文档内容
6.2.2 线段的比较与运算
【教学目标】
1.会用尺规画一条线段等于已知线段,会比较两条线段的长短.
2.理解线段等分点的意义.
3.能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.
4.体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化.
5.了解两点间距离的意义,理解“两点之间,线段最短”的线段性质,并学会运用.
6.能在现实情境中,进行抽象的数学思考,提高抽象概括能力.
7.经历画图的数学活动过程,提高学生的动手操作与实践能力.
【重点难点】
重点:作一条线段等于已知线段,理解线段的和、差,掌握线段中点的概念,理解
“两点之间,线段最短”的线段性质.
难点:利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差,利用线段的和、差、倍、
分求线段的长度,“两点之间,线段最短”的实际运用.
【教学过程】
一、创设情境你们平时是如何比较两个同学的身高的?你能从比身高的方法中得到启示来
比较两条线段的长短吗?讨论后派一位代表上来说说你们的想法.
二、探究归纳
探究点1:线段长短的比较
比较线段AB,CD的长短.
(1)度量法:分别测量线段AB,CD的长度,再进行比较:
AB= ;BC= , > ,所以 > .
(2)叠合法:将点A与点C重合,再进行比较:
①若点A与点C重合,点B落在C,D之间,那么 AB CD.
②若点A与点C重合,点B与点D ,那么 AB = CD.
③若点A与点C重合,点B落在CD的延长线上,那么AB CD.
要点归纳:尺规作图:作一条线段(AB)等于已知线段(a)的作法:
1.画射线AC;2.在射线AC上截取AB=a.
问题: 若要比较两个同学的身高,有哪些办法?你能从比身高的方法中得到启示
来比较两条线段的长短吗?
【针对性训练】教材P166练习T1
探究点2:线段的和、差、倍、分
【典例评析】教材P165【例1】
观察与思考:
在一张纸上画一条线段,折叠纸片,使线段的端点重合,折痕与线段的交点处于
线段的什么位置?
要点归纳:
1.如图(1),点C落在线段AB的延长线(即以A为端点,方向为A到B的射线)上,设
AB=a ,BC=b, 则线段AC就是线段a与线段b的和,记做AC =a+b;
2.如图(2),线段AD就是线段a与线段b的差,记做AD=a-b3.如图,点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 BM,点 M 叫作线段 AB
的中点.
几何语言:因为M是线段AB的中点
所以 AM = MB = AB,
或AB= AM = MB
【针对性训练】教材P166练习T2、3
探究点3:有关线段的基本事实
议一议:
如图:从A地到B地有四条道路,除它们外能否再修一条从 A地到B地的最短路?
如果能,请你联系以前所学的知识,在图上画出最短路线.
要点归纳:1.两点的所有连线中,线段最短.简称:两点之间,线段最短.
2.连接两点间的线段的长度,叫作这两点的距离.
应用 如图,把弯曲的河道改直,能够缩短航程,这样做的根据是 ( )A.两点之间,直线最短
B.两点确定一条线段
C.两点确定一条直线
D.两点之间,线段最短
【解析】选D.把弯曲的河道改直缩短航程的根据是:两点之间,线段最短.
方法总结:本题考查了线段的性质,熟记两点之间线段最短是解题的关键.
【典例评析】【类型一】 比较线段的长短
例 1 为比较两条线段 AB 与 CD 的长短,李明将点 A 与点 C 重合,使两条线段在
一条直线上,点B在CD的延长线上,则( )
A.ABCD
C.AB=CD D.以上都有可能
【解析】选B.由点A与点C重合使两条线段在一条直线上,点B在CD的延长线
上,得AB>CD.
方法总结:比较线段长短时,叠合法是一种较为常用的方法.
【类型二】根据线段的中点求线段的长
例 2 如图,点 C 是线段 AB 上一点,点 M 是 AC 的中点,点 N 是 BC 的中点,如 MC
比NC长2 cm,AC比BC长 ( )A.2 cm B.4 cm C.1 cm D.6 cm
【解析】选 B.点 M 是 AC 的中点,点 N 是 BC 的中点,所以 AC=2MC,BC=2NC,所
以AC-BC=(MC-NC)×2=4 cm,即AC比BC长4 cm.
方法总结:根据线段的中点表示出线段的长,再根据线段的和、差求未知线段的
长度.
【类型三】已知线段的比求线段的长
例 3 如图,B,C 两点把线段 AD 分成 2∶3∶4 的三部分,点 E 是线段 AD 的中点,
EC=2 cm,求:
(1)AD的长.
(2)AB∶BE.
【解析】(1)设AB=2x,则BC=3x,CD=4x,
由线段的和差,得AD=AB+BC+CD=9x.
1 9
由E为AD的中点,得ED= AD= x.
2 2
由线段的和差得
9 x
CE=DE-CD= x-4x= =2.
2 2解得x=4.所以AD=9x=36(cm).
(2)AB=2x=8(cm),BC=3x=12(cm).
由线段的和差,得BE=BC-CE=12-2=10(cm).
所以AB∶BE=8∶10=4∶5.
方法总结:在遇到线段之间比的问题时,往往设出未知数,列方程解答.
【类型四】当图形不确定时求线段的长
例 4 如果线段 AB=6,点 C 在直线 AB 上,BC=4,D 是 AC 的中点,那么 A,D 两点间
的距离是( )
A.5 B.2.5 C.5或2.5 D.5或1
【解析】选D.本题有两种情形:
(1)当点C在线段AB上时,如图:
AC=AB-BC,又因为AB=6,BC=4,所以AC=6-4=2,D是AC的中点,所以AD=1;
(2)当点C在线段AB的延长线上时,如图:
AC=AB+BC,又因为 AB=6,BC=4,所以 AC=6+4=10,D 是 AC 的中点,所以 AD=5.故
选D.方法总结:解答本题关键是正确画图,本题渗透了分类讨论的思想,体现了思维的
严密性,在今后解决类似的问题时,要防止漏解.
三、检测反馈
1.已知点 A,B,C 都是直线 l 上的点,且 AB=5 cm,BC=3 cm,那么点 A 与点 C 之间的
距离是 ( )
A.8cm B.2cm
C.8cm或2cm D.4cm
2.如图所示,线段 AB 的长为 8 cm,点C为线段 AB 上任意一点,若M为线段 AC的
中点,N为线段CB的中点,则线段MN的长是 .
3.下列说法中错误的是 ( )
A.A,B两点之间的距离为3 cm
B.A,B两点之间的距离为线段AB的长度
C.线段AB的中点C到A,B两点的距离相等
D.A,B两点之间的距离是线段AB4.如图,C是线段AB的中点,D是CB上一点,下列说法中错误的是 ( )
1
A.CD=AC-BDB.CD= BC
2
1
C.CD= AB-BD D.CD=AD-BC
2
5.如图,李华的家在 A 处,书店在 B 处,星期日李华到书店去买书,他想尽快地赶到
书店,请你帮助他选择一条最近的路线 ( )
A.A→C→D→B
B.A→C→F→B
C.A→C→E→F→B
D.A→C→M→B
6.已知线段AB=10,直线AB上有一点C,且BC=4,M是线段AC的中点,则AM的长
为 .
四、本课小结
1.线段的比较与性质
(1)比较线段:度量法和叠合法.(2)两点之间线段最短.
2.线段长度的计算
(1)中点:把线段AB分成两条相等线段的点.
(2)两点间的距离:两点间线段的长度.
五、布置作业
基础:P167T5、6
综合:P168T7、8、9
六、板书设计
七、教学反思
1.本节课通过比较两个人的高矮这一生活中的实例让学生进行思考,从而引
出课题,极大地激发了学生的学习兴趣;并通过动手操作,亲身体验用叠合法比较线段的长短.教师要尝试让学生自主学习,优化课堂教学中的反馈与评价.通过评
价,激发学生的求知欲,坚定学生学习的自信心.
2. 通过引导学生主动参与学习过程,探究出等分线段及线段性质,从中培养学
生动手和合作交流的能力,解决生活中的数学问题,是为了进一步巩固两点之间
的距离的意义,渗透数形结合思想解决线段长度问题,渗透分类讨论思想,训练学
生思维严谨性.
