﹣（∠x+∠z），∠CEF＝180°﹣∠y，
∴∠x+∠z＝∠y.
故答案为：∠x+∠z＝∠y.
【分析】由平行线的性质“两直线平行同旁内角互补”可求解.
11．（2021七下·牡丹江期中）如图，AB//CD，∠CDE=119º，GF交∠DEB的平分线EF于F，
∠AGF=130º，则∠F= ．
【答案】9.5º或9º30´.
【解析】【解答】已知AB//CD，∠CDE=119º，
根据平行线的性质可得∠CDE=∠DEB=119º，∠AED=180º—119º=61º；
由EF平分∠DEB可得∠DEF= ∠DEB=59.5º，
所以∠GEF=∠DEF+∠AED=59.5º+61º=120.5º.
再由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得
∠F=∠AGF-∠GEF=130º-120.5º=9.5º（或9º30´）.
【分析】两直线平行，同位角相等。两直线平行，同旁内角互补。对顶角相等。三角形的一个外角等
于与它不相邻的两个内角的和。解题关键：熟练掌握利用平行线的性质和三角形的外角的性质进行简单的推理。
三、解答题
12．（2021·武汉模拟）如图，B，E分别是AC，DF上的点，AE∥BF，∠A＝∠F.求证：∠C＝∠D.
【答案】证明：∵AE∥BF，
∴∠A＝∠FBC，
∵∠A＝∠F，
∴∠F＝∠FBC，
∴DF∥AC，
∴∠C＝∠D.
【解析】【分析】由二直线平行，同位角相等得∠A＝∠FBC， 结合∠A＝∠F， 等量代换得出∠F＝
∠FBC，则可根据内错角相等，两直线平行判定DF∥AC， 最后由二直线平行，内错角相等即可得出
结论.
13．（2022七下·崇阳期中）在下列解题过程的空白处填上恰当的内容（推理的理由或数学表达式）
已知：如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠4．
求证：EF GH．
证明：∵∠1＋∠2＝180°（已知），∠AEG＝∠1（ ）
∴∠AEG＋∠ ＝180°，
∴AB CD（ ），
∴∠AEG＝∠EGD（ ），
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠3＋∠AEG＝∠4＋∠ （等式的性质），即∠FEG＝∠ ，
∴EF GH（ ）．
【答案】证明：∵∠1+∠2=180°（已知），∠AEG=∠1（对顶角相等）
∴∠AEG+∠2=180°，
∴AB CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠AEG=∠EGD（两直线平行，内错角相等），
∵∠3=∠4（已知），
∴∠3+∠AEG=∠4+∠EGD（等式性质），
即∠FEG＝∠EGH
∴EF GH（内错角相等，两直线平行）
故答案为：对顶角相等；2；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；EGD；EGH；
内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据对顶角的性质可得∠AEG=∠1，结合∠1+∠2=180°，得∠AEG+∠2=180°，由同
旁内角互补，两直线平行，推出AB∥CD，由平行线的性质可得∠AEG=∠EGD，结合∠3=∠4，根据角
的和差得∠FEG＝∠EGH，然后根据内错角相等，两直线平行，进行证明.
四、综合题
14．（2021七下·岳阳期末）如图，已知AB∥CD， 若∠C=35∘，AB是∠FAD的平分线.
（1）求∠FAD的度数；
（2）若∠ADB=110∘，求∠BDE的度数.
【答案】（1）解：∵AB//CD，
∴∠C=∠FAB=35°，
∵AB是∠FAD的平分线，
∴∠FAB=∠BAD=35°，∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=70°；
（2）解：∵AB//CD，
∴∠ADC=∠BAD=35°，
又∵∠ADB=110°，
∴∠BDE=180°-∠ADC- ∠ADB =180°-35°-110°=35°.
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等得出∠C=∠FAB=35°，再根据角平分线的定义得
出 ∠FAB=∠BAD=35°，利用∠FAD=∠FAB+∠BAD，即可求解；
（2）根据二直线平行，内错角相等得出∠ADC=∠BAD=35°，再利用∠BDE=180°-∠ADC- ∠ADB，即
可求解.
15．（2019七下·郴州期末）如图，BF，DE分别是 ， 的平分线，且 ，
垂足为点E，BF交DC于点F.
（1）试说明 ；
（2）若 ，试求 的度数.
【答案】（1）证明：因为 （已知），
所以 （垂直的定义），
又因为 ，
所以 ，
又因为BF，DE分别是 ， 的平分线，
所以 ，
所以 （同旁内角互补，两直线平行）.
（2）解：因为BF是 的角平分线，所以 ，
又因为 ，
所以 （两直线平行，内错角相等）.
【解析】【分析】（1）利用同旁内角互补可求得 ；（2）利用平行线的性质和角平分线的
性质可求出结果.
