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仁寿一中南校区 2024 届高三数学模拟（一）
理科数学试题
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性求出集合 ，再根据交集的运算即可得出答案.
【详解】解： ，
所以 .
故选：C.
2. 若复数z满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算，化简可得 ，然后根据共轭复数的概念，即可得出答案.
【详解】由已知可得， ，从而 .
故选：B.
3. 若 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的性质判断B，C，利用对数函数和指数函数的性质判断A，D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】因为函数 在 上单调递增， ，所以 ，A错误，
因为 ，由不等式性质可得 ，B错误，
因为 ，所以 ， ，所以 ，故 ，C错误，
因为函数 在 上单调递减， ，所以 ，∴D正确，
故选：D.
4. 在 中，点 为边 上一点， ，若 ，则 （ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的线性运算法则求解即可.
【详解】由 得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
故选：C.
5. 已知 ， ，则 （ ）
.
A B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 ，利用 求出 ，根据 即可求解.
【详解】∵ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
由 ，
所以 .
故选：B.
6. 已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的求和公式，结合等差中项的性质，解得 ，根据等差数列整理所求代数式，
可得答案.
【详解】由题意， ，解得 ，设等差数列 的公差为
，
则 .
故选：B.
7. 通常人们用震级来描述地震的大小，地震震级是对地震本身大小的相对量度，用 表示，强制性国家
标准GB17740-1999《地震震级的规定》规定了我国地震震级的计算和使用要求，即通过地震面波质点运动
最大值 进行测定，计算公式如下 （其中 为震中距），已知
某次某地发生了 级地震，测得地震面波质点运动最大值为 ，则震中距大约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意， ，代入式子可得 ，结合选项估计，即得解
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由题意，
代入
可得
因此震中距 是接近100但小于100的数
结合选项，震中距大约为98
故选：C
8. 如图，在直三棱柱 中， 面 ， ，则直线 与直线 夹
角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以 为原点， 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，设
，求出 ， ，利用向量的夹角公式可得答案.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 互相垂直，
以 为原点，分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，
设 ，
则 ，
可得 ， ，
所以 .
所以直线 与直线 夹角的余弦值为 .
故选：C.
9. 若函数 （ ）在区间 上恰有唯一极值点，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦函数的图象特征，根据整体法即可列出不等式满足的关系进行求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】当 ， ，
由于 （ ）在区间 上恰有唯一极值点，故满足 ，解得
，
故选：C
10. 已知 ， ， ，则 ， ， 大小关系为（ ）
的
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数的运算性质化简 ，利用对数的单调性判断 的范围，即可比较 ， ， 的大小关系
得出正确选项.
【详解】因为 ，
，
因为 即 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
故选：B.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11. 已知直线 ： 既是曲线 的切线，又是曲线 的切线，则 （ ）
A. 0 B. C. 0或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要求切线方程，设两个曲线方程的切点，由两条切线均为 ，通过等量关系
可得到 的取值.
【详解】 , , ，设切点分别为 ，
则曲线 的切线方程为： ，化简得，
，
曲线 的切线方程为： ，化简得， ，
，故 ，
解得 e或 .
当 e，切线方程为 ，故 .
当 ，切线方程为 ，故 ，则 .
故 的取值为 或 .
故选：D
12. 若函数 的定义域为 ，且 偶函数， 关于点 成中心对称，则下列说法正
确的个数为（ ）
① 的一个周期为2 ②
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】③ 的一条对称轴为 ④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，根据函数的对称性，可得 ， ，且 ，
根据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的轴对称性的性质，
可判③的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的对称性，可得 ，
，可判④的正误.
【详解】因为 偶函数，所以 ，则 ，即函数 关于
直线 成轴对称，
因为函数 的图象是由函数 的图象向左平移 个单位，所以函数 关于点 成中心对
称，则 ，且 ，
对于①， ，
，则函数 的周期 ，故①错
误；
对于②， ，故②正确；
对于③， ，故③正确；
对于④， ，则 ，
，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，则
，故④正确.
故选：C.
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13. 已知等比数列 的各项均为正数，设 是数列 的前 项和，且 ， ，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】利用等比数列通项公式，结合 ，可求得公比 ，进而得到 ，利用等比数列求和公式
可求得结果.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
， ，又 ， ， ，
.
故答案为： .
14. 已知 是椭圆 上的点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，若 ，则
的面积为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由向量的夹角公式可得 ，利用余弦定理、椭圆定义可得 ，再由三
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】角形面积公式可得答案.
【详解】因为 ， ，所以 ，
若 ，因为 ，
则可得 ，
由余弦定理可得
，
所以 ，
则 .
故答案为： .
15. 已知 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角公式和同角三角函数 的关系进行求解.
【详解】根据二倍角公式， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，于是
，
即 .
故答案为：
16. 已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】在同一坐标系下画出 ， 的图像，数形结合进行分析.
【详解】 ，则 ，故 ， ， 递增； ，
， 递减，
由 ，解得 是唯一零点，又 ，在坐标系中画出 图像，
又 是经过定点 的直线，
如图，显然 时不成立， 时， 显然成立，
时，如图 和 相切于 时，由于 ，
根据导数的几何意义， ，结合图像可知， 时， .
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
（一）必考题：共60分.
17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知 ，且 ．
（1）求角B的大小；
（2）若 ，求△ABC的面积S．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角(的正弦)，进而利用同角三角函数的关系得到 ，再根据
，结合两角和的正切公式得到关于 的方程，求得 的值，同时注意根据已知条件判
定角 为锐角，得到角 的值；
（2）利用同角三角函数的关系，求得三个内角的正弦值，进而利用正弦定理求得三角形另外两边的长，
利用三角形面积公式计算即得S．
【小问1详解】
∵ ，∴ ,
∴ ，即 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又∵
∴ ,解得 或 ，
又∵ ，∴角 为钝角，∴角 为锐角，∴ ，∴ ；
【小问2详解】
由（1）知， ， ，及已知条件 ,
,
∴ ， ，
又∵ ，∴ ， ，
∴ .
18. 2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行.
某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各200人，对冰壶运动有
兴趣的人数占总数的 ，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣.
有兴趣 没有兴趣 合计
男
女 80
合
计
（1）完成上面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？
（2）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，若从这9人中随机选出2人作为冰
壶运动的宣传员，设X表示选出的2人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】附： .
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】（1）列联表见解析，有 的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
（2）分布列见解析， .
【解析】
【分析】（1）根据题干所给数据求出冰壶运动有兴趣的男女人数，即可得到列联表，再计算出卡方，即
可判断；
（2）首先利用分层抽样求出男、女抽取的人数，依题意 的所有可能取值为 ， ， ，求出所对应的概
率，即可得到分布列与数学期望；
【小问1详解】
解：依题意对冰壶运动有兴趣的人数为 人，
则女生中对冰壶运动有兴趣的有 人，
男生中对冰壶运动有兴趣的有 人，
所以男生中对冰壶运动无兴趣的有 人，
所以 列联表：
有兴趣 没有兴趣 合计
男
女
合计
，
有 的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【小问2详解】
解：从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取 人，抽到的男生人数、女生人数分别为： （人 ，
（人 ，
则 的所有可能取值为 ， ， ，
所以 ，
，
，
故 的分布列是：
0 1 2
故 ．
19. 如图，在四面体 中， 均为等边三角形， ，点 为 的中点，
．
（1）证明：直线 平面 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）设点 在 上， ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）证明 为以 为底边的等腰三角形，进而证明 ， 再根据判定定
理即可证明结论；
（2）以 的方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【小问1详解】
证明：因为 均为等边三角形，
所以
因为点 为 的中点，
所以 ，
所以，
所以， 为以 为底边的等腰三角形，
因为 ，
所以 ，即 ，
因为 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
解：由（1）知 ，
所以，以 的方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，
因为 ，所以 ，
所以， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 得 ，
因为平面 的一个法向量为 ，
所以， ，
所以，二面角 的余弦值为 .
20. 已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知O为坐标原点，A，B，P为椭圆C上不同的三点，若 .试问：△ABP的面积是否
为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1）
（2）为定值，
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求解 ，即可得结果；
（2）根据题意分析可得 ，分类讨论直线 的斜率是否存在，根据点 在椭圆 上，利用
韦达定理可得 ，结合弦长公式和点到直线的距离运算求解.
【小问1详解】
因为椭圆 的离心率为 ，且过点 ，则 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
【小问2详解】
因为 ，则四边形 为平行四边形，
所以 .
①若直线 的斜率不存在，此时点 为长轴顶点，不妨取 ，
设 ，则 ，解得 ，
则 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】②若直线 斜率存在时，设 方程： ，
联立方程组得 ，消去 可得： ，
由 ，整理得 ，
则 ，
可得 ，
所以 .
因为点 在椭圆 上，则 ，
所以 ，满足 ，
则 ，
又因为点 到直线 的距离 ，
所以 ；
综上所述： 面积为定值，且定值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；
也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
21. 已知函数 ，当 时， ．
（1）求 的取值范围；
（2）求证： （ ）．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由导数法对 、 分类讨论 是否满足即可；
（2）由（1）结论，当 时， 恒成立，即可得 ，即可列项得
，
构造 ，由导数法证 ，则有 ，即
最后结合对数运算性质即可证
【小问1详解】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意得 ．
令 ，则 ．
∴函数 在区间 上单调递增，
则函数 的最小值为 ．
①当 ，即 时，可得 ，
∴函数 在 上单调递增．
又 ，∴ 恒成立．
②当 ，即 时，函数 的最小值为 <0，
且存在 ，当 时， ．
又 ，∴当 时， ，
这与 时， 相矛盾．
综上，实数a的取值范围是 ．
【小问2详解】
由（1） 得当 时，不等式 恒成立，
∴ ．
令 ，得 ．
∴ ．
令 ，则 ，
时， ， 为 上的增函数；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】时， ， 为 上的减函数；
∴ ，则 ．
∴ ，
∴
=
< =
．
∴ ．
【点睛】方法点睛：证明数列累乘不等式，可通过不等式两边取对数，转换成累加不等式的证明，接着一
般可结合题中结论，通过对数列通项放缩，达到证明目的
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题
计分.
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 其中t为参数， ，曲线 的
参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线 ， 的极坐标方程；
（2）若 ，曲线 ， 交于M，N两点，求 的值．
【答案】（1） ，
（2）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】
【分析】（1）消去参数 ，可得曲线 的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出曲线
的极坐标方程，同理可求出曲线 的极坐标方程，
（2）将 代入曲线 的极坐标方程，化简后利用根与系数的关系，再结合极坐标的几何意义可求得
结果
【小问1详解】
依题意，曲线 的普通方程为 ，
即曲线 的极坐标方程为 ．
曲线 的普通方程为 ，即 ，
故曲线 的极坐标方程为 ．
【小问2详解】
由 ，得 ，
将 代入曲线 的极坐标方程 中，
可得 ，
设上述方程的两根分别是 ， ，则 ， ，
故 ．
[选修4—5：不等式选讲]
23. 已知函数 的最大值为 .
（1）求 的值；
（2）若正数 ， ， 满足 ，求证： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出 的最大值，让最大值等于 即可得 的值；
（2）由（1）知， ，由 利用基本不等式即可求证.
【详解】（1）由题意得 ，
因为函数 的最大值为 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，
因为 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 时，即 ， 等号成立，
即 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
