文档内容
人教版初中数学七年级下册
8.2.1 二元一次方程组的解法-代入消元法 教学设计
一、教学目标：
1.掌握代入消元法的意义;
2.会用代入法解二元一次方程组. (重点、难点)
二、教学重、难点：
重点：用代入法解二元一次方程组.
难点：探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.
三、教学过程：
复习回顾
1.把下列方程写成用含x的式子表示y的形式.
(1) 2x+y=6 → y=6-2x (2) y-3x-1=0 → y=3x+1
2.你能把上面两个方程写成用含y的式子表示x的形式.
6−y y−1
x= x=
(1) 2 (2) 3
{2x+y=6¿¿¿¿
3.如何解这样的方程组 .
知识精讲
问题1：观察下面两个天平你能从中得到哪些信息？
一个苹果和一个梨的质量合计200g;
这个苹果的质量加上一个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等.
问题2：问苹果和梨的质量各是多少g？你会列出方程组吗？{y=x+ 10 ①¿¿¿¿
{x= 95 ¿¿¿¿
所以原方程组的解是 . 求方程组解的过程叫做解方程组.
将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法，叫做消元思想.
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一个
方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法，简称代入
法.
典例解析
{x−y=3 ①¿¿¿¿
例1.用代入法解方程组
解：由①，得 x=3+y ③
把③代入②，得 3(3+y)-8y=14
解这个方程，得 y=-1
把y=-1代入③，得 x=2
{x=2¿¿¿¿
所以这个方程组的解是
问：1.把③代入①可以吗？试试看；2.把y=-1代入①或②可以吗？
{2x+y=6 ①¿¿¿¿
【针对练习】用代入法解方程组
解：由①，得 y=6-2x ③
把③代入②，得 6-2x-3x-1=0解这个方程，得 x=1
把x=1代入③，得 y=4
{x=1¿¿¿¿
所以这个方程组的解是
本题还有其它做法吗？
解：由② ，得 y=3x+1 ③
把③代入①，得 2x+3x+1=0
解这个方程，得 x=1
把x=1代入③，得 y=4
{x=1
所以这个方程组的解是
y=4
{5x+3 y=0 ①
例2.用代入法解方程组
2−3x−2y=0 ②
5
解：由①，得 y=- x ③
3
5
把③代入②，得 2-3x-2×(- x)=0
3
解这个方程，得 x=-6
把x=-6代入③，得 y=10
{x=−6
所以这个方程组的解是
y=10
本题还有其它做法吗？
{3x−4 y=1 ①
【针对练习】用代入法解方程组
2x+3x=12 ②
1+4 y
解：由①，得 x= ③
3
1+4 y
把③代入②，得 2× +3y=12
3
解这个方程，得 y=2
把y=2代入③，得 x=3
{x=3
所以这个方程组的解是
y=2
例3.若方程5x2m+n+4y3m-2n=9是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值.解：根据已知条件可列方程组：
{2m+n=1 ①
3m−2n=1 ②
由①得n =1–2m③
把③代入②得：3m–2（1–2m）= 1
3
解这个方程，得 m=
7
3 1
把m= 代入③，得 n=
7 7
3 1
所以m的值为 ，n的值为 .
7 7
【针对练习】如果|y+3x-2|+|5x+2y-2|=0，求x、y的值.
解:根据已知条件，得:
{y+3x−2=0 ①
5x+2y−2=0 ②
由①，得 y=2-3x ③
把③代入②，得 5x+2(2-3x)-2=0
解这个方程，得 x=2
把x=2代入③，得 y=-4
{ x=2
所以这个方程组的解是
y=−4
答:x的值是2，y的值是-4.
例4.根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250g)两种产品的销售数量(按瓶
计算)比为2:5，某厂每天生产这种消毒液22.5t，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品
各多少瓶？
分析：问题中包含两个条件：
大瓶数:小瓶数=2:5
大瓶所装的消毒液+小瓶所装的消毒液=总生产量
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶.由题意，得
{5x=2 y ①¿¿¿¿5
y= x
由①，得 2 ③
5
把③代入②，得 500x+250×2x=22500000
解这个方程，得 x=20000
把x=20000代入③，得 y=50000
{x= 20000 ¿¿¿¿
所以这个方程组的解是
答：这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶.
思考:解这个方程组时，可以先消去x吗？试试看.
{5x=2 y ①¿¿¿¿
2
x= y
解：由①，得 5 ③
2
把③代入②，得 500×5 y+250y=22500000
解这个方程，得 y=50000
把y=50000代入③，得 x=20000
{x= 20000 ¿¿¿¿
所以这个方程组的解是
【针对练习】有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排
球队12人，每名运动员只能参加一项比赛.篮球、排球队各有多少支参赛？
解：设篮球队有x支、排球队有y支参赛，依题意，得{x+y= 48 ①¿¿¿¿
由①，得 x=48-y ③
把③代入②，得 10(48-y)+12y=520
解这个方程，得 y=20
把y=20代入③，得 x=28
{x= 28 ¿¿¿¿
所以这个方程组的解是
答：篮球队有28支、排球队有20支参赛.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
{ y=1−x
1.用代入法解方程组 时，代入正确的是( )
x−2y=4
A.x-2-x=4 B.x-2-2x=4 C.x-2+2x=4 D.x-2+x=4
{ 2
y= x
2.用代入法解方程组 3 各式中正确的( )
3x=2y+1
2 2
A.3x=2× x+1 B.3x=2× y+1
3 3
3
C.3x=2× y+1 D.3x=2x×6x+1
2
{2x+3 y=0
3.二元一次方程组 的解是( )
3x+ y=7
{x=3 { x=3 {x=−3 {x=−3
A. B. C. D.
y=2 y=−2 y=2 y=−2
{2x+ y=7
4.已知方程组 的解也是关于x，y的方程ax+ y=4的一个解，则a的值为（ ）
x= y−1
1
A．1 B． C．−2 D．3
2
5.某校七年级(2)班40名同学为灾区共捐款500元，捐款统计表被墨水污染了一部分，若设捐款 10 元的有x名同学，捐款 15 元的有y名同学，能够正确表示以上信息的方程组为(
)
{x+ y=40−6−7 { x+ y=40
A. B.
10x+15 y=500 10x+15 y=330
{ x+ y=40−6−7 {x+ y=40−6−7
C. D.
10x+15 y+6×5+7×20=500 15x+10 y=500
{3x−y=7①
6.用代入法解方程组 时，小明是这样解的:
5x+2y=8②
解:由①，得y=3x-7 ③ 第一步
把③代入①,得 3x-(3x-7)=7, 第二步
即7=7. 第三步
所以此方程组无解. 第四步
你认为他的解法有误吗?若有误，错在第______步，请写出正确的解法.
7.解下列方程组：
{ x+ y=10① {x−3 y=−2①
(1) (2)
2x+ y=16② 2x+ y=3②
8.利用整体代入法解下列方程:
{ x−3
(1){ x+1=2(y−1)① (2) −3 y=0①
2
3(x+1)=5(y−1)+4②
2(x−3)−5=2y②
9.张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1.5h后到达县城.他骑车
的平均速度是15km/h，步行的平均速度是5km/h，路程全长20km.他骑车与步行各用多少时间？
10.为响应“美丽河池清洁乡村美化校园”的号召，红水河中学计划在学校公共场所安装温馨
提示牌和垃圾箱.已知，安装8个提示牌与5个垃圾箱的费用相同，学校安装10个提示牌和6
个垃圾箱共花费980元.安装1个提示牌和1个垃圾箱各多少元?
【参考答案】
1. C
2. A3. B
4. B
5. C
6. 二
解:由①，得 y=3x-7 ③
把③代入②，得 5x+2 (3x-7)=8
解这个方程，得 x=2
把x=2代入③，得y=-1
{ x=2
所以这个方程组的解是
y=−1
7.解:(1)由①，得 y=10-x ③
把③代入②，得 2x+10-x=16
解这个方程，得 x=6
把x=6代入③，得y=4
{x=6
所以这个方程组的解是
y=4
解:(2)由①，得 x=3y-2 ③
把③代入②，得 2(3y-2)+y=3
解这个方程，得 y=1
把y=1代入③，得x=1
{x=1
所以这个方程组的解是
y=1
8.解:(1)将(x+1)看作一个整体.
把①代入②，得3×2(y-1)=5(y-1)+4.解这个方程，得 y=5
把y=5代入①，得 x=7
{x=7
所以这个方程组的解是
y=5
解:(2)将(x-3)看作一个整体.
由①，得x-3=6y ③
把③代入②，得2×6y-5=2y
解这个方程，得y=0.5
把y=0.5代入③，得x=6{ x=6
所以这个方程组的解是
y=0.5
9.解：设他骑车用xh、步行用yh，依题意，得
{ x+ y=1.5①
15x+5 y=20②
由①，得 y=1.5-x ③
把③代入②，得 15x+5(1.5-x)=20
解这个方程，得 x=1.25
把x=1.25代入③，得 y=0.25
{x=1.25
所以这个方程组的解是
y=0.25
答：他骑车用1.25h、步行用0.25h.
10.解:设安装1个提示牌x元、1个垃圾箱y元.由题意,得
{ 8x=5 y①
10x+6 y=980②
5
由①，得 x= y ③
8
5
把③代入②，得 10× y+6y=980
8
解这个方程，得 y=80
把y=80代入③，得 x=50
{x=50
解这个方程组,得
y=80
答:安装1个提示牌50元、1个垃圾箱80元.
四、教学反思：
回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知
基础，探究显得十分自然流畅. 引导学生充分思考和体验转化与化归思想，增强学生的观察
归纳能力，提高学生的学习能力.
