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专题 01 三角形边或角关系的三种模型
几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明角的数量关系，
或者三角形的三边和差关系等，接来下我们针对这两个版块做出详细分析与梳理。
类型一、燕尾角模型
例1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果 ，
，那么 的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，
∵ ∴
同理得
∵
∴
∵
∴
∴
∴ ,故选：A．【变式训练1】如图，若 ，则 ____________．
【答案】230°
【详解】解：如图
∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C， ∴∠E+∠D+∠C=115°，
∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°， 故答案为：230°．
【变式训练2】如右图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．
【答案】360°
【详解】解：由图形可知：∠BNP＝∠A＋∠B，∠DPQ＝∠C＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠HMN＝∠G
＋∠H，
∵∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°．
故答案为：360°．
【变式训练3】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．
【答案】900°
【详解】解：连EF，GI，如图，
∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，
故答案为：900°．
【变式训练4】模型规律：如图1，延长 交 于点D，则 ．因为凹四
边形 形似箭头，其四角具有“ ”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头
四角形”．模型应用
（1）直接应用：
①如图2， ，则 __________ ；
②如图3， __________ ；
（2）拓展应用：
①如图4， 、 的2等分线（即角平分线） 、 交于点 ，已知 ，
，则 __________ ；
②如图5， 、 分别为 、 的10等分线 ．它们的交点从上到下依次为 、
、 、…、 ．已知 ， ，则 __________ ；
③如图6， 、 的角平分线 、 交于点D，已知 ，则
__________ ；
④如图7， 、 的角平分线 、 交于点D，则 、 、 之同的数量关系为
__________．
【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②110；③142；④∠B-∠C+2∠D=0
【详解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；
②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；（2）①∠BOC=∠BOC-∠OBO -∠OCO =∠BOC- （∠ABO+∠ACO）=∠BOC- （∠BOC-∠A）
1 1 1
=∠BOC- （120°-50°）=120°-35°=85°；
②∠BOC=∠BOC- （∠BOC-∠A）=120°- （120°-50°）=120°-10°=110°；
7
③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°- （∠BOC-∠C）=180°- （120°-44°）
=142°；
④∠BOD= ∠BOC=∠B+∠D+ ∠BAC，
∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，
联立得：∠B-∠C+2∠D=0．
类型二、折叠模型
例1.如图，在 中， ，将 沿直线 折叠，点C落在点D的位置，则 的度数是
（ ）．
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【详解】解：由折叠的性质得： ，
根据外角性质得： ， ，
则 ，则 ．
故选：B．【变式训练1】如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分
∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】D
【详解】解：如图，连接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC= ∠ABC，∠A'CB= ∠ACB，
∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°，
∵沿DE折叠，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，
∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，
∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，
故选：D．【变式训练2】如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度
数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵∠A＝55°，
∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，
∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，
由折叠可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，
∵∠1＝95°，
∴∠2＝110°－95°＝15°，
故选：B．
【变式训练3】如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【详解】由折叠的性质可知
∵
∴
∴
故选C【变式训练4】如图，将矩形纸片 沿 折叠，点 落在边 上的点 处，点 落在点 处，若
，则 的度数为（ ）．
A．42° B．69° C．44° D．32°
【答案】A
【详解】由图形翻折的性质可知， ，
，
，
，利用“8”字模型，
，
故选：A．
类型三、“8”字模型
例1.如图， 平分 ，交 于点F， 平分 交 于点E， 与 相交于点G，
．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1） ；（2） ．
【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF= ，∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，
∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，
∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，
∴∠A+∠C=2∠P，
∵∠A=42°，∠C=38°，
∴∠P= （38°+42°）=40°．
【变式训练1】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．
【答案】540°
【详解】解：如图所示：
由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝
∠GML，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）
×180°＝3×180°＝540°．
【变式训练2】（1）已知：如图①的图形我们把它称为“ 字形”，试说明： ．（2）如图②， ， 分别平分 ， ，若 ， ，求 的度数．
（3）如图（3），直线 平分 ， 平分 的外角 ，猜想 与 、 的数量关系是
__；
（4）如图（4），直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，猜想 与 、
的数量关系是________．
【答案】（1）见解析；（2）26°；（3） ；（4）
【详解】解：（1） 180°， 180°，．
， ；
（2） ， 分别平分 ， ，设 ， ，
则有 ， ，
（36°+16°）=26°
（3） 直线 平分 ， 平分 的外角 ，
， ，∴ 180°- ，
∴180°
∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∴
∴
∴180° ，
即 90° ．（4）连接PB，PD
直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，
， ，
∵ 180°， 180°
∴ 360°
同理得到： 360°
∴ 720°
∴ 720°
∵ 180°， 180°
∴ 360°， 180°-
