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第十章 概率
知识点一：有限样本空间与随机事件
1．随机试验的特点
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2.有限样本空间：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示，全体样本点的集合称为
试验E的样本空间，用Ω表示，称样本空间Ω＝{ω，ω，ω，…，ω }为有限样本空间．
1 2 3 n
3.样本空间Ω的子集称为随机事件，称Ω为必然事件，称∅为不可能事件．
知识点二．事件的关系与运算
事件关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
⊆
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅
A∩B＝∅，且A∪B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生
Ω知识点三．概率的基本性质
性质1 对任意事件A，都有P(A)≥0；
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1；P(∅)＝0；
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性质5 如果A B，那么P(A)≤P(B)；
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
⊆
知识点四：古典概型
1.基本事件：
试验结果中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件.
基本事件的特点：
(1)每个基本事件的发生都是等可能的.
(2)因为试验结果是有限个，所以基本事件也只有有限个.
(3)任意两个基本事件都是互斥的，一次试验只能出现一个结果，即产生一个基本事件.
(4)基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式来表示.
2.古典概型的定义：
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等；
我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
3.计算古典概型的概率的基本步骤为：
(1)计算所求事件A所包含的基本事件个数m；
(2)计算基本事件的总数n；
(3)应用公式 计算概率.
4.古典概型的概率公式：
P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
要点四：随机数的产生
知识点五.随机数的概念
随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我
们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的
作用.
2.随机数的产生方法：
一般用试验的方法，如把数字标在小球上，搅拌均匀，用统计中的抽签法等抽样方法，可以产生某个
范围内的随机数.在计算器或计算机中可以应用随机函数产生某个范围的伪随机数，当作随机数来应用.
3.随机模拟法(蒙特卡罗法)：
用计算机或计算器模拟试验的方法，具体步骤如下：
(1)用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；
(2)统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；
(3)计算频率 作为所求概率的近似值.类型一 随机事件的概率
例1．某射手在相同条件下进行射击，结果如下：
(1)问该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少?
(2)假设该射手射击了300次，估计击中靶心的次数是多少?
【思路点拨】弄清频率和概率的含义及它们之间的关系是解题的关键．
【解析】(1)由表可知概率约为0.9；
(2)估计击中靶心的次数为300×0.9＝270(次)．
【总结升华】本题中利用概率知识估计击中靶心的次数是一种非常科学的决策方法．
类型二 互斥事件与对立事件
例2.某人在如图所示的直角边长为4m的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶
点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 (单位:kg)与它
的“相近”作物株数 之间的关系如下表所示:
1 2 3 4
51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1 m．
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量:
51 48 45 42
频数 4
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．
分析:根据题意找出产量 对应的“相近”作物株数的频数，并利用加权平均数公式计算平均年收获量；
至少为48 kg的概率是指 与 两种概率的和，利用互斥事件的概率公式求解．
解:(1)所种作物的总株数为 ．其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”
作物株数为2的作物有4株，．‘相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，
列表如下:51 48 45 42
频数 2 4 6 3
所种作物的平均年收获量为
(2)由(1)，知 ．故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为
48 kg的概率为
解后反思:求至少为48 kg的概率时，可利用互斤事件的概率公式求解，也可先求出年收获量少于48
kg的概率，再利用对立事件的概率公式求解．
例3 黄种人群中各种血型的人所占的比例如下:
血型 A B AB O
该血型的人所占比例(%) 28 29 8 35
已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血．
小明是B型血，若小明因病需要输血，问:
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少?
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少?
解:(1)记“血型为A型、B型、AB型、O型”分别为事件 ．
由已知，得 ．
因为B型、O型血可以输给B型血的人，
所以“可以输给B型血的人”为事件 ．
根据互斥事件的概率加法公式，有 ．
故任找一个人，其血可以输给小明的概率是 ．
(2)方法1:由于A型、AB型血不能输给B型血的人，故
“不能输给B型血的人”为事件 ．
根据互斥事件的概率加法公式，有
．
故任找一个人，其血不能输给小明的概率是 ．
方法2:由(1)，知不能输血给B型血的人的概率为
．故任找一个人，其血不能输给小明的概率是 ．
解后反思:带有“不”“不大于”“至少”等字眼的问题通常可以用对立事件的概率公式计算概率．
类型三 古典概型及其应用
例4甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运
动服的概率为______
解析:甲、乙两名运动员选择运动服颜色有(红，红)，(红， 白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，
(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．
因为同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种，所以所求概率
答案:
解后反思:列举时要按照一定的顺序，做到不重不漏．
例5海关对同时从 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单
位:件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自 各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是
所以 三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2．
(2)设6件来自 三个地区的样品分别为 ； ； ．
则从这6件样品中抽取的2件商品构成的所有基本事件为
共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D:“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有:，共4个，所以
即这2件商品来自相同地区的概率为 ．
解后反思:在 中，关键是确定 的值，现阶段主要是通过列举法来解决，这种方法常采用
两种途径，一是将事件的所有情况一一列举出来；二是利用“树状图”或“图表”将所有情况一一标出．
例6 甲、乙、丙3个盒中分别装有大小相等、形状相同的卡片若干张．甲盒中装有2张卡片，分别写有字
母 和 ；乙盒中装有3张卡片，分别写有字母 和 ；丙盒中装有2张卡片，分别写有字母
和 ．现要从3个盒中各随机取出1张卡片，求:
(1)取出的3张卡片中恰好有1张、2张、3张写有元音字母的概率各是多少?
(2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率．
解:根据题意可以画出如图所示的树状图．
由树状图可以得到，所有可能出现的基本事件有12个，它们出现的可能性相等．
(1)只有1个元音字母的结果有5个，所以 ；
有2个元音字母的结果有4个，所以 ；
有3个元音字母的结果有1个，所以 ；
(2)全是辅音字母的结果有2个，所以
解后反思:画树状图求概率的基本步骤:
(1)明确一次试验的步骤及顺序；
(2)画树状图，列举一次试验的所有可能结果；
(3)明确随机事件，数出其所包含的结果的个数 ，基本事件的总数 ；
(4)计算随机事件 的概率
