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专题01运算能力之乘法公式综合难点专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方
形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，
现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，
，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，
图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形
A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无
重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22 B．24 C．42 D．44
3．如图，有10个形状大小一样的小长方形①，将其中的3个小长方形①放入正方形
②中，剩余的7个小长方形①放入长方形③中，其中正方形②中的阴影部分面积为
22，长方形③中的阴影部分面积为96，那么一个小长方形①的面积为（ ）
1A．5 B．6 C．9 D．10
4．利用乘法公式判断，下列等式何者成立？（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．如图，长方形 的边 ，E是边 上的一点，且 ，F，G分
别是线段 ， 上的动点，且 ，现以 ， 为边作长方形 ，以
为边作正方形 ，点H，I均在长方形 内部．记图中的阴影部分面积分
别为 ， 长方形 和正方形 的重叠部分是四边形 ，当四边形 的
邻边比为3∶4， 的值为________．
6．计算：（1）若x满足 则 的值为____；
（2）如上图， ，长方形 的面积是50，四边形 和 以
及 都是正方形四边形 是长方形，则图中正方形 的面积为_______．
7．找规律填数： ＝_____（直接填写结果）．
三、解答题
28．已知关于 的二次三项式 满足 .
（1）求整式 ；
（2）若 ，当 时，求 的值．
9．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）请用简便方法计算：
10．计算：
（1）
（2） ;
（3） ;
（4） ．
11．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．
（1）对于等式 ，可以由图1进行解释：这个大长方形的
长为_____，宽为_____，用长乘以宽可求得其面积，同时，大长方形的面积也等于3
个长方形和3个正方形的面积之和．
（2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？
方法1（从整体角度）：_________；
3方法2（从局部角度：6个长方形和3个正方形）：_____________；
数学等式：______________________．
（3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知 ，
，求 的值．
12．某公园对一个边长为a（a＞1）的正方形花坛进行改造，由于占地需要，正方形
花坛南北方向需要缩短1米，使其形状成为长方形．为了使花坛中的绿植面积不变，
公园决定将花坛向东侧扩展，使得到的长方形面积和原来正方形的面积相等．
（1）小明说：这太简单了，把正方形南北方向减少1米，在花坛东侧增加1米就行了．
这样得到的长方形的周长和面积与原来正方形的周长和面积都相等．你认为小明说的
对吗？请你说明理由．
（2）如果原来正方形的花坛边长是5米，在只保证面积不变的情况下，请你计算出改
造后，向东扩展了多少米？
（3）如果正方形的花坛边长是a米，在只保证面积不变的情况下，请你用代数式表示
出改造后长方形的长．
13．对于实数a，b，c定义一种新运算，规定
例如：
（1）求 ；
（2）如图，在矩形ABFG和矩形BCDE中， ， ， ， ，
若 ， ．连接AF和AD，求图中阴影部分的面
积；
（3）若 ，求 的值．
414．现定义运算，对于任意有理数a，b，都有 如：
， ．
（1）若 ，求x的取值范围；
（2）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，计算： ．
15．如图1，用4个相同边长是 、 的长方形和中间一个小正方形组成的大正方形．
（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则 值为__________；则
的值为__________；
（2）若小长方形两边长为 和 ，则大正方形的边长为___________；
若满足 ，则 的值为__________；
（3）如图2，正方形 的边长是 ，它由四个直角边长分别是 ， 的直角三角
形和中间一个小正方形组成的，猜想 ， ， 三边的数量关系，并说明理由．
16．某同学用如图所示不同颜色的正方形与长方形纸片拼成了一个如图所示的正方形．
5（1）①请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ．
②以上结果可以验证的乘法公式是 ．
（2）根据上面的结论计算：
①已知m＋n＝5， ，求mn的值．
②已知（2019−m）（2020−m）＝1010，求 的值．
17．数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两
个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决
问题．
猜想发现：由 ； ； ；
； ；
猜想：如果 ， ，那么存在 （当且仅当 时等号成立）．
猜想证明：∵
∴①当且仅当 ，即 时， ，∴ ；
②当 ，即 时， ，∴ ．
综合上述可得：若 ， ，则 成立（当日仅当 时等号成立）．
猜想运用：（1）对于函数 ，当 取何值时，函数 的值最小？最小值
是多少？
6变式探究：（2）对于函数 ，当 取何值时，函数 的值最小？最小
值是多少？
拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，
检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同
的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为 （米2）．问：每间隔离房的长、宽各
为多少时，可使每间隔离房的面积 最大？最大面积是多少？
18．有些同学会想当然地认为 ．
（1）举出反例说明该式不一定成立；
（2）计算 ；
（3）直接写出当 、 满足什么条件，该式成立．
19．计算：
（1）8x2y2÷2y2；
（2）（﹣2a2）3+4a5•a；
（3）（x+2y）2﹣2y（2x+y）；
（4） ；
（5） ；
（6） ．
20．长方形ABCD和正方形CEFH，按如图所示的方式叠放在一起，且长方形ABHG
与长方形DEFG的周长相等（其中点D在EC上，点B在CH的延长线上，AD和FH
相交于点G），正方形CEFH的边长为m，长方形ABCD的宽为x，长为y（x＜m＜
7y）．
（1）写出x，y，m之间的等量关系；
（2）若长方形ABHG的周长记作C ，长方形DEFG的周长记作C ．
1 2
①求C ＋C 的值（用含y、m的代数式表示）；
1 2
②若关于y的不等式C ＋C ＜10-2m的正整数解只有2个，求m的取值范围；
1 2
（3）若长方形ABHG的面积记作S，长方形DEFG的面积记作S，试比较2S 与S 的
1 2 2 1
大小，并说明理由．
21．若一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，则称m为“方和数”．
（1）100 “方和数”，110 “方和数”；（填写“是”或“不是”）
（2）以下两个判断，正确选项的序号是 ．
①两个“方和数”的和是“方和数”； ②两个“方和数”的积是“方和
数”．
22．通过课堂的学习知道，我们把多项式 及 叫做完全平方式，
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如
， ，像这
样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的
方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似
不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、
最小值等等，如：因为 ，可知当 时， 的最小
值是 ．
请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：
（1）因式分解： ；
（2）已知a是任何实数，若 ， ，通过计算判断M、
N的大小关系；
（3）如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为8
8米．设与墙壁垂直的一边长为x米，
①试用x的代数式表示菜园的面积；
②求出当x取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？
23．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方
法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，也
称为富比尼（G．Fubini）原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面
积可以得到一个数学等式．
（教材片段）：计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是 ，
如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为 ，由
此得到： ．
9（1）如图2，用不同的代数式表示大正方形的而积，由此得到的等式为__________；
（用a、b表示）
（2）利用上面结论解决问题：若 ，则 __________；
（3）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为__________；
（用a、b、c表示）
（4）利用上面结论解决问题：已知 ，则
__________；
（5）如图4，用不同的代数式表示大正方形的面积（里面是边长为c的小正方形），
由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示）
（6）若 ，请通过计算说明a、b、c满足上面结论．
24．同学们，在数学课本第9章《整式乘法与因式分解》里学习了整式乘法的完全平
方公式，还记得它是如何被发现的吗？
（苏科版教材P75页）计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是
，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为
，由此得到： ．
（类比探究（1））：
如图2，正方形 是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，
用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是_______（用a，b表示）
（应用探索结果解决问题）：
已知：两数x，y满足 ， ，求 的值．
（类比探究（2））：
如图3，正方形 的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中
间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的式子是_________．（用
a，b，c表示，结果尽可能化简）
10（应用探索结果解决问题）：正方形 的边长是c，它由四个直角边长分别是a，
b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，当 时， ；当
， 时， ，求x，y的值．
25．（知识生成）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以
得到一个恒等式．如图1，在边长为 的正方形中剪掉一个边长为 的小正方形 ．
把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：
a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相
同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)；
（拓展探究）图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个
小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1： ，方法2： ；
（2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的的等量关系式是
；
（3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝ ；
（知识迁移）
（4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根
据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式： ．
111213
