文档内容
人教版初中数学七年级下册
6.2 立方根 教学设计
一、教学目标：
1.了解立方根的概念，会用立方运算求一个数的立方根；
2.了解立方根的性质，并学会用计算器计算一个数的立方根或立方根的近似值．
二、教学重、难点：
重点：立方根的概念与性质.
难点：会用开立方运算求一个数的立方根.
三、教学过程：
问题引入
问题：制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？
设这种包装箱的棱长为xm，则x3=27
因为33=27，所以x=3.
因此这种包装箱的棱长为3m.
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根. 这就是
说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立
方也互为逆运算.
知识精讲
探究：据立方根的意义填空.你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？
因为23=8，所以8的立方根是( )；
因为( )3=0.064，所以0.064的立方根是( )；
因为( )3=0，所以0的立方根是( )；
因为( )3=-8，所以-8的立方根是( )；8 8
3
( ) =− −
因为 27 ，所以 27 的立方根是( ).
正数的立方根是______；负数的立方根是______；0的立方根是______.
3
类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“√a”表示，读作“三次根号a”，其中a
是被开方数，3是根指数.
3 3 3 3 3
例如，√8表示8的立方根，√8=2； √−8表示-8的立方根，√−8=-2.√a中的根指数3
不能省略.
注：算术平方根的符号 √a ，实际上省略了√ 2 a中的根指数2.因此， √a 也可读作“二次根
号a”.
你能说说数的平方根与数的立方根有什么不同吗？
【总结提升】平方根与立方根的区别和联系：
探究：
3 3 3 3
因为√−8=___，-√8=___，所以√−8___-√8；
因为√ 3 −27 =___，-√ 3 27 =___，所以√ 3 −27 ___-√ 3 27 .
3
一般地，√−a=_____.
典例解析例1.列各式的值：
√3 27
−
(1) √ 3 64 ； (2) √ 3 −125 ； (3) 64 .
√3 27 3
解：(1) √ 3 64 =4； (2) √ 3 −125 =-5；(3) − 64 = − 4.
【针对练习】求下列各式的值：
√3 64
(1) √ 31000 ；(2) √ 3 −0.001 ；(3) √ 3 −1；(4) 27 .
√3 64 4
解：(1) √ 31000 =10； (2) √ 3 −0.001 =-0.1； (3) √ 3 −1=-1； (4) 27 =3 .
实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数.例如√ 3 2，√ 3 3等都是无限不循环小数.我
们可以用有理数近似地表示它们.
3
√
一些计算器设有 健，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值).
例如，用计算器求√ 31845 ，可以按照下面的步骤进行：依次按键 √ 3 1845 =，显示：
12.2649408147445.这样就得到√
31845
的近似值12.2649408147445.
有些计算器需要用第二功能键求一个数的立方根.例如用这种计算器求√
31845
，可以依次
3
√
按键2ndF 1845 =，显示：12.2649408147445.
【针对练习】用计算器求下列各式的值：
(1) √
31728
=____； (2) √
315625
=____； (3) ±√
32197
=____.
知识精讲
探究：计算器计算…，√ 3 0.000216 =_____，√ 3 0.216 =____，√ 3 216 =____，√ 3216000 =____，…，你能发现什么规律？
规律：______________________________________________________.
用计算器计算√ 3100 ≈____，(精确到0.001)，并利用你发现的规律求√ 3 0.1≈_______，
√ 3 0.0001 ≈_________，√ 3100000 ≈______.
典例解析
例2.比较下列各组数的大小.
（1） 与2.5; （2） 与 .
解：（1）因为2.53=15.625，所以 < ，所以 < 2.5.
(2)因为 ，所以 < ， 所以 < .
【针对练习】
1.比较3，4， 的大小.
解：∵ 33=27，43=64，∴ ＜ ＜ ，即 3＜ ＜4.
2.已知 （n为正整数），则2n的立方根为______.
例3.求满足下列条件的x的值
(1) ； (2) .
2(x−1) 3+16=0 64(x−2) 3−1=0
解:(1) ，
2(x−1) 3+16=0
，
(x−1) 3=−8
开方得：x−1=−2，
x=−1．1
解：(2)(x−2) 3= ，
64
1
x−2= ，
4
9
解得x= ．
4
【针对练习】求满足下列条件的x的值
1
(1) 25(x−1) 2=49； (2) (x−1) 3=4.
2
49
（1）解：(x−1) 2= ，
25
7
x−1=± ，
5
12 2
解得x= 或x=− ；
5 5
（2）解： ，
(x−1) 3=8
开立方，得：x−1＝2，
解得：x＝3．
例4.已知a2=16,|b|=9,√3 c=−2，且ab<0，bc>0，求a−b+c的值．
解：∵a2=16,|b|=9,√3 c=−2，
∴a=±4，b=±9，c=−8．
∵ab<0，bc>0，
∴b与c同号，a与b、c异号．
∴a=4，b=−9，c=−8
∴a−b+c=4−(−9)+(−8)=5．
例5.对于结论：当a+b=0时．a3+b3=0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根．
由此得出结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
(1)举一个具体的例子进行验证；
(2)若√37−y和√32y−5互为相反数，且x−3的平方根是它本身，求x+ y的立方根．
（1）解：举例：a3=8,b3=−8，
则 ，此吋 ，即8与 互为相反数，
√38+√3−8=2+(−2)=0 8+(−8)=0 −8所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立．
（2）解：∵√37−y和√32y−5互为相反数，
∴7−y与2y−5互为相反数，
∴7−y+2y−5=0，
解得y=−2，
∵x−3的平方根是它本身，
∴x−3=0，
解得x=3，
∴x+ y=3−2=1，
∴x+ y的立方根是1．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1．下列说法正确的是（ ）
A.9的算术平方根是±3 B.−8没有立方根
C.−8的立方根−2 D.8的立方根是±2
2．下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
−√3.6=−0.6 √3−5=−√35 √(−13) 2=−13 √36=±6
3．如果√32.37≈1.333，√323.7≈2.872，那么√323700约等于（ ）
A．28.72 B．287.2 C．13.33 D．133.3
4．若 ，则 的值为（ ）
(a−5) 2+|b3−27|=0 a−b
A．2 B．-2 C．5 D．8
5．一个长、宽，高分别为50cm、8cm、20cm的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成
的立方体铁块的棱长是（ ）
A．20cm B．200cm C．40cm D．√80cm
6．若实数a满足√a=a，则√3 a的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或±1
7．√49的算术平方根是______，√64的立方根是______．8．如果一个正数的两个平方根是2m−4与3m−1，那么这个正数的立方根是____________．
9．已知|a|=5，b2=4，c3=8，且abc<0，则a+b−c=________．
10．观察：√0.06137=0.2477， √6.137=2.477， √36.137=1.8308，√36137=18.308；填空：①
√613.7=_________，②若 √3 x=0.18308，则x=_____________．
11.已知a−5的平方根是±4，2b−1的立方是−27，求a−4b的算术平方根．
12.王老师为班级图书角购买了四本同一型号的字典，这种字典的长与宽相等．班长将这 4本
字典放入一个容积为512cm3的正方体礼盒里，恰好填满．求这一本字典的厚度．
13.已知A=m−√2n−m+3是n−m+3的算术平方根，B=m−2n+ √3 m+2n是m+2n的立方根，求B−A
的平方根．
14．【发现】
①
√38+√3−8=2+(−2)=0
②
√31+√3−1=1+(−1)=0
③
√31000+√3−1000=10+(−10)=0
④√ 3 1 + √ 3− 1 = 1 + ( − 1) =0 ……；
64 64 4 4
(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a，b，若√3 a+√3 b=0，则a+b=0；
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
(2)若 与 的值互为相反数，且 ，求a的值．
√3 3a2−8 √36−2b 10a2−6b=16
【参考答案】
1. C
2. B
3. A
4. A
5. C
6. A7. √7，2
8. 1或5
9. √3 4
10.24.77,0.006137
11.解：∵a−5的平方根是±4，
，
∴a−5=(±4) 2=16
解得a=21，
∵2b−1的立方是−27，
∴2b−1=√3−27=−3，
解得b=−1，
∴a−4b=21−4×(−1)=25，
∴a−4b的算术平方根是5．
12.解：∵正方体礼盒的容积为512cm3，
∴正方体礼盒的边长为√3512=8(cm)，
∴一本字典的厚度为8÷4=2(cm)，
答：一本字典的厚度为2cm．
13.解：由题意得：m−2=2，m−2n+3=3，
解得：m=4，n=2，
则A=√2−4+3=1，B=√3 4+2×2=2，
∴B−A=2−1=1，
则B−A的平方根为：±1．
14.解：（1） ，符合上述规律，
√327+√3−27=3+(−3)=0
故答案为： ；
√327+√3−27=3+(−3)=0
（2）∵ 与 的值互为相反数，
√3 3a2−8 √36−2b
∴ + =0，
√3 3a2−8 √36−2b
∴3a2−8+6−2b=0，3a2−2
解得b= ，
2
代入10a2−6b=16中，
解得，a2=10，
∴a=±√10．
四、教学反思：
本节课让学生应用类比法学习立方根的概念、性质和运算. 学生在以后的数学学习中，要注
意渗透类比的思维方式，让学生在学习新知识的同时巩固已学的知识，并通过新旧对比更好
地掌握知识.
