文档内容
19.2.3 一次函数与方程、不等式 教学设计
课题 一次函数与方程、不等式 第2课 单元 19 学科 初中数学 年级 八下
时
1. 理解一次函数与二元一次方程(组) 的关系.
学习 2.掌握一次函数的图象求二元一次方程组的图象解法.
目标 3.经历用函数的观点表示二元一次方程(组)，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数
形结合的思想.
重点 理解一次函数与二元一次方程(组)的关系.
难点 建立一次函数图象上点的坐标与方程(组)之间的联系.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 【情境引入】
1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速
度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15 m 处
出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升
了1 h． 以问题的形式导
入，激发学生的
请用式子分别表示两个气球所在位置的海拔 y(单
独立思考、回 求知欲，同时为
位：m)关于上升时间 x(单位：min)的函数关系．
答问题流 研究一次函数与
分析：1号探测气球，y关于x的函数解析式为：
二 元 一 次 方 程
y=x+5(0≤x≤60)
(组)的关系提供
2 号探测气球，y 关于 x 的函数解析式为：
了素材.
y=0.5x+15(0≤x≤60)
让学生用方程观
问题1：如果把两个式子： y=x+5，y=0.5x+15 中
点看一次函数，
的变量都看作未知数，那么这两个式子表示什么
发现一次函数的
意义？
表达式是一个二
元一次方程.
提出问题，明确
学习内容，引导
追问：这说明一次函数与二元一次方程应该有密
切的联系，具体是怎样联系的呢？ 学生把注意力聚
焦在一次函数与
二元一次方程关
系上.讲授新课 【合作探究】
【探究3】一次函数与二元一次方程
请你写出3个一次函数，用方程观点看式子，有什
么发现？再写3个二元一次方程，如果把未知数看
作变量，变量间的关系是什么？
教师活动：引导学生分别用函数观点看二元一次 通过式子间的转
方程，用方程观点看一次函数，发现其联系. 化，让学生体会
从数量关系讲，
观察、思考、 二元一次方程和
比较 一次函数的本质
相同，只是看问
题的角度不同.
学生分组讨
发现：只要把未知数和变量的角色互换，则二元 论、交流.
一次方程和一次函数就实现了互相转化.
【探究】
问题2：如果从形的角度看，它们之间又有什么联 引导学生通过画
系呢？ 图和观察，直观
在同一坐标系内，(1)画出y=x+5的图象；(2)画出 地发现以方程x‒
以方程x‒y=‒5的5个解为坐标的点.你有什么发 y=‒5的解为坐标
现？ 的点全部在一次
函数 y=x+5 的图
象上，函数图象
上每点的坐标都
是方程x‒y=‒5的
一个解.
归纳总结
.
【归纳】
引导学生发现：以方程x‒y=‒5的解为坐标的点都
在一次函数y=x+5的图象上，函数y=x+5图象上的
点的坐标都是二元一次方程y=x+5的解.
思考、小组之
间进行交流【归纳】
一次函数与二元一次方程的关系的实质：
一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方
程，都可以改写为y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的形 分组研究
式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，
于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标
(x，y)都是这个二元一次方程的解. 引导学生用函数
的观点，从数和
口诀：坐标是解， 解是坐标.
形两方面深化对
【探究4】一次函数与二元一次方程组
二元一次方程组
我们知道含有相同未知数的二元一次方程组成的
解的认识.为形成
方程组一般有一个解，那么从函数的观点看，这
下面对一次函数
有什么含义？让我们还是从气球的上升问题说起.
与二元一次方程
问题3：在某时刻两气球能否位于同一高度？如果
组关系的归纳提
能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
供样例.
你会从数和形两方面进行研究吗？
(1)从数量关系的角度研究
1号气球的高度与时间关系为y=x+5
2号气球的高度与时间关系为y=0.5x+15
在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的
某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相
同的值y.如果能求出这个x和y，则问题得到解决.
由此容易得到解二元一次方程组.
归纳总结
培养学生归纳概
括地能力，通过
归纳让学生进一
即 解得 步熟悉一次函数
与二元一次方程
因此，气球上升20分钟时，它们的高度相同，都
(组)之间的联系.
是25m.
(2)从图形的角度研究
在同一坐标系中画出两个函数的图象，如右图.
发现：这两条直线的交点坐标为(20，25)
说明：当上升 20min 时，两个气球都位于海拔25m的高度.
【归纳】
由上可知，每个二元一次方程组都对应两个一次
函数，于是也对应两条直线.
从“数”的角度看：解二元一次方程组，相当于
求自变量为何值时，相应的两个一次函数的值相
等，以及这个函数值是多少.
从“形”的角度看：二元一次方程组的解，相当
于确定两条相应直线交点的坐标
【典型例题】
学生解答，教
巩固所学知识，
【例1】下列各图象上点的坐标都是二元一次方程
师展示给出解
加深对所学知识
x‒2y=2的解的是 ( ).
答示范．
的理解，提高学
生知识的综合运
用能力．
分析: 二元一次方程x‒2y=2一次函数y= x1
分别令x=0，y=0代入函数解析式，即可以求出函
数图象与坐标轴的交点
故答案选C
【例2】请用图象法求方程组 的
解.
解：
方程组整理，得
建立平面直角坐标系，分别作出一次函数y=x1
与y=2x+2的图象，如右图所示.自主完成练
习，然后集体
交流评价.
则原方程组的解为
【归纳】
通过本环节的学
用图象法解二元一次方程组的步骤
习，让学生巩固
第一步：转化，将方程组中的每个方程分别转化
所学知识．
成一次函数解析式的形式;
第二步：画图象，在同一平面直角坐标系中分别
画出这两个一次函数的图象；
第三步：找交点，分别写出这两个图象的交点的
横、纵坐标，这两个值就是二元一次方程组的解
中的两个数值.
【例3】方程组 解的情况如何？你能
从函数的角度解释一下吗？
分析：解二元一次方程 确定直线
y=‒x+2与直线y=‒x+5的交点
追问：图象之间有何关系？
两直线平行对应方程组无解
【归纳】
你能从中悟出些什么呢？
(1)二元一次方程组无解 对应一次函数的图象 平
行 (无交点)；
(2)二元一次方程组有一解对应一次函数的图象相交 (有一个交点)；
(3)二元一次方程组有无数解一次函数的图象 重
合 (有无数个交点).
【课堂练习】
教师活动：通过抢答的形式，让学生独立思考，
再由老师带领整理思路过程.
练习1. 方程组 它可转化为两个一
次函数 .
答案：
练习２. 在平面直角坐标系内，一次函数
y=kx+b 与y=kx+b 的图象如图所示，则关于x，y
1 1 2 2
的方程组 的解是 .
答案：
练习３．在平面直角坐标系中，直线y=‒2x+11与
直线
的交点坐标为(4，3)，则方程组 的解
为 .
答案：
练习4. 若以二元一次方程x+2yb=0的解为坐标的
点(x，y)都在直线
y= x+b1上，则常数b的值为 ( )
A. 0.5 B. 2 C. 1 D. 1答案：B
练习5. 根据图象，回答：
(1) 是方程组 的
解；
(2)方程组 的解是
.
答案： ；
课堂小结 以思维导图的形式呈现本节主要内容： 回顾本节课所 通过小结让学生
讲的内容 进一步熟悉巩固
本节课所学的知
识.
板书 1.一次函数与一元一次方程的关系
每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也
对应一条直线.
这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次
方程的解.
2.一次函数与一元一次不等式的关系
从“数”看，解二元一次方程组求自变量为何
值时，相应的两个一次函数的值相等，以及这个
函数值是多少.
从“形”看二元一次方程组的解两条相应直线
交点的坐标
3.例题讲解
