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§4.3 两角和与差的三角函数
课标要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正
切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．
知识梳理
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C ：cos(α－β)＝ cos α cos β ＋ sin α sin β ；
(α－β)
(2)公式C ：cos(α＋β)＝ cos α cos β － sin α sin β ；
(α＋β)
(3)公式S ：sin(α－β)＝ sin α cos β － cos α sin β ；
(α－β)
(4)公式S ：sin(α＋β)＝ sin α cos β ＋ cos α sin β ；
(α＋β)
(5)公式T ：tan(α－β)＝；
(α－β)
(6)公式T ：tan(α＋β)＝.
(α＋β)
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
常用结论
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
(4)tan αtan β＝1－＝－1.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( √ )
(2)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( × )
(3)tan能根据公式tan(α－β)直接展开求值．( × )
(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( × )
2．计算cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°的结果为( )
A. B. C．－ D.
答案 B
解析 cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°
＝cos(72°－12°)
＝cos 60°＝.3．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于( )
A. B．－ C．－ D.
答案 B
解析 ∵α是第三象限角，∴sin α<0，
∴sin α＝－＝－＝－，
∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－.
4．若将sin x－cos x写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝ .
答案
解析 因为sin x－cos x
＝2，
所以cos φ＝，sin φ＝，
因为0≤φ<π，所以φ＝.
题型一 两角和与差的三角函数公式
例1 (1)已知tan α＝，tan β＝，则tan(2α＋β)的值为( )
A. B. C．－ D．－
答案 A
解析 由tan α＝，tan β＝，得
tan(α＋β)＝＝＝1，
tan(2α＋β)＝tan[α＋(α＋β)]＝＝＝.
(2)若sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，则sin 2αcos β等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，
可得sin 2αcos β－cos 2αsin β＝，①
sin 2αcos β＋cos 2αsin β＝，②
由①＋②得，2sin 2αcos β＝，
所以sin 2αcos β＝.
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
跟踪训练1 (1)(2023·榆林模拟)已知tan＝9，则tan α等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 A解析 由tan＝＝9，
解得tan α＝.
(2)在△ABC中，已知sin A＝，cos B＝，则cos C等于( )
A. B．－
C.或 D．－
答案 A
解析 在△ABC中，∵cos B＝>0，
∴sin B＝＝>，B∈.
∵sin A＝∈，
∴A∈，或A∈(舍去)，
∴cos A＝＝，
∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－×＋×＝.
题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式
例 2 (1)(2023·新乡模拟)在△ABC 中，若 tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则 cos C＝
.
答案
解析 由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，
可得＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，
又因为A＋B∈(0，π)，
所以A＋B＝，
则C＝，cos C＝.
(2)已知函数f(x)＝sin x－2cos x，设当x＝θ时，f(x)取得最大值，则cos θ＝ .
答案 －
解析 f(x)＝sin x－2cos x＝sin(x－φ)，
其中cos φ＝，sin φ＝，
则f(θ)＝sin(θ－φ)＝，
因此θ－φ＝＋2kπ，k∈Z，
则cos θ＝cos＝－sin φ＝－.
思维升华 (1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆
用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
(2)对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚．
跟踪训练2 (1)－＝ .
答案 4解析 原式＝
＝
＝
＝＝4.
(2)化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝ .
答案 1
解析 原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)
＝tan 10°tan 20°＋tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)
＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1.
题型三 角的变换问题
例3 (1)已知cos＝－，α∈，则sin＝ .
答案
解析 因为cos＝－，α∈，
所以α∈，sin＝，
所以sin＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝.
(2)(2023·临沂模拟)已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，则sin(α＋β)＝ .
答案
解析 因为<α<，
所以<＋α<π，
所以sin＝＝.
又因为0<β<，所以<＋β<π，
所以cos＝－＝－，
所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin
＝－
＝－＝.
思维升华 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形
式．
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，
或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋，＋α＝－，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋
＝等．
跟踪训练3 (1)(2024·上饶模拟)已知sin α＝，α为钝角，tan(α－β)＝，则tan β等于( )A．1 B．－1 C．2 D．－2
答案 B
解析 ∵sin α＝，α为钝角，
∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝－，
又tan(α－β)＝，
则tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝－1.
(2)已知α为锐角，且cos＝，则cos α的值为 ．
答案
解析 ∵0<α<，
∴<α＋<，
∴sin＝，
∴cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝×＋×＝.
课时精练
一、单项选择题
1．(2023·西宁模拟)若tan α＝－3，则tan等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 C
解析 因为tan α＝－3，
所以tan＝＝＝.
2．已知角α的终边经过点P(sin 47°，cos 47°)，则sin(α－13°)等于( )
A. B.
C．－ D．－
答案 A
解析 由三角函数的定义，
得sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°，
则sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13°
＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13°
＝cos(47°＋13°)＝cos 60°＝.
3．已知sin＝－3cos，则sin 2α的值是( )
A．2 B. C．－2 D．－答案 D
解析 ∵sin＝－3cos，
即sin α－cos α＝－3，
整理得2sin α＝－cos α，
∴tan α＝－，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝＝－.
4．(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)的值是( )
A．－2 B．2 C．1 D．－1
答案 B
解析 由题意得(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°，
又tan 20°＋tan 25°＝tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＝1－tan 20°tan 25°，
所以(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)＝1＋(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2.
5．定义运算＝ad－bc，若cos α＝，＝，0<β<α<，则β等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意得，
sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝.
∵0<β<α<，∴0<α－β<，
∴cos(α－β)＝.
又∵cos α＝，∴sin α＝，
sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝，
∴β＝.
6．(2023·新高考全国Ⅰ)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 B
解析 因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，
而cos αsin β＝，
因此sin αcos β＝，
则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，
所以cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×2＝.
二、多项选择题
7．(2023·广州模拟)下列等式成立的有( )A．sin 15°cos 15°＝
B．sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1
C．cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1
D.sin 15°＋cos 15°＝1
答案 BC
解析 对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误；
对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin(75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B正确；
对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos(105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C正确；
对于D，sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝，故D错误．
8．已知α，β，γ∈，sin β＋sin γ＝sin α，cos α＋cos γ＝cos β，则下列说法正确的是(
)
A．cos(β－α)＝ B．cos(β－α)＝
C．β－α＝ D．β－α＝－
答案 BD
解析 由已知可得
所以1＝sin2γ＋cos2γ＝(sin α－sin β)2＋(cos β－cos α)2＝2－2(cos βcos α＋sin βsin α)
＝2－2cos(β－α)，
所以cos(β－α)＝，
因为α，β，γ∈，则－<β－α<，
因为sin γ＝sin α－sin β>0，函数y＝sin x在上单调递增，则α>β，则－<β－α<0，故β－α
＝－.
三、填空题
9．已知sin＝，α∈，则cos的值为 ．
答案 －
解析 由已知得cos α＝，sin α＝－，
所以cos＝cos α＋sin α＝－.
10．求值：sin 220°(tan 10°－)＝ .
答案 1
解析 原式＝－sin 40°
＝－sin 40°·
＝－sin 40°·
＝
＝
＝＝1.
11．当θ∈(0，π)时，若cos＝－，则tan的值为 ．答案
解析 因为θ∈(0，π)，
所以－θ∈(－π，0)，
所以－θ∈，
因为cos＝－<0，
所以－θ∈，
所以sin＝＝，
所以tan＝tan＝－tan＝－＝.
12．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α＝ .
答案 －4
解析 由已知得3cos[(α＋β)＋α]＋5cos[(α＋β)－α]＝0，
因此3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0，
整理得8cos(α＋β)cos α＋2sin(α＋β)sin α＝0，
因此sin(α＋β)sin α＝－4cos(α＋β)cos α，
于是·＝－4，
即tan(α＋β)tan α＝－4.
四、解答题
13．已知α，β∈，且
(1)求α＋β的值；
(2)证明：0<α－β<，并求sin(α－β)的值．
解 (1)因为α，β∈，
所以cos α>0，cos β>0，
由
解得cos α＝，cos β＝，
所以sin α＝＝，
sin β＝＝，
则cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
(2)因为α＋β＝，sin ＝>sin α＝>sin β＝，且函数y＝sin x在上单调递增，
所以0<β<α<，所以0<α－β<，
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.
14．(2023·沈阳模拟)已知cos＝－，sin＝，且α∈，β∈.求：
(1)cos 的值；
(2)tan(α＋β)的值．解 (1)∵α∈，β∈，
∴α－∈，－β∈，
∵cos＝－，sin＝，
∴sin＝＝，
cos＝＝，
∴cos ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝－.
(2)∵α∈，β∈，
∴α＋β∈，则∈，
∵cos ＝－，
∴sin ＝＝，
∴tan ＝－.
∴tan(α＋β)＝＝＝.
15．(2023·郑州模拟)已知角θ∈(0,2π)，θ终边上有一点(cos 2－sin 2，－cos 2－sin 2)，则θ
等于( )
A．2 B.＋2
C.－2 D.＋2
答案 C
解析 tan θ＝＝－
＝－＝－tan
＝tan＝tan，
故θ＝－2＋kπ，k∈Z.
又cos 2－sin 2<0，
－cos 2－sin 2＝－sin<0，
故θ在第三象限，故k＝1，θ＝－2.
16．(2024·厦门模拟)在平面直角坐标系中，O(0,0)，A(sin α，cos α)，B，当∠AOB＝时，写
出α的一个值为 ．
答案 －
解析 由题意可得OA＝(sin α，cos α)，OB＝，
所以|OA|＝＝1，
同理可得|OB|＝1，则cos∠AOB＝cos〈OA，OB〉＝＝sin αcos＋cos αsin
＝sin＝cos ＝－，
所以2α＋＝－＋2kπ(k∈Z)或2α＋＝＋2kπ(k∈Z)，
解得α＝－＋kπ(k∈Z)或α＝＋kπ(k∈Z)．
