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5.3平行线的性质
考点一：平行线的性质
1：两条平行线被第三条直线所截，同位 角相等.
简单地说:两直线平行，同位角相等.
2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单地说:两直线平行，内错角相等.
3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单地说:两直线平行，同旁内角互补.
注意：是先有两直线平行，才有以上的性质，前提是“线平行”。
一个结论：平行线间的距离处处相等。
例如：应用于 说明矩形（包括长方形、正方形）的对边相等，还有梯形的对角线把梯形分成分别以上底为底的
两等面积的三角形，或 以下底为底的两等面积的三角形。（因为梯形的上底与下底平行，平行线间的高相等，所
以，就有等底等高的三角形。）
考点二、命题
判断一件事情的语句叫命题。命题包括“题设”和“结论”两部分，可写成“如果……那么……”的形式。
例如：“明天可能下雨。”这句语句______命题，而“今天很热，明天可能下雨。”这句语句_____命题。(填
“是”或“不是”)
① 命题分为真命题 与 假命题，真命题指题设成立，结论也成立的命题（或说正确的命题）。假命题指题设成立，
但结论不一定或根本不成立的命题（或说错误的命题）。
② 逆命题：将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题。
注：原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题，同理，原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题。
题型一：平行线的性质
1．（2022秋·河南新乡·七年级校考期末）如图， 是 的平分线， ，若 ，则 的度数为（ ）
A．17.5° B．35° C．55° D．70°
2．（2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期末）如图，直线 ，一块含 角的直角三角板如图
放置，若 ，则 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图， ，直线 交 于点 ，交 于点 ， 平分 ，
交 于点 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
题型二：根据平行线性质探究角的关系
4．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）
；（2） ；（3） ；（4） ．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023春·七年级单元测试）如图，平面内直线 ，点 ， ， 分别在直线 ， ， 上， 平分
，并且满足 ，则 ， ， 关系正确的是（ ）A． B． C． D．
6．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ，
其中正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
题型三：根据平行线性质求角的大小
7．（2022秋·重庆江北·七年级校考期末）如图，已知 平分 ， ， ，则 为
（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线 ， 于点C， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图， ，将一副直角三角板作如下摆成，图中点A、B、C在
同一直线上，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
题型四：平行线性质在生活应用问题
10．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，与原来的方向恰
好相反，那么两次拐弯的角度是（ ）
A．第一次右拐50°，第二次左拐130° B．第一次左拐50°，第二次右拐50°
C．第一次左拐50°，第二次左拐130° D．第一次右拐50°，第二次右拐50°
11．（2022春·山西临汾·七年级统考期中）如图，木条a、b、c通过B、E两处螺丝固定在一起，且 ，
，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF
达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（ ）
A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转
12．（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、
QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，
A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（ ）
A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒
题型五：平行线之间的距离13．（2023春·七年级单元测试）在同一平面内，设 、 、 是三条互相平行的
直线，已知 与 的距离为 ， 与 的距离为 ，则 与 的距离为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
14．（2023春·七年级课时练习）如图， ， ， ， ．则下列结论正确的是（ ）．
A．A与B之间的距离就是线段AB B．AB与CD之间的距离就是线段AC的长度
C． 与 之间的距离就是线段CE的长度 D． 与 之间的距离就是线段CD的长度
15．（2020春·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，已知直线a // b // c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C
三点，若AB=2，AC=6，则平行线b、c之间的距离是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
题型六：与命题有关的问题
16．（2023春·广东江门·七年级统考期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．直角的补角是直角 B．内错角相等，两直线平行
C．一条直线有且只有一条垂线 D．垂线段最短17．（2023春·七年级课时练习）关于原命题“如果 ，那么 ”和它的逆命题“如果 ，那么
”，下列说法正确的是（ ）
A．原命题是真命题，逆命题是假命题 B．原命题、逆命题都是真命题
C．原命题是假命题，逆命题是真命题 D．原命题，逆命题都是假命题
18．（2023春·全国·七年级专题练习）一栋公寓楼有5层，每层有一或两套公寓．楼内共有8套公寓．住户J、
K、L、M、N、O、P、Q共8人住在不同公寓里．已知：
（1）J住在两套公寓的楼层．（2）K住在P的上一层．（3）二层只有一套公寓．
（4）M、N住在同一层．（5）O、Q不同层．（6）Q不住在一层或二层．
（7）L住在她所在层仅有的公寓里，且不在第一次或第五层．（8）M在第四层；
那么，J住在第（ ）层．
A．1 B．2 C．3 D．5
题型七：平行线的判定和性质的综合问题
19．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级校考期末）如图， ，连接 并延长至点 ， 平分 ，
， ．
(1)求证 ；
(2)若 ，求 的度数．
20．（2023春·七年级单元测试）如图， ， 平分 ， ．
(1)求证： ；(2)求证： ；
(3)若 平分 ，求证： ．
21．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知 ，点B在直线 之间， ．
(1)如图1，请直接写出 和 之间的数量关系：_________．
(2)如图2， 和 满足怎样的数量关系？请说明理由．
(3)如图3， 平分 ， 平分 ， 与 交于点G，则 的度数为_________．
一：选择题
22．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）如图，若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
23．（2023春·七年级课时练习）如图，直线 、 分别截 的两边，且 ．根据图中标示的角，判断下列各
角的度数关系，正确的是（ ）
A． B． C． D．24．（2023春·七年级课时练习）如图，已知 ， 是 的平分线，若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
25．（2023秋·吉林长春·七年级校联考期末）如图， ， ， 平分 ，则 的大小
为（ ）
A． B． C． D．
26．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）如图，已知 ， ， ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
27．（2023秋·甘肃天水·七年级校考期末）如图， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．28．（2022春·全国·七年级专题练习）如图，点E在AB的延长线上，下列条件中能够判定 的条件有（
）
① ；② ；③ ；④ ．
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
29．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知 ， ，求证 ；
30．（2023秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，已知 ， ， ，试说明： ．
完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：
∵ （已知）
∴ ______（______）
∴ （______）
∵ （已知）
∴ ______（等量代换）
∴ （______）
∴ （______）
即
∵ （已知）
∴ （______）
即∴ （______）．
一、单选题
31．（2023春·七年级课时练习）如图，已知直线 ， ， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
32．（2023春·七年级单元测试）如图，直线 分别与直线 相交于点 ，已知 ，
平分 交直线 于点 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
33．（2023春·全国·七年级专题练习）如图， ， ，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的
是（ ）
A． B． C． D．34．（2023春·全国·七年级专题练习）如图， ，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
35．（2023春·七年级课时练习）已知 ，点E在 连线的右侧， 与 的角平分线相交于点
F，则下列说法正确的是（ ）；
① ；
②若 ，则 ；
③如图（2）中，若 ， ，则 ；
④如图（2）中，若 ， ，则 ．
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
36．（2023秋·重庆·七年级统考期末）如图， ， ， 是否与 平行，若不平行，需添加
___________（只填出一种即可）的条件，使 ．37．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当 时，
的度数为________．
38．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，已知 ，点 ， 分别在直线 、 上，
， ，则 与 的数量关系________．
39．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图， 和 的角平分线交于点E，延长 交 于
点F， ，则 _________．
40．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线 被直线 所截， 分别交 于点A和点B，过点B的直
线 交 于点C．若 ，则 _________．41．（2022春·四川成都·七年级校考阶段练习）有一副直角三角板 和 ，其中 ， ，如
图所示叠放，边 与边 交于点 ，过点 作 平分 ，若 ，则 ______度．
三、解答题
42．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，已知点 、 在直线 上， ， 平分 ，
．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
43．（2023春·七年级单元测试）如图，已知 ．(1)求证： ；
(2)若 平分 ， 于点A， ，求 的度数．
44．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线 ，垂足为O， 与直线a、b分别交于点E、F，且
， 分别平分 和 ．
(1)填空： ；
(2)求证： ．
45．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）（1）已知：如图1， ，求证： ；
（2）已知：如图2， ，试探求 、 与 之间的数量关系，并说明理由．
拓展提升：（3）如图3，已知 ， ， 分别平分 与 ，若 ，求 的度数．
46．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）如图， ， 平分 ，点 在射线 上， ，
垂足为点 ， 平分 ，交射线 于点 ，动点 从点 出发沿射线 运动，连接 ．(1)当 平分 时， ______°．
(2)当 时，求 的度数．
(3)当 时， ______°．
(4)当 时，直接写出此时 的度数．
47．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知 ，点A在 上， 的两边与
相交于点B，与 相交于点C， 平分 ．
(1)如图1，若 ， ， 的数量关系为___________．
(2)如图2，在（1）的条件下，若 ， ，求证 ；
(3)点B、C分别在点D、E的下方，若 ， ，请在备用图中画出相应的图形，并求出
的度数．1．B
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得 ，再根据角平分线的定义可得 ，从而可得
结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．
2．B
【分析】由平行线的性质，已知 ，再根据角的和差，平行公理推论，平行线的性质解得∠2度数，
进而得出答案．
【详解】过点B作 ,
∴ ，
∵ ,
∴ ,
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角的和差，对顶角的性质，等量代换等相关知识点，重点
掌握平行线的性质，难点过一点作已知直线的平行线辅助线．
3．C
【分析】由 ， ，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得 的度数，又由 平分 ，
求得 的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得 的度数．
【详解】解： ，，
，
，
平分 ，
，
，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错
角相等定理的应用．
4．D
【分析】根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，可判断（1），（2）,（4），由平角的定义
可判断（3），逐一进行解答即可．
【详解】解：∵纸条的两边互相平行，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠4+∠5= ，
故（1）（2）（4）正确；
∵三角板是直角三角板，
∴∠2+∠4= ，
故（3）正确；
综上所述，正确的个数是4． 故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．
5．A
【分析】先根据平行线的性质可得 ， ，从而可得 ，再根据角平分线的定
义可得 ，代入 即可得出答案．
【详解】解：如图， ，
①， ，
，
平分 ，
，
代入①得： ，
，故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
6．C
【分析】根据两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，及直角三角板的特殊性解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故（1）错误，（2）（3）正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故（4）正确；
综上分析可知，正确的结论有3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关
键．
7．C
【分析】根据角平分线的定义求出 ，根据平行线的性质得到 ．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质得到 ．
8．B
【分析】根据垂线的性质可得 ，进而得出 与 互余，再根据平行线的性质可得答案．
【详解】解： 于点C，
，，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
9．C
【分析】如图，过点C作CM ，则 ，根据平行线的性质可得∠1＋∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM，
再根据三角板的特点求解即可．
【详解】解：如图，过点C作CM ，
∵ ，
∴ ，
∴∠1＋∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM，
∵∠2＝180°−45°＝135°，
∴∠ACM＝135°，
∴∠ECM＝135°−30°＝105°，
∴∠1＝180°−105°＝75°，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等”及作平行线
是解题的关键．
10．C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补判断即可．
【详解】解：因为两次拐弯后，与原来的方向恰好相反，
所以两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．11．C
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【详解】解：A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转23°，
∴∠ABE=40°+23°=63°≠∠DEM，
∴AC与DF不平行，
故A不符合题意；
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转103°，
∴∠CBE=180°-（103°-40°）=117°≠∠DEM，
∴AC与DF不平行，
故B不符合题意；
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转37°，
∴∠DEM=77°-37°=40°=∠ABE，
∴AC//DF，
故C符合题意；
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转158°，
∴∠DEM=360°-77°-158°=125°≠∠CBE，
∴AC与DF不平行，
故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
12．C
【分析】设 灯旋转的时间为 秒，求出 的取值范围为 ，再分① ，② 和③ 三
种情况，先分别求出 和 的度数，再根据平行线的性质可得 ，由此建立方程，解方
程即可得．
【详解】解：设 灯旋转的时间为 秒，
灯光束第一次到达 所需时间为 秒， 灯光束第一次到达 所需时间为 秒，
灯先转动2秒， 灯才开始转动，
，即 ，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当 时， ，，
，
，
，即 ，
解得 ，符合题设；
②如图，当 时， ，
，
，
，
，即 ，
解得 符合题设；
③如图，当 时， ，
，
同理可得： ，即 ，
解得 ，不符题设，舍去；
综上， 灯旋转的时间为1秒或 秒，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间 的取值范围，并据此分三
种情况讨论是解题关键．
13．C
【分析】分①直线 在直线 、 的之间和②直线 在直线 、 的之间两种情况，根据平行线间的距离求解即可
得．
【详解】解：①如图，当直线 在直线 、 的中间时，与 的距离为 ， 与 的距离为 ，
与 的距离为 ；
②如图，当直线 在直线 、 的中间时，
与 的距离为 ， 与 的距离为 ，
与 的距离为 ；
综上， 与 的距离为 或 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线间的距离，正确分两种情况讨论是解题关键．
14．C
【分析】根据两点间的距离和平行线间的距离的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、A与B之间的距离就是线段AB的长度，不符合题意，故本项错误；
B、AB与CD之间的距离就是线段HI的长度，不符合题意，故本项错误；
C、 与 之间的距离就是线段CE的长度，符合题意，故本项正确；
D、 与 之间的距离就是线段CE或GF的长度，不符合题意，故本项错误．
故答案为：C．【点睛】本题考查了两点间的距离和平行线间的距离的性质，解决本题的关键是掌握以上基本的性质．
15．B
【分析】依据直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，即可得到AB长为直线a和b之间的距
离，BC长为直线b和c之间的距离，AC长为直线a和c之间的距离，再根据AB=2，AC=6，即可得出直线b与直
线c之间的距离为4．
【详解】解：∵直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，
∴AB长为直线a和b之间的距离，BC长为直线b和c之间的距离，AC长为直线a和c之间的距离，
又∵AB=2，AC=6，
∴BC=6 2=4，
即直线b与直线c之间的距离为4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫
两条平行线之间的距离．
16．C
【分析】根据补角的定义，平行线的判定，垂线的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 直角的补角是直角，是真命题，故该选项不符合题意；
B. 内错角相等，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意；
C. 同一平面内过直线上的一点有且只有一条垂线，原命题是假命题，符合题意；
D. 垂线段最短，是真命题，故该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了判断真假命题，掌握补角的定义，平行线的判定，垂线的性质是解题的关键．
17．A
【分析】根据互逆命题的定义即把一个命题的题设和结论互换和性质定理进行解答，即可求出答案．
【详解】解：如果 ，那么 ，所以原命题是真命题；
命题“如果 ，那么 ”的逆命题是如果 ，那么 ，不一定成立，是假命题；
故原命题是真命题，逆命题是假命题
故选：A．
【点睛】此题考查了互逆命题，掌握互逆命题的定义即两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，
而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆
命题是解题的关键．
18．D
【分析】首先根据已知，采取筛选法进行一个一个筛选，就能确定答案．
【详解】解：由（4）和（8）得出M和N住在第四层．由（2）得K只能在2或3层，又由（7）得出L在3层且只有一户，K在二层只有一户，P则在一层．又由（5）和（6）知道O只能在一层，Q在五层．这时只有五层还有
一套公寓，所以J只能住在五层．
故选：D．
【点睛】用到的知识点是推理和论证，能根据已知，采取筛选法进行一个一个筛选是解此题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的定义推出 ，得到 ，根据垂直的
定义求出 ，由此得到 ，即可推出结论；
（2）根据平行线的性质推出 ，由 ，得到
，求出 即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，正确掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）求出 根据平行线的判定得出即可；（2）根据角平分线的定义得出 ，求出 ，根据平行线的判定得出即可；
（3）根据平行线的性质得出 ，根据角平分线的定义得出 ，
，求出 ，根据三角形的内角和定理得出即可．
【详解】（1）∵ ，
，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用定理进
行推理是解此题的关键．
21．(1)
(2) ，见解析
(3)
【分析】（1）过点B作 ，利用平行线的性质即可求得结论；
（2）过点B作 ，利用平行线的性质即可求得结论；
（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．
【详解】（1）解：过点B作 ，如图，∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
故答案为： ；
（2）解： 和 满足： ．理由：
过点B作 ，如图，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ；
（3）解：设 与 交于点F，如图，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
由（2）知： ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
22．A
【分析】由平行线的性质可求得 ，再由平角的定义可得 的度数．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
23．D
【分析】根据平行线的性质逐项判断即可
【详解】A. 的两边不平行， ，不符合题意；
B. ， ，而 ， ，不符合题意；
C. 与 是对顶角， ，不符合题意；
D. ， ，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了根据平行线的性质探究角的关系，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键
24．B
【分析】根据平行线的性质可求 的度数，然后根据角平分线定义求解即可．【详解】解： ， ，
，
是 的平分线，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质求出 的度数是解题的关键．
25．D
【分析】利用平行线的性质，角平分线的性质计算．
【详解】解： ，
，
，
平分 ，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．
26．D
【分析】由 ，根据据两直线平行，内错角相等，可求出 的度数，从而由 可求
得出 的度数，再由 ，根据两直线平行，同旁内角互补，求得 的度数即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
27．C
【分析】先根据对顶角相等可得 ，再根据平行线的判定可得 ，然后根据平行线的性质即可得．
【详解】解：如图， ，
，
，
，
，，
故选：C．
【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
28．B
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行三种判定方法进
行判定即可．
【详解】解：∵∠ ，∴ ，故①不合题意；
∵ ，∴ ，故②符合题意；
∵ ，∴ ，故③不合题意；
∵ ， ，
∴ ，∴ ，故④符合题意．
故本题选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握三种判定方法是解题关键．
29．证明见解析
【分析】先证明 ，再证明 ，得到 ，利用等式的性质即可求解．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是牢记平行线的判定与性质．
30． ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； ；同位角相等，两直线平行；两直线平行，
同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【分析】按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可．
【详解】解：∵ （已知）
∴ （内错角相等，两直线平行）
∴ （两直线平行，内错角相等）
∵ （已知）∴ （等量代换）
∴ （同位角相等，两直线平行）
∴ （两直线平行，同旁内角互补）
即
∵ （已知）
∴ （等量代换）
即
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为： ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； ；同位角相等，两直线平行；两直线
平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答此题的关键．
31．D
【分析】由 ， 可得 ，由 得 ，进而可求出
的度数．
【详解】解：如下图所示，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
32．A
【分析】求出 ，根据平行线的判定得出 ，根据平行线的性质推出 ，利用补角的定义即可得出答案．
【详解】解：如下图，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义以及邻补角等知识，能灵活运用平行线的性质和
判定进行推理是解此题的关键．
33．B
【分析】首先过点C作 ，过点D作 ，由 ，即可得 ，然后由两
直线平行，内错角相等，即可求得答案．
【详解】解：过点C作 ，过点D作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
由①②得： ．
即故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解题的
关键．
34．D
【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补）即可得到结论．
【详解】∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题关键．
35．C
【分析】分别过 、 作 ， ，再根据平行线的性质可以得到解答．
【详解】解：分别过 、 作 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，①正确；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，②正确，
与上同理， ，
∴ ，
∴ ，③正确，
由题意，④不一定正确，∴①②③正确，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键．
36． 或 或 ．
【分析】根据两直线平行的判定定理判断．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】此题考查了直线的判定定理，解题的关键是熟悉两直线平行的判定定理．
37． ## 度
【分析】根据平角的定义得出 ，继而根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
38．
【分析】过点 作 ，根据平行线的性质与已知条件得出 ， ，根据 ，即可
得出结论．
【详解】解：如图，过点 作 ，则 ，， ，
，
,
即
∴ ；即 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
39．58°##58度
【分析】依据平行线的性质，以及角平分线的定义，即可得到 ，进而
得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴
∵ 平分
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平
行，内错角相等．
40． ##70度
【分析】先根据 判定 ，然后根据平行线的性质求出 即可．
【详解】解：如图，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．
41．
【分析】根据 得出 ，再根据角平分线定义计算出 ，利用
即可．
【详解】解： 过点 作 平分 ，
，
， ， ，
， ，
，
，
在 中， ，
，
．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，关键是理解平行线性质，灵活运用角的和差关系计
算．
42．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由已知条件得出 ，根据同旁内角互补两直线平行，即可得证；（2）根据已知条件得出 ，根据角平分线的定义得出 ，根
据平行线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
43．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定 ，得到 ，等量代换得出
，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；
（2）由 ， 得出 ，再根据平行线的性质即可求出 ，再根
据角平分线的定义即可得解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 于E，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础．
44．(1)180°
(2)见解析
【分析】（1）根据四边形的内角和解答即可；
（2）根据四边形的内角和得出 ，由角平分线的定义得出
，过C点作 ，由平行线的性质与判定即可得出结论．
【详解】（1）解：在四边形 中
由 ， ，
得 ，
故答案为：180°；
（2）证明：在四边形 中
∵ ， ，
得 ，
∵ ，
，
∴
，
∵ 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
过C点作 ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
45．（1）见解析；（2） ，理由见解析；（3） ．
【分析】（1）根据平行线性质得出 ， ，即可得出答案；
（2）根据平行线性质求出 ， ，即可得出答案；
（3）由 ， ，推出 ，即可求
解．
【详解】（1）证明：如图，过E点作 ，
则 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（2）解： ，
理由：如图，过E点作 ，
则 ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（3）解：∵ ， 分别平分 与 ，
∴ ，
∴ ，
由（1），可得
， ，
∴ ．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
46．(1)
(2)
(3)
(4) 或
【分析】（1）先求解 ， ， ，再求解
，再利用角的和差关系可得答案；
（2）证明 ，结合 ，从而可得答案；
（3）证明 ，可得 ；
（4）分两种情况讨论：如图，当 在 的外部时，如图，当 在 的内部时，再求解
，再利用角的和差可得答案．
【详解】（1）解：∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．（2）如图，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）如图，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（4）如图，当 在 的外部时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
如图，当 在 的内部时，
同理可得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是垂直的定义，角平分线的定义，平行线的性质，角的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的关键．
47．(1) ；
(2)见解析；
(3)画图见解析， 或 ．
【分析】（1）由两直线平行内错角相等可得 ，再根据角平分线的定义得 ，利用角
的和差即可推出数量关系；
（2）由平行得到 ，再由 结合 ，
可列出 ，求得 ，从而得到 ，此题得证；
（3）设 ，如图3根据题意得 ， ，由 列方程求解即可；如
图4，结合题意得 ， ，根据 列方程求解即可．
【详解】（1）解： ．
理由：如图1， 平分 ， ，
，
故答案为： ．
（2）证明：如图2，∵ ，
平分
，∵ 与 都相交于直线 上的A点，并且在同一平面内，
，
∴
（3）所画图形如图3、图4所示，
设 ，
在图3中，∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
解得： ，
；
在图4中，∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，解得： ，
；
综上所述， 的度数为 或 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义综合题；熟练和灵活运用其性质建立好等量关系是解决本题
的关键．
