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§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课标要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正
切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．
知识梳理
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C ：cos(α－β)＝____________________________________；
(α－β)
(2)公式C ：cos(α＋β)＝____________________________________；
(α＋β)
(3)公式S ：sin(α－β)＝____________________________________；
(α－β)
(4)公式S ：sin(α＋β)＝____________________________________；
(α＋β)
(5)公式T ：tan(α－β)＝____________________________________；
(α－β)
(6)公式T ：tan(α＋β)＝____________________________________.
(α＋β)
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝________________________，其中sin φ＝，cos φ＝.
常用结论
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
(4)tan αtan β＝1－
＝－1.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( )
(2)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( )
(3)tan能根据公式tan(α－β)直接展开求值．( )
(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( )
2．(必修第一册P220T3改编)计算cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°的结果为( )
A. B. C．－ D.
3．(必修第一册P220T2改编)若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于( )
A. B．－ C．－ D.
4．若将sin x－cos x写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝________.题型一 两角和与差的三角函数公式
例1 (1)已知tan α＝，tan β＝，则tan(2α＋β)的值为( )
A. B. C．－ D．－
(2)若sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，则sin 2αcos β等于( )
A. B. C. D.
跟踪训练1 (1)(2023·榆林模拟)已知tan＝9，则tan α等于( )
A. B．－ C. D．－
(2)在△ABC中，已知sin A＝，cos B＝，则cos C等于( )
A. B．－
C.或 D．－
题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式
例 2 (1)(2023·新乡模拟)在△ABC 中，若 tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则 cos C＝
________.
(2)已知函数f(x)＝sin x－2cos x，设当x＝θ时，f(x)取得最大值，则cos θ＝________.
跟踪训练2 (1)－＝________.
(2)化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝________.
题型三 角的变换问题
例3 (1)已知cos＝－，α∈，则sin＝________.
(2)(2023·临沂模拟)已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，则sin(α＋β)＝________.
思维升华 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形
式．
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，
或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋，＋α＝－，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋
＝等．
跟踪训练3 (1)(2024·上饶模拟)已知sin α＝，α为钝角，tan(α－β)＝，则tan β等于( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
(2)已知α为锐角，且cos＝，则cos α的值为________________．
