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备战2024年高考阶段性检测名校重组卷（新高考）
概率、随机变量及其分布列
本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．（2023·吉林·统考二模）对于事件A与事件B，下列说法错误的是（ ）
A．若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）=1
B．若事件A与事件B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）
C．若P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B互为对立事件
D．若P（AB）=P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立
【答案】C
【解析】对于A，事件A和事件B为对立事件，则A，B中必然有一个发生，
，正确；
对于B，根据独立事件的性质知 ，正确；
对于C，由 ，并不能得出A与B是对立事件，举例说有a，b，c，d4个小
球，
选中每个小球的概率是相同的，事件A表示选中a，b两球，则 ，事件B表示选
中b，c两球，则 ，
，但A，B不是对立事件，错误；、
对于D，由独立事件的性质知：正确；
故选：C.
2.（2023·广东深圳·统考二模）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之
积为偶数，则它们之和大于8的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为
，10种情况，
若这三个数之积为偶数有
，9种情况，
它们之和大于8共有 ，5种情况，
从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8
的概率为 .
故选:D.
3．（2023·山东烟台·统考二模）口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相
同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求随机变量 的分布列，再运用公式求
【详解】由题意， 可能取值为2，3
包含事件为取出的两个球为1，2
所以
包含事件为取出的两个球为1，3或2，3
所以
，
.
故选：A.4．（河北省唐山市2023届高三三模数学试题）假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其
中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品.现从两箱中随机挑选1箱，然后从该
箱中随机取1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件概率的计算公式可算出答案.
【详解】设事件 表示从第一箱中取一个零件，事件 表示取出的零件是次品，
则 ，
故选：D
5．（福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题）某地生产红茶已有多年，选
用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的
茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为 ，且 ，其
密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）
A． 的数据较 更集中
B．
C．甲种茶青每500克的红茶产量超过 的概率大于
D．
【答案】D
【分析】根据正态分布曲线的性质和特点求解.【详解】对于A，Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确；
对于B，因为c与 之间的与密度曲线围成的面积 与密度曲线围成的面积 ，
，正确；
对于C， ， 甲种茶青每500克超过 的概率 ，正确；
对于D，由B知： ，
错误；
故选：D.
6.（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外
科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口
罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩
的概率为（ ）
A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.77
【答案】D
【解析】由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，
20%，10%，
记事件 分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则
，且 两两互斥，
所以 ，
又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%，
记事件 为“选到绑带式口罩”，则所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为 .
故选：D.
7.（2023山东青岛一模）某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完
全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，
猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为
（ ）
A. 0.34 B. 0.37 C. 0.42 D. 0.43
【答案】C
【解析】设事件 表示“两道题全做对”，
若两个题目都有思路，则 ,
若两个题目中一个有思路一个没有思路，则 ，
故 ,
故选：C
8.（2023四川成都模拟） 年末,武汉岀现新型冠状病毒肺炎( )疫情,并快
速席卷我国其他地区,传播速度很快,因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒
株,所以目前没有特异治疗方法,防控难度很大,武汉市出现疫情最早,感染人员最多,防控压力
最大,武汉市从 月 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎
患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员,强化
网格化管理,不落一户、不漏一人,在排查期间,一户 口之家被确认为“与确诊患者的密切
接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳
性,则该家庭为“感染高危户”,设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为 且相
互独立,该家庭至少检测了 个人才能确定为“感染高危户”的概率为 ,当 时,
最大,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设事件 :检测 个人确定为“感染高危户”,事件 :检测 个人确定为“感染高危户”,∴ , ,即
,设 ,则
,∴
,当且仅当
即 时取等号,即 .
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·广东惠州·统考二模）下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．若随机变量 服从二项分布 ，则
B．若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
C．已知一组数据 的方差是3，则 的方差也是3
D．对具有线性相关关系的变量 ，其线性回归方程为 ，若样本点的中心为
，则实数 的值是4
【答案】AC
【解析】对于A，由于 ，则 ，故A正确；
对于B， ，故
，故B错误；
对于C， 的方差是3，则 的方差不变，故C正
确；
对于D， 回归方程必过样本中心点，则 ，解得 ，故D错误.故选：AC.
10．（2023·浙江台州·统考二模）已知 ,随机变量 的分布列为:
则( )
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据期望方差的相关公式 ，以及
判断 ,再举特例判断D即可.
【详解】因为 ,所以 错，
因为 ,所以 对，
因为
，
所以 ,所以 ,所以 对，
举特例来说明 错,取 ，
则 ，
，
，,所以 错.
故选:BC
11（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）立德中学举行“学习党代会，奋进新征
程”交流会，共有6位老师、4位学生进行发言．现用抽签的方式决定发言顺序，事件
表示“第k位发言的是学生”，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以A错误．
因为 ，所以B错误．
因为 ，所以C正确．
因为 ，所以D错误．
故选：C
12．（2023·广东湛江·统考二模）廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．
设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量 （单位：g）服从正态分布 ，且
， ．下列说法正确的是（ ）
A．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167 g的概率为0.7B．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167 g～168 g的概率为
0.05
C．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数的数学期望为480
D．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数的方差为
136.5
【答案】BCD
【解析】因为 ，所以 ，所以A错误．
因为 ，所以
，所以B正确．
，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于
163 g的个数 ．所以 ，所以C正确．
因为 ，所以 ，又因为 ，所
以 ，
则 ，
所以
，
若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数 ，
所以 ，所以D正确．
故选：BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.（2023·辽宁丹东·统考二模）已知 ， ， ，那么____________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
14.（2023山东烟台一模）某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产
品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽
取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购
该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品
零件，其中含2个二等品零件的包数占 ，则小张决定采购该企业产品的概率为______．
【答案】
【解析】根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占 ，则含1个二等
品零件的包数占 ，
在含1个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率
，
在含2个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率
，则小张决定采购该企业产品的概率 ；
故答案为： ．
15．（2023·山东青岛·统考二模）某市高三年级男生的身高 （单位： ）近似服从正态
分布 ，已知 ，若 .写出一个符合条件的
的值为__________.
【答案】 （ 中的任意一个数均可）
【分析】利用正态曲线的对称性即可求解.
【详解】因为 ，且 ,
则 ,且 ，
故若 ，则 .
故答案为: （ 中的任意一个数均可）.
16．（天津市2023届高三三模数学试题）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两
个盒子中，每个盒子中4个球．甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率为________；甲盒
子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出 个球进行交换，
记交换后甲盒子中的红球个数为 ， 的数学期望为 ，则 ________．
【答案】 ； 4.
【分析】根据超几何分布，即可求解甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率；当 时，X
的取值可能是2，3，4；当 时，X的取值可能是0，1，2，利用超几何分布分布求出对
应的概率，结合数学期望的公式分布计算即可求解.
【详解】由题可知，
甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率 ；当 时，X的取值可能是2，3，4，
且 ， ， ，
则 ．
当 时，X的取值可能是0，1，2，
且 ， ， ，
则 ．
故 ．
故答案为： ；4.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。
17．（2023·江苏·统考三模）综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用
多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率
直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A，
B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参
加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有 的
概率提升为A等级：原获C等级的学生有 的概率提升为B等级：原获D等级的学生有
的概率提升为C等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．
(1)若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的
人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；(2)从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C等级的
概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【详解】（1） 的所有可能取值为0，1，2，3，
， ，
， ，
∴ 的分布列如下：
0 1 2 3
P
．
（2）记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”，
．
18．（2023·山东淄博·统考二模）两个安全设备间由一组对接码进行“握手”连接，对接
码是一个由“1，2，3，4”4个数字组成的六位数，每个数字至少出现一次.
(1)求满足条件的对接码的个数；
(2)若对接密码中数字1出现的次数为 ，求 的分布列和数学期望.
【答案】(1)1560
(2)分布列见解析，
【分析】（1）分一个数字出现3次，另外三个数字出现1次和两个数字各出现2次，另外
两数字各出现1次讨论即可；
（2）首先得到 的取值为 ，分别写出其概率，利用均值公式即可得到答案.
【详解】（1）当对接码中一个数字出现3次，另外三个数字各出现1次时，种数为：，
当对接码中两个数字各出现2次，另外两个数字各出现1次时，
种数为： ，
所有满足条件的对接码的个数为1560.
（2）随机变量 的取值为 ，其分布列为：
，
，
，
故概率分布表为：
故 .
19．（2023·安徽黄山·统考三模）英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就
显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯
公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设 ， ，…，
是一组两两互斥的事件， ，且 ， ，则对任意的
事件 ， ，有 ， . 现
有三台车床加工同一型号的零件，第 台加工的次品率为 ，每加工一个零件耗时 分
钟，第 ， 台加工的次品率均为 ，每加工一个零件分别耗时 分钟和 分钟，加工
出来的零件混放在一起.已知第 ， ， 台车床加工的零件数分别占总数的 ， ，
.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时 （分钟）的分布列和数学期望.
【答案】(1)0.0525
(2)分布列见解析，期望为32（分钟）
【详解】（1）设 “任取一个零件为次品”， “零件为第 台车床加工”(
)，
则 ，且 两两互斥.
根据题意，
.
由全概率公式，得
.
（2）由题意知 ，则
，
同理得 ，
所以加工这个零件耗时 的分布列为：
3
32 30
5
（分钟）.
20．（2023·广东湛江·统考一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备
的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位： ），
经统计得到下面的频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数 和方差 ．（用每组的中点代表该组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布 ，用直方图的平均
数估计值 作为 的估计值 ，用直方图的标准差估计值s作为 估计值 ．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，
如果关键指标出现了 之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停
止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83
利用 和 判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ii）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在
之外的零件个数，求 及X的数学期望．
参考公式：直方图的方差 ，其中 为各区间的中点， 为各组的频率．
参考数据：若随机变量X服从正态分布 ，则 ，
， ， ， ．
【解析】（1）由频率分布直方图，得 ．
．
（2）（i）由（1）可知 ， ，
所以 ， ，
显然抽查中的零件指标 ，故需停止生产并检查设备．
（ii）抽测一个零件关键指标在 之内的概率为 ，
所以抽测一个零件关键指标在 之外的概率为 ，故 ，所以 ，
X的数学期望 ．
21．（2023·湖南岳阳·统考三模）某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，
在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为黑色．抽奖方式为：每名顾客
进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球
颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数 的分布列和数
学期望．
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数 的分布列
和数学期望．
(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理
由．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)分布列见解析；期望为
(3)答案见解析
【详解】（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为
，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数 服从二项分布，即 ，所以 的所有
可能取值为 ，则
，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2
所以 的数学期望 ．（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数 的所有可能取
值为 ，则
，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2
所以 的数学期望为 .
（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小，
即 ，
第（1）问中不中奖的概率比第 问小，即 ，
回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行
抽；
回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖．
22．（2023·黑龙江大庆·统考三模）天宫空间站是我国建成的国家级太空实验室，由天和
核心舱、问天实验舱和梦天实验舱组成，已经开启长期有人驻留模式，结合空间站的相关
知识，某职业学校的老师设计了以空间站为主题的编程训练，训练内容由“太空发射”、
“自定义漫游”、“全尺寸太阳能”、“空间运输”等10个相互独立的编程题目组成，训
练要求每个学生必须选择两个不同的题目进行编程练习，并且学生间的选择互不影响，老
师将班级学生分成四组，指定甲、乙、丙、丁为组长.
(1)求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择“太空发射”的概率；
(2)记X为这四个人中选择“太空发射”的人数，求X的分布列及数学期望；
(3)如果班级有n个学生参与编程训练（其中n是能被5整除的正整数），则这n个学生中
选择“太空发射”的人数最有可能是多少人？
【答案】(1) ；
(2)分布列见解析，数学期望为 ；(3)答案见解析.
【详解】（1）由题意可知，每个人不选择“太空发射”的概率为 ，
所以甲、乙、丙、丁这4个人都不选择“太空发射”的概率为
故甲、乙、丙、丁这4个人中至少有一人选择“太空发射”的概率
（2）由已知 的可能取值有 ，
因为每个人选择“太空发射”的概率为 ，且每个人是否选择“太空发射”相互独
立，
所以 服从二项分布： ，
所以 ，
即 ，
， ，
，
则 的概率分布列为：
0 1 2 3 4
所以 的数学期望 .
（3）设选择“太空发射”的人数最有可能为 人，
则 ，
，，即
即 ，也即
解得 ，
又因为 ，当 ， ，
则不等式为 ，
所以 ，
即当 被5整除时，选择“太空发射”的人数最有可能是 人
.
