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5.3 平行线的性质
注意：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都
平行线的性质
是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线
性质1：两直线平行，同位角相等； 平行”．
性质2：两直线平行，内错角相等； (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行
线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
题型1：两直线平行同位角相等
1.如图，已知a∥b，∠2＝115°，则∠1的度数为（ ）
A．65° B．125° C．115° D．25°
【变式1-1】如图，∠1＝∠2，∠3＝112°，则∠4等于（ ）
A．62° B．68° C．78° D．112°【变式1-2】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于
折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝103°，则∠3﹣∠4的
度数为 ．
【新题速递】（2022七下·东港期末）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B，AD⊥b于
点D，若∠1=57°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．32° C．33° D．40°
题型2：两直线平行内错角相等
2.如图，∠1＝∠2，∠4＝120°，则∠3等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【变式2-1】（2022九上·博白月考）如图，直线 ，一个三角板的直角顶点在直线 上，两直角边
均与直线 相交， ，则 （ ）A． B． C． D．
【变式2-2】如图，B是AC边上一点，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E．
【新题速递】（2022七下·抚远期末）如图，直线 ，直线 ，若 ，则 的度数
为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．30°
题型3：两直线平行同旁内角互补
3.（2022七下·崇川期末）如图，弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，要保证管道 ，则
∠BCD等于（ ）
A．60° B．50° C．70° D．65°
【变式3-1】（2021七下·抚远期末）已知：如图，AD∥BC，∠D＝100°，AC平分∠BCD，求∠DAC
的度数．
【变式3-2】完成下面的证明．
已知：如图，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°求证：BF∥DE
证明：
∠AGF＝∠ABC
GF∥ （ ）
∠1＝∠3 （ ）
∠1+∠2＝180°，
+∠3＝180°
BF∥DE（ ）
【新题速递】（2022七下·北海期末）如图， // 分别交 于点E、F，
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
题型4：单拐点问题（猪蹄/铅笔模型）
4.（2022·安顺）如图， ，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若 ，则
的大小是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022七下·黄山期末）如图所示， ， ，若 ，则 的
度数为（ ）A．100° B．110° C．120° D．130°
【变式4-2】如图，直线AB∥EF∥CD．
（1）在图①中，试探究：∠BAE，∠AEC，∠ECD之间的关系；
（2）当动点E如图②所示时，（1）中的结论还成立吗？如不成立，请你写出它们之间的关系．
【提升应用】（2022八上·乐清开学考）小明完成暑假作业后在家复习，他看到七下课本12页例4：
“如图1﹣13，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°.判断AB，CD是否平行，并说明理
由.”，试着“玩”起数学来：
（1）【基础巩固】
条件和结论互换，改成了：“如图1﹣13，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2＝
90°.”小明认为这个结论正确.你赞同他的想法吗？请说明理由.
（2）【尝试探究】
小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2＝90°”这个结论不成立.请帮小明完成
探究：
如图1，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角，
①若∠2＝22°，求∠1的度数；
②试说明：2∠1﹣∠2＝90°.
（3）【拓展提高】
如图2，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，请直接写出∠1与∠2的等量关系
.题型5：多拐点问题（探究性）
5.如图，已知m∥n，试判断∠1，∠2，∠3，∠4会满足怎样的关系，并说明理由．
【变式5-1】如图，已知直线AB∥CD，试确定∠A，∠F，∠C与∠E，∠G之间的数量关系并说明理由．
【变式5-2】（1）如图（a），已知AB∥CD，∠B＝120°，∠C＝25°．
①求 的度数；
②若∠B＝m°，∠C＝n°，请直接写出 与m，n之间的关系式；
α
（2）如图（b），已知 AB∥EF，∠BCD＝90°，试探究 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
α
α β θ
两条平行线的距离
定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．
注意：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度
就是两条平行线的距离．
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的
距离处处相等．
题型6：平行线间的距离及应用
6.如图所示，直线 l ∥l ，点A、B在直线l 上，点C、D在直线l 上，若
1 2 2 1
△ABC的面积为S ，△ABD的面积为S ，则( )
1 2A．S ＞S B．S ＝S C．S ＜S D．不确定
1 2 1 2 1 2
【变式6-1】如图已知直线 ，三个图形的顶点均在直线 ， 上，三个图形面积最大的结论正确的是
（ ）
A．①最大 B．②最大 C．③最大 D．不确定
【变式6-2】如图，P是直线 m上一动点，A、B是直线 n上的两个定点，且直线 m∥n；对于下列各
值：①点P到直线n的距离；②△PAB的周长；③△PAB的面积；④∠APB的大小．其中会随点 P的移
动而变化的是（ ）
A. ①② B.①③ C.②④ D.③④
7.平行线的性质与折叠问题
7.（2021七下·海曙期末）将长方形ABCD纸片沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知
∠CED'=80°，则∠EAB的大小是( )
A．60° B．50° C．75° D．55°
【变式7-1】如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1=35°，
则∠2的度数为（ ）A．20° B．30° C．35° D．55°
【变式7-2】如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，C点落在C′处，D点落在D′处，ED′交BC
于点G．已知∠EFG=50°，试求∠DEG与∠BGD′的度数．
题型8：平行线的判定与性质的综合应用
8.（2023八上·渠县期末）已知，如图，在△ABC中，AH平分∠BAC交BC于点H，D、E分别在
CA、BA 的延长线上，DB∥AH，∠D＝∠E.
（1）求证：DB∥EC；
（2）若∠ABD＝2∠ABC，∠DAB比∠AHC大5°.求∠D的度数.
【变式8-1】（2023八上·榆林期末）如图，在 中，点 ， 分别在 ， 上，点 ， 在
上，连接 ， ， . ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数.【变式8-2】如图，已知∠ 和∠ 的度数满足方程组 ，且CD∥EF，AC⊥AE．
（1）分别求∠ 和∠ 的度数；
α β
（2）求∠C的度数．
α β
【变式8-3】（2022八上·黄冈开学考）如图，AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E，F在CD上，且满足
∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．
（1）直线AD与BC有何位置关系？请说明理由；
（2）求∠DBE的度数；
（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC＝∠ADB？若存
在，求∠ADB的度数；若不存在，请说明理由．
题型9：命题与定理
9.下命题中：
①若两条直线相交所形成的四个角中有三个角相等，则这两条直线互相垂直；
②若AC＝BC，则C是线段AB的中点；
③在同一平面内，不相交的两条线段必平行；
④两点确定一条直线．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式9-1】（2022八上·成武期中）命题：①对顶角相等；②经过直线外一点，有且只有一条直线与
已知直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式9-2】（2022七上·无棣期中）下列说法正确的是（ ）
① 0是绝对值最小的有理数；②相反数大于本身的数是负数；③一个有理数不是正数就是负数；
④两个数比较，绝对值大的反而小
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④【变式9-3】（2022七上·海东期中）下列说法正确的是（ ）
①零是整数；②零是有理数；③零是自然数；④零是正数；⑤零是负数；⑥零是非负数．
A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．①②③⑥ D．②③④⑤
一、单选题
1．（2022·龙江模拟）将一副三角板如图所示的位置放在直尺上，则∠1的度数是（ ）
A．115° B．105° C．110° D．95°
2．（2021七下·肥城期中）下列说法不正确的是（ ）
A．平面内两条不相交的直线叫做平行线
B．一条直线的平行线有且只有一条
C．过直线外一点能画一条直线与已知直线平行
D．同一平面内，过直线外一点能画一条直线与已知直线垂直
3．（2021八下·崇明期末）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线相等的菱形是正方形
4．（2022·河池模拟）如图， ， 是截线， ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
5．（2021·芜湖模拟）在数学课上，小明同学在练习本上相互平行的横格线上先画了直线 ，度量出
，接着他准备在点 处画直线 ，若要使 ，则 的度数为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．105°
6．（2021八上·岳阳期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．互补的角是邻补角 B．同位角相等
C．对顶角相等 D．同旁内角互补
7．（2021七下·武昌期中）如图，AB∥CD，∠1＝105°，则∠2的度数是（ ）
A．105° B．85° C．75° D．65°
二、填空题
8．（2022七下·淮安月考）如图，已知直线 ，∠1=100°，则∠2的度数为 .9．（2021八上·玉田期中）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 命题．(填“真”或
“假”)
10．（2022七下·吴江期末）如图，若AB CD EF，则∠x，∠y，∠z三者之间的数量关系是
.
11．（2021七下·牡丹江期中）如图，AB//CD，∠CDE=119º，GF交∠DEB的平分线EF于F，
∠AGF=130º，则∠F= ．
三、解答题
12．（2021·武汉模拟）如图，B，E分别是AC，DF上的点，AE∥BF，∠A＝∠F.求证：∠C＝∠D.13．（2022七下·崇阳期中）在下列解题过程的空白处填上恰当的内容（推理的理由或数学表达式）
已知：如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠4．
求证：EF GH．
证明：∵∠1＋∠2＝180°（已知），∠AEG＝∠1（ ）
∴∠AEG＋∠ ＝180°，
∴AB CD（ ），
∴∠AEG＝∠EGD（ ），
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠3＋∠AEG＝∠4＋∠ （等式的性质），
即∠FEG＝∠ ，
∴EF GH（ ）．
四、综合题
14．（2021七下·岳阳期末）如图，已知AB∥CD， 若∠C=35∘，AB是∠FAD的平分线.
（1）求∠FAD的度数；
（2）若∠ADB=110∘，求∠BDE的度数.15．（2019七下·郴州期末）如图，BF，DE分别是 ， 的平分线，且 ，
垂足为点E，BF交DC于点F.
（1）试说明 ；
（2）若 ，试求 的度数.
