文档内容
人教版初中数学七年级下册
6.1.3 平方根 教学设计
一、教学目标：
1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系;
2.会求非负数的平方根．
二、教学重、难点：
重点：理解平方根概念，会用符号表示一个正数的平方根.
难点：理解平方根的意义.
三、教学过程：
复习回顾
1.什么叫一个数的算术平方根？怎样表示？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
√a
a的算术平方根表示为: (a≥0)，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根.
2.25的算术平方根是_____，13的算术平方根是_____.
知识精讲
思考：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？由于(±3)2=9，所以这个数是3或-3.
3是前面学习过的9的算术平方根，-3与9的算术平方根有什么关系？(与算术平方根互为相
反数.)
归纳平方根的概念
填表：
2 4
如果我们把±1，±4，±6，±7，±5 分别叫做1，16，36，49，25 的平方根，你能类
比算术平方根的概念，给出平方根的概念吗？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，
如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
例如，3和-3是9的平方根，简记为±3是9的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
观察下图，你发现了什么？
平方与开平方互为逆运算
典例解析
例1.求下列各数的平方根：
9
(1) 100； (2) 16 ； (3) 0.25.
解：(1)因为(±10)2=100，所以100的平方根是±10；
( 3) 2 9 9 3
± ±
(2)因为 4 =16 ，所以16 的平方根是 4；
(3)因为(±0.5)2=0.25，所以0.25的平方根是±0.5.
√ 9 3
± =±
±√100=±10 16 4 ±√0.25=±0.5
即(1) ； (2) ； (3) .
【总结提升】数的平方根的特征：
正数的平方根有什么特点？(正数有两个平方根，它们互为相反数)
0的平方根是多少？(0的平方根是0)
负数有平方根吗？(负数没有平方根)
【针对练习】判断下列说法是否正确，并说明理由．
（1）49的平方根是7； ……………………( )
（2）2是4的平方根； ……………………( )
（3）-5是25的平方根； ……………………( )
（4）64的平方根是±8；……………………( )
（5）-16的平方根是-4．……………………( )
知识精讲
平方根的表示我们已经学过一个正数的算术平方根的表示方法，你能表示一个正数的平方根吗？
√a √a
正数a的算术平方根可以表示为 ，正数a的负的平方根，可以表示为- .
√a
正数a的平方根可以用± 表示，读作“正、负根号a”．
√9 √25
例如，± =±3，± =±5.
典例解析
例2. 求下列各式的值：
√49
(1) √36 ； (2) - √0.81 ； (3) ± 9 .
√36 √0.81
解：(1)因为62=36，所以 =6；(2)因为0.92=0.81，所以- =-0.9；
( 7) 2 49 √49 7
±
(3)因为 3 = 9 ，所以± 9 =±3 .
【针对练习】计算下列各式的值：
√64
√9 √0.49 81
(1) (2) - (3) ±
√64 8
解：(1) √9 =3；(2) - √0.49 =-0.7；(3) ± 81 =±9.
例3.已知一个正数m的平方根为2n+1和4−3n．
(1)求m的值；
(2) ， 的平方根是多少？
|a−1|+√b+(c−n) 2=0 a+b+c
（1）解：∵正数m的平方根互为相反数，
∴2n+1+4−3n=0，
解得：n=5，
∴2n+1=11，
∴m=112=121；（2）由（1）得：n=5，
∵ ，
|a−1|+√b+(c−n) 2=0
∴a−1=0，b=0，c−n=0 ，
∴a=1，b=0，c=n=5，
∴a+b+c=1+0+5=6，
∴a+b+c的平方根是±√6．
【针对练习】一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．
解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，
则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，
解得a＝1.
所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
例4.已知2a−1的算术平方根是3，b−1的平方根是±4，c是√13的整数部分，求a+2b−c的平
方根．
解：∵2a−1的算术平方根是3；b−1的平方根是±4，
∴2a−1=9，b−1=16，
∴a=5，b=17．
∵c是√13的整数部分，3<√13<4，
∴c=3．
∴a+2b−c=5+17×2−3=36．
∵36的平方根是±6．
∴a+2b−c的平方根为±6．
【总结提升】平方根与算术平方根的联系与区别：课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.下列各数中没有平方根的数是( )
A.-(-2)3 B.(-3)2 C.0 D.-(a2+1)
2.下列式子中，正确的是( )
A.±√4=2 B.√(-2)2=-2 C.√4=±2 D.√22=2
3.|-9|的平方根是( )
A.81 B.±3 C.3 D.-3
4.如果a(a>0)的平方根是±m,那么( )
A.a2=±m B.a=±m2 C.√a=±m D.±√a=±m.
5.若正方形的边长是a,面积为S，那么( )
A.S的平方根是a B.a是S的算术平方根
C.a=±√S D.S=√a
6.计算: (1)√121=______; (2)-√1.69=_______;
(3)-√(-0.3)2=_______; (4)±√324=_______.
7.一个正数的平方等于36，则这个正数是______.
8.一个负数的平方等于64，则这个负数是______.
9.一个数的平方等于2.56，则这个数是______.
10.若√a的平方根为±3,则a=_____.
11.若0.12是m的一个平方根,那么m的另一平方根是______，m=________.
12.平方根和算术平方根都等于它本身的数是_____.
13.已知一个正数的平方根是2x+3和x-9，则这个数是______.
14．求下列各数的平方根.
16 7 ( 3) 2
(1)49； (2) ； (3)2 ； (4)0.36； (5) − .
25 9 8
15．求下列各式中的x．
(1) ， (2) ．
9x2−25=0 4(x−2) 2−9=0
16.如图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处分别剪掉一个面积为25cm2的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体积是180cm3，求原正方形铁皮的边长．
【参考答案】
1. D
2. D
3. B
4. D
5. B
6. (1)11;(2)-1.3;(3)-0.3;(4)±18.
7. 6
8. -8
9. ±1.6
10. 81
11. -0.12,0.0144
12. 0
13. 49
14. 解：（1） ，∴49的平方根是±7；
∵(±7) 2=49
( 4) 2 16 16 4
（2）∵ ± = ，∴ 的平方根是± ；
5 25 25 5
7 25 ( 5) 2 25 7 5
（3）∵2 = ， ± = ，∴2 的平方根是± ；
9 9 3 9 9 3
（4）∵ ，∴0.36的平方根是±0.6；
(±0.6) 2=0.36
( 3) 2 9 (3) 2 ( 3) 2 3
（5）∵ − = = ，∴ − 的平方根是± ．
8 64 8 8 8
15.（1）解：9x2−25=0移项得：9x2=25，
25
∴x2= ，
9
5
∴x=± ，
3
5 5
∴x = ,x =−
1 3 2 3
（2）
4(x−2) 2−9=0
，
4(x−2) 2=9
9
∴ (x−2) 2=
4
3
∴x−2=±
2
7 1
∴x = ,x = ．
1 2 2 2
16. 解：∵从四个顶点处分别剪掉一个面积为25 ^2的正方形，
∴剪掉的正方形边长为5 ，
𝑐𝑚
设原来正方形的边长为𝑥 𝑐𝑚，
𝑐𝑚
由题意可得：5〖( −10)〗^2=180，
∴〖( −10)〗^2=36，
𝑥
−10=±6，
𝑥
解得：𝑥=16或𝑥=4（不合题意，舍去），
𝑥
∴原来正方形的边长为16 ．
四、教学反思：
𝑐𝑚
本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自
己动手操作，为学生提供有趣且富有数学含义的问题，让学生进行充分的探索和交流. 如把
正方形的面积不断地扩大为原来的2倍、3倍、n倍，引导学生进行交流、讨论与探索，从中
感受学习平方根的必要性.
