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专项 26 含参数的分式方程（两大类型）
【典例1】（2022秋•宁远县校级月考）若解分式方程 ＝ ﹣3产生增根，则k的值
为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．任何数
【答案】B
【解答】解： ＝ ﹣3，
去分母，得k＝x﹣k﹣3（x﹣2）．
去括号，得k＝x﹣k﹣3x+6．
移项，得﹣x+3x＝﹣k+6﹣k．
合并同类项，得2x＝6﹣2k．
x的系数化为1，得x＝3﹣k．
∵分式方程 ＝ ﹣3产生增根，
∴3﹣k＝2．
∴k＝1．
故选：B．
【变式1-1】（2022秋•合浦县期中）若关于x的方程 ﹣2＝ 有增根，则m的值应
为多少．（ ）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5
【答案】C
【解答】解：方程两边同时乘以x﹣5，
得x﹣2x+10＝m，
解得x＝10﹣m，
∵方程有增根，
∴10﹣m＝5，
∴m＝5，故选：C．
【变式1-2】（2022春•梅江区校级期末）若关于x的方程 有增根，则a的值
是（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【答案】A
【解答】解：关于x的方程 有增根，则x＝3是增根，
将原分式方程去分母得，
2x﹣6+a＝x，
∴x＝6﹣a，
∴6﹣a＝3，
所以a＝3，
故选：A．
【变式1-3】（2022春•鲤城区校级期中）若关于x的分式方程
有增根，则m的值为（ ）
A．1.5 B．﹣6 C．1或﹣2 D．1.5或﹣6
【答案】D
【解答】解： ，
去分母，得2（x+2）+mx＝x﹣1．
去括号，得2x+4+mx＝x﹣1．
移项，得2x+mx﹣x＝﹣1﹣4．
合并同类项，得（m+1）x＝﹣5．
x的系数化为1，得x＝﹣ ．
∵关于x的分式方程 有增根，
∴ 或﹣2．
∴m＝﹣6或1.5．
故选：D．【典例2】（2022春•沭阳县月考）已知关于x的方程 ＝3．
（1）已知m＝4，求方程的解；
（2）若该方程的解是正数，试求m的范围．
【解答】解：（1）把m＝4代入方程 ＝3得： ＝3，
方程两边乘x﹣2，得2x+4＝3（x﹣2），
解得：x＝10，
经检验x＝10是原分式方程的解，
所以方程的解是x＝10；
（2） ＝3，
方程两边乘x﹣2，得2x+m＝3（x﹣2），
解得：x＝m+6，
∵该方程的解是正数，
∴m+6＞0，
解得：m＞﹣6，
∵方程的分母x﹣2≠0，
∴x≠2，
即m+6≠2，
即m≠﹣4，
所以m的范围是m＞﹣6且m≠﹣4．
【变式2-1】（2021秋•丛台区校级期末）已知关于x的分式方程： ．
（1）当m＝3时，解分式方程；
（2）若这个分式方程无解，求m的值．
【解答】解：（1）把m＝3代入得： ﹣ ＝﹣1，
去分母得：3﹣2x+3x﹣2＝2﹣x，
解得：x＝ ，
检验：把x＝ 代入得：x﹣2≠0，∴分式方程的解为x＝ ；
（2）去分母得到：3﹣2x+mx﹣2＝2﹣x，
整理得：（m﹣1）x＝1，
当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解；
当m≠1时，由分式方程无解，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：3﹣4+2m﹣2＝0，
解得：m＝ ，
综上所述，m的值为1或 ．
【典例3】（2021春•玉门市期末）已知关于x的方程 ．
（1）当k＝3时，求x的值？
（2）若原方程的解是正数．求k的取值范围？
【答案】（1） x＝9 （2） k＞﹣6且k≠﹣3．
【解答】解：（1）k＝3时，方程为 ，
两边同乘以（x﹣3），得x﹣2（x﹣3）＝﹣3，
解得，x＝9，
经检验 x＝9是原方程的根，
∴原分式方程的解为x＝9；
（2） ，
两边同乘以（x﹣3），得x﹣2（x﹣3）＝﹣k，
解得：x＝6+k，
∵原方程解是正数，
∴6+k＞0，
∴得k＞﹣6
∵x≠3，
∴6+k≠3，
∴k≠﹣3，
∴k＞﹣6且k≠﹣3．【变式3-1】（2020秋•仓山区期末）已知关于x的分式方程 + ＝2的解为正数，求
a的取值范围．
【答案】a＜8且a≠﹣1
【解答】解：去分母得：2﹣x﹣a＝2x﹣6，
解得：x＝ ，
由分式方程的解为正数，得到 ＞0且 ≠3，
解得：a＜8且a≠﹣1．
【变式3-2】（2021•丛台区校级开学）关于x的分式方程 ﹣2m＝ 无解，求m的值．
【答案】m＝ 或3
【解答】解：给分式方程两边同时乘以x﹣3，得，x﹣2m（x﹣3）＝m，
（2m﹣1）x＝5m，
①2m﹣1＝0，则m＝ ；
②2m≠1，解得x＝ ，
由方程增根为x＝3，则 ＝3，
解得m＝3，
综上，m＝ 或3．
1．（2022 春•辽阳期末）若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值为
（ ）
A．0 B． C．1 D．4
【答案】D【解答】解： ，
去分母，得7x+3（x﹣1）＝2m﹣1．
去括号，得7x+3x﹣3＝2m﹣1．
移项，得10x＝2m﹣1+3．
合并同类项，得10x＝2m+2．
x的系数化为1，得x＝ ．
∵关于x的分式方程 有增根，
∴ ＝1．
∴m＝4．
故选：D．
2．（2022春•巴中期末）若关于x的方程 有增根，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解答】解：去分母，得x+2﹣4＝kx，
根据题意，当x＝﹣2时，得﹣2+2﹣4＝﹣2k，
解得k＝2，
故选：A．
3.（2022•沙市区模拟）若关于x的分式方程 ＝2的解为非负数，则m的取值范围是（
）
A．m＞﹣1 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1且m≠1 D．m≥﹣1且m≠1
【答案】D
【解答】解：去分母，得m﹣1＝2（x﹣1），
解得x＝ ，
∵关于x的分式方程 ＝2的解为非负数，
∴ ≥0且 ≠1且m≠1，解得m＞﹣1且m≠1，
故选：D．
4．（2022•齐齐哈尔三模）已知关于x的分式方程 的解是负数，则m的取值范围是
（ ）
A．m≤5 B．m≤5且m≠3 C．m＜5 D．m＜5且m≠3
【答案】D
【解答】解：去分母得：m﹣3＝x+2，
解得：x＝m﹣5，
∵x＜0且x+2≠0，
∴m﹣5＜0且m﹣5+2≠0，
解得：m＜5且m≠3，
故选：D．
5．（2022春•镇海区校级期中）关于x的方程 有增根，那么a的
值为（ ）
A．1 B．﹣4 C．﹣1或﹣4 D．1或4
【答案】D
【解答】解：分式方程去分母得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣1）＝a+2x，
∵分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，即x＝﹣2或x＝1，
把x＝﹣2代入整式方程得：a﹣4＝0，此时a＝4；
把x＝1代入整式方程得：3＝a+2，此时a＝1，
则a的值为1或4．
故选：D．
6．（2022 春•深圳期中）若关于 x 的分式方程 + ＝1 有增根，则 m 的值是
（ ）
A．m＝6 B．m＝2 C．m＝2或m＝6 D．m＝2或m＝−6
【答案】C【解答】解： + ＝1，
x+m﹣x（2+x）＝4﹣x2，
解得：x＝m﹣4，
∵分式方程有增根，
∴4﹣x2＝0，
∴x＝±2，
当x＝2时，2＝m﹣4，
解得：m＝6，
当x＝﹣2时，﹣2＝m﹣4，
解得：m＝2，
综上所述，m的值是2或6，
故选：C．
7．（2022春•浦东新区校级期末）用换元法解方程 ，设 ＝y，则
得到关于y的整式方程为 ．
【答案】 y 2 ﹣ 10 y ﹣ 6 ＝ 0
【解答】解：设 ＝y，
∴ ， ，
则原方程为： ，
整理得：y2﹣10y﹣6＝0．
故答案为：y2﹣10y﹣6＝0．
8．（2022春•衡山县期末）若分式方程：3+ 无解，求k的值．
【解答】解：去分母得：3（x﹣3）+2﹣kx＝﹣1，
整理得：（3﹣k）x＝6，
当3﹣k＝0，即k＝3时，整式方程无解，满足题意；当3﹣k≠0，即k≠3时，x＝ ＝3时，分式方程无解，即k＝1，
综上所示，k的值为3或1．
9.（2020秋•华龙区校级期中）已知关于x的方程 的解为正数，求k的取值
范围．
【答案】k＞﹣4且k≠4
【解答】解： ，
去分母得：k﹣2x+4＝2x
解得：x＝ ，
∵x﹣2≠0，
∴ ＞0且 ﹣2≠0
解得：k＞﹣4且k≠4．
