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专题01运算能力之乘法公式综合难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方
形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，
现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，
，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】
根据花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米
的正方形，可得m+n=22，再根据长方形面积公式可得mn=120，再根据完全平方公式
即可求解．
【详解】
解：∵花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3
米的正方形，
∴2（m-3）+2（n-3）=32，
∴m+n=22，
∵mn=120，
∴（m+n）2=m2+n2+2mn=m2+n2+240=484，
∴m2+n2=244，
∴（m-n）2=m2+n2-2mn=244-240=4，
∵m＞n，
∴m-n=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是灵活运用完全平方公式．
2．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，
1图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形
A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无
重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22 B．24 C．42 D．44
【答案】C
【分析】
由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝
20，进而得到ab＝10，由图3可知，阴影部分面积（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝
2+40＝42．
【详解】
解：设正方形A、B的边长分别为a、b，由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，
图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，
所以ab＝10，
由图3可知，阴影部分面积为（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．
故选：C．
【点睛】
此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平
方公式是解题的关键．
3．如图，有10个形状大小一样的小长方形①，将其中的3个小长方形①放入正方形
②中，剩余的7个小长方形①放入长方形③中，其中正方形②中的阴影部分面积为
22，长方形③中的阴影部分面积为96，那么一个小长方形①的面积为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．10
2【答案】A
【分析】
设①小长方形的长为 ，宽为b，根据正方形阴影面积=正方形面积-3个小长方形面积
=22根根据大长方形阴影面积为长为 ，宽为 的长方形面积-7个小长方形
面积=96列方程求出 即可．
【详解】
解：设①小长方形的长为 ，宽为b，
根据②正方形边长为 ，阴影面积为 ，
根据③大长方形的长为 ，宽为 ，阴影面积为 ，
∴联立得 ，
整理得 ，
解得 ，
一个小长方形①的面积为5．
故选择A．
【点睛】
本题考查图形阴影面积应用问题，多项式乘法与图形面积，完全平方公式，仔细分析
图形，从中找出等量关系，正方形阴影面积=正方形面积-3个小长方形面积=22，大长
方形阴影面积为长为 ，宽为 的长方形面积-7个小长方形面积=96，列方
程组是解题关键．
4．利用乘法公式判断，下列等式何者成立？（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据完全平方公式的特征进行判断，然后根据公式特点进行计算．
3【详解】
解： A、 不符合完全平方公式的特征且计算错误，完全平方公式的
中间一项为 ，所以不符合题意；
B、 不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为 ，所
以不符合题意；
C、 ，所以符合题意；
D、 不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为
，所以不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的特征，识记且熟练运用完全平方公式：
是解答问题的关键．
二、填空题
5．如图，长方形 的边 ，E是边 上的一点，且 ，F，G分
别是线段 ， 上的动点，且 ，现以 ， 为边作长方形 ，以
为边作正方形 ，点H，I均在长方形 内部．记图中的阴影部分面积分
别为 ， 长方形 和正方形 的重叠部分是四边形 ，当四边形 的
邻边比为3∶4， 的值为________．
【答案】7或
【分析】
利用长方形及正方形的性质可求解KI=2DG-10，KH=DG-3，根据当长方形KILH的邻
4边的比为3：4可求解DG的长，再利用DG的长分别求解AF，CG，AJ的长，进而可
求解，注意分类讨论．
【详解】
解：在长方形ABCD中，AB=CD=10，AD=BC=13．
∵四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为长方形，BF=DG，
∴四边形KILH为长方形，KI=HL=2DG-AB=2DG-10．
∵BE=BA=10，
∴LG=EC=3，
∴KH=IL=DG-LG=DG-3．
当长方形KILH的邻边的比为3：4时，（DG-3）：（2DG-10）=3：4，或
（2DG-10）：（DG-3）=3：4，
解得DG=9或 ，
当DG=9时，AF=CG=1，AJ=4，
∴S+S=AF•AJ+CE•CG=1×4+1×3=7；
1 2
当DG= 时，AF=CG= ，AJ= ，
∴S+S=AF•AJ+CE•CG
1 2
=
=
故答案为7或 ．
【点睛】
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
6．计算：（1）若x满足 则 的值为____；
（2）如上图， ，长方形 的面积是50，四边形 和 以
及 都是正方形四边形 是长方形，则图中正方形 的面积为_______．
5【答案】120 204
【分析】
（1）设（30-x）=m，（x-20）=n，求出mn和m+n，利用完全平方公式计算即可；
（2）根据正方形ABCD的边长为x，AE=2，CG=4，所以DE=x-2，DG=x-4，得到
（x-2）（x-4）=50，设x-2=a，x-4=b，从而得到ab=50，a-b=（x-2）-（x-4）=2，根据
题意求出（a+b）2，即可求出正方形NFMP的面积．
【详解】
解：（1）设（30-x）=m，（x-20）=n，
∴（30-x）（x-20）=mn=-10，
∴m+n=（30-x）+（x-20）=10，
∴（30-x）2+（x-20）2，
=m2+n2，
=（m+n）2-2mn，
=102-2×（-10）
=120；
（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE=2，CG=4，
∴DE=x-2，DG=x-4，
∴（x-2）（x-4）=50，
设x-2=a，x-4=b，
∴ab=50，a-b=（x-2）-（x-4）=2，
则（a+b）2=（a-b）2+4ab=22+4×50=204，
∴正方形NFMP的面积为：204，
故答案为：（1）120；（2）204．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式，进行转化应用．
7．找规律填数： ＝_____（直接填写结果）．
【答案】10n
6【分析】
将 变形为 ，故
．
【详解】
解：
．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查算术平方根以及完全平方公式的逆运用，熟练掌握算术平方根以及完全
平方公式的逆运用是解决本题的关键．
三、解答题
8．已知关于 的二次三项式 满足 .
（1）求整式 ；
（2）若 ，当 时，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案即可；
（2）直接利用整式的加减运算法则结合 的值代入得出答案即可．
【详解】
解：（1）∵
∴
；
7（2）∵ ，
∴
.
当 时， ．
【点睛】
此题主要考查了整式的加减，正确掌握相关运算法则是解答此题的关键．
9．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）请用简便方法计算：
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）-16．
【分析】
（1）先算乘方，再算乘除，最后合并同类项即可；
（2）先根据单项式乘以多项式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可；
（3）先根据积的乘方化简，再从左往右计算即可；
（4）先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）
8；
（3）
；
（4）
．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键．
10．计算：
（1）
（2） ;
（3） ;
（4） ．
【答案】（1）-5x3 y5 z3；（2） ；（3）18；（4） ．
【分析】
（1）根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可；
（2）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可；
（3）分别根据多项式乘以多项式和单项式乘以单项式运算法则去括号，然后外挂；
（4）运用平方差公式进行计算即可得到答案．
【详解】
解：
9．
．
18
．
【点睛】
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解答此题的关键．
11．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．
（1）对于等式 ，可以由图1进行解释：这个大长方形的
长为_____，宽为_____，用长乘以宽可求得其面积，同时，大长方形的面积也等于3
个长方形和3个正方形的面积之和．
（2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？
10方法1（从整体角度）：_________；
方法2（从局部角度：6个长方形和3个正方形）：_____________；
数学等式：______________________．
（3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知 ，
，求 的值．
【答案】（1）（a+2b），（a+b）；（2）（a+b+c）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）15
【分析】
（1）根据图形直接得出长为（a+2b），宽为（a+b）；
（2）整体上是一个边长为（a+b+c）的正方形，各个部分的面积和为
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，可得等式；
（3）将（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，变形为（a+b+c）2-a2-b2-c2=2ab+2bc+2ac，
再整体代入求值即可．
【详解】
解：（1）由图形直观得出，长为：（a+2b），宽为（a+b），
故答案为：（a+2b），（a+b）；
（2）方法1（从整体角度）：（a+b+c）2，
方法2（从局部角度：6个长方形和3个正方形）：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
因此有数学等式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（3）由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac得，
2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2-（a2+b2+c2），
∵a+b+c=7，a2+b2+c2=19，
∴2ab+2bc+2ac=49-19=30，
∴ab+bc+ac=15．
【点睛】
本题考查完全平方公式的几何背景，因式分解以及多项式乘以多项式的计算法则，掌
握公式特征和适当变形是正确应用的前提．
12．某公园对一个边长为a（a＞1）的正方形花坛进行改造，由于占地需要，正方形
花坛南北方向需要缩短1米，使其形状成为长方形．为了使花坛中的绿植面积不变，
公园决定将花坛向东侧扩展，使得到的长方形面积和原来正方形的面积相等．
（1）小明说：这太简单了，把正方形南北方向减少1米，在花坛东侧增加1米就行了．
这样得到的长方形的周长和面积与原来正方形的周长和面积都相等．你认为小明说的
对吗？请你说明理由．
（2）如果原来正方形的花坛边长是5米，在只保证面积不变的情况下，请你计算出改
11造后，向东扩展了多少米？
（3）如果正方形的花坛边长是a米，在只保证面积不变的情况下，请你用代数式表示
出改造后长方形的长．
【答案】（1）小明的说法不对，理由见解析；（2）向东扩展 米；（3）
【分析】
（1）理由平方差公式求出小明所得的图形面积，与原图形面积相比较即可得到答案；
（2）设向东扩展x米，根据题意得方程 ，解方程即可；
（3）利用长方形的面积公式计算即可
【详解】
解：（1）小明的说法不对，理由如下：
由题意得： ，
∴小明的说法不对；
（2）设向东扩展x米，
由题意得 ，
解得x= ，
答：向东扩展 米；
（3）改造后长方形的长为
【点睛】
此题考查了平方差计算公式与图形面积，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是
解题的关键
13．对于实数a，b，c定义一种新运算，规定
例如：
12（1）求 ；
（2）如图，在矩形ABFG和矩形BCDE中， ， ， ， ，
若 ， ．连接AF和AD，求图中阴影部分的面
积；
（3）若 ，求 的值．
【答案】（1）15；（2） ；（3）
【分析】
（1）根据新定义运算法则计算即可；
（2）根据新定义运算法则列出方程，得到 ，运用完全平方公式可得
，再把这两个条件代入阴影面积的代数式可得；
（3）根据新定义运算法则列出方程，配方得 ，根据非负数性质
可得．
【详解】
（1） =
故答案为：15
（2）
13又
（3）
，
【点睛】
考核知识点：新定义运算、乘法公式．熟练掌握完全平方公式是关键．
14．现定义运算，对于任意有理数a，b，都有 如：
， ．
（1）若 ，求x的取值范围；
（2）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，计算： ．
14【答案】（1）x的取值范围是 ；（2） .
【分析】
（1）根据新定义的运算方法进行计算即可，
（2）在理解新定义运算 的意义和转换方法，然后类推计算
即可．
【详解】
解：（1）∵xx-3，
∴ ，
．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
x的取值范围是 ．
（2）∵a-b<0，2b>0，b-a>0，2a-2b<0，
∴a-b<2b，b-a>2a-2b．
.
【点睛】
此题主要考查了整式的四则运算以及新定义运算的意义，理解新定义的运算方法是正
15确解答的前提．
15．如图1，用4个相同边长是 、 的长方形和中间一个小正方形组成的大正方形．
（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则 值为__________；则
的值为__________；
（2）若小长方形两边长为 和 ，则大正方形的边长为___________；
若满足 ，则 的值为__________；
（3）如图2，正方形 的边长是 ，它由四个直角边长分别是 ， 的直角三角
形和中间一个小正方形组成的，猜想 ， ， 三边的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）2，6；（2）5，17；（3） ，理由见解析
【分析】
（1）大正方形的边长为x+y，小正方的边长为x-y，由面积可求出正方形的边长；
（2）小长方形两边之和为正方形的边长，再由完全平方公式求解即可；
（3）根据大、小正方形和4个直角三角形的面积之间的关系得出结论．
【详解】
解：（1）∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ， ，
故答案为：2，6；
（2）大正方形的边长为 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：5，17；
16（3） ， ， 三边的数量关系为 ．
理由如下：由拼图可得，小正方形的边长为 ，
由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和可得，
，
即 ．
【点睛】
本题考查完全平方公式的几何背景，理清各个图形面积之间的关系是解决问题的关键，
用代数式表示各个部分的面积是得出结论的前提.
16．某同学用如图所示不同颜色的正方形与长方形纸片拼成了一个如图所示的正方形．
（1）①请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ．
②以上结果可以验证的乘法公式是 ．
（2）根据上面的结论计算：
①已知m＋n＝5， ，求mn的值．
②已知（2019−m）（2020−m）＝1010，求 的值．
【答案】（1）① ， ；② ＝ ；（2）①7；
②2021
【分析】
(1)①方法一：阴影部分面积为两个小正方形面积之和，分别求出两个小正方形面积然
后相加即可；方法二：阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积，分
别求出面积然后进行计算即可；②根据完全平方公式可以很容易得出答案；
(2)①根据完全平方公式进行相应的计算即可得到答案；②根据完全平方公式进行相应
的计算即可得到答案.
【详解】
17解：（1）①方法一：由题意可知阴影部分面积为两个小正方形面积之和
∴
方法二：由阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积
∴
②∵
∴
即验证的乘法公式为
（2）①∵m＋n＝5
∴
∵
∴
∴mn＝7
②∵（2019−m）（2020−m）＝1010，
∴
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的运用，解题的关键在于能够熟练掌握相关公式.
17．数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两
个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决
问题．
猜想发现：由 ； ； ；
； ；
18猜想：如果 ， ，那么存在 （当且仅当 时等号成立）．
猜想证明：∵
∴①当且仅当 ，即 时， ，∴ ；
②当 ，即 时， ，∴ ．
综合上述可得：若 ， ，则 成立（当日仅当 时等号成立）．
猜想运用：（1）对于函数 ，当 取何值时，函数 的值最小？最小值
是多少？
变式探究：（2）对于函数 ，当 取何值时，函数 的值最小？最小
值是多少？
拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，
检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同
的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为 （米2）．问：每间隔离房的长、宽各
为多少时，可使每间隔离房的面积 最大？最大面积是多少？
【答案】（1） ，函数 的最小值为2；（2） ，函数 的最小值为5；（3）
每间隔离房长为 米，宽为 米时， 的最大值为
【分析】
猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；
变式探究：将原式转换为 ，再根据材料中方法计算即可；
拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为 米，与墙垂直的边为 米，依题意列出方
程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最
19大值即可．
【详解】
猜想运用：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
此时 ，
只取 ，
即 时，函数 的最小值为2．
变式探究：
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴当 时， ，
此时 ，
∴ ， （舍去），
即 时，函数 的最小值为5.
拓展应用：
设每间隔离房与墙平行的边为 米，与墙垂直的边为 米，依题意得：
，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，
20整理得： ，
即 ，
∴当 时 ，
此时 ， ，
即每间隔离房长为 米，宽为 米时， 的最大值为 ．
【点睛】
本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的
两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属
于创新探究题．
18．有些同学会想当然地认为 ．
（1）举出反例说明该式不一定成立；
（2）计算 ；
（3）直接写出当 、 满足什么条件，该式成立．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】
（1）选一组使等式不成立的x、y值即可；
（2）利用多项式乘以多项式的运算法则进行推导计算即可；
（3）将x=y代入等式中即可解答．
【详解】
解：（1）令 ， ，（反例不唯一）
∵ ， ， ，
∴该等式不一定成立；
（2）
=
= ，
21即
（3）将 代入 中，
得： ， ，0=0，
∴当 、 满足x=y时，该式成立．
【点睛】
本题考查整式的混合运算、完全平方公式，熟练掌握整式的混合运算是解答的关键．
19．计算：
（1）8x2y2÷2y2；
（2）（﹣2a2）3+4a5•a；
（3）（x+2y）2﹣2y（2x+y）；
（4） ；
（5） ；
（6） ．
【答案】（1）4x2；（2）-4a6；（3）x2+2y2；（4） ；（5） ；（6） ．
【分析】
（1）根据单项式除以单项式可以解答本题；
（2）根据积的乘方、单项式乘单项式和合并同类项可以解答本题；
（3）根据完全平方公式、单项式乘多项式可以解答本题；
（4）根据分式的减法和除法可以解答本题；
（5）根据分式的除法和减法可以解答本题；
（6）根据分式的减法和除法可以解答本题．
【详解】
解：（1）8x2y2÷2y2=4x2；
（2）(-2a2)3+4a5•a
=(-8a6)+4a6
=-4a6；
（3）(x+2y)2-2y(2x+y)
22=x2+4xy+4y2-4xy-2y2
=x2+2y2；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
【点睛】
本题考查分式的混合运算、整式的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算
23方法．
20．长方形ABCD和正方形CEFH，按如图所示的方式叠放在一起，且长方形ABHG
与长方形DEFG的周长相等（其中点D在EC上，点B在CH的延长线上，AD和FH
相交于点G），正方形CEFH的边长为m，长方形ABCD的宽为x，长为y（x＜m＜
y）．
（1）写出x，y，m之间的等量关系；
（2）若长方形ABHG的周长记作C ，长方形DEFG的周长记作C ．
1 2
①求C ＋C 的值（用含y、m的代数式表示）；
1 2
②若关于y的不等式C ＋C ＜10-2m的正整数解只有2个，求m的取值范围；
1 2
（3）若长方形ABHG的面积记作S，长方形DEFG的面积记作S，试比较2S 与S 的
1 2 2 1
大小，并说明理由．
【答案】（1）2x+y=3m；（2）①2m+2y；②1≤m< ；（3）2S>S
2 1
【分析】
（1）根据长方形ABHG与长方形DEFG的周长相等列式求解即可；
（2）①把长方形ABHG与长方形DEFG的周长相加整理即可；②根据C ＋C ＜10＋
1 2
2m列式求解；
（3）分别表示出S，S，然后用作差法比较；
1 2
【详解】
解：（1）长方形ABHG的周长=2x+2(y-m)=2x+2y-2m，长方形DEFG的周长=2m+2(m-
x)=4m-2x，
∵长方形ABHG与长方形DEFG的周长相等，
∴2x+2y-2m=4m-2x，
∴2x+y=3m；
（2）①C ＋C =2x+2y-2m+4m-2x=2m+2y；
1 2
②由C ＋C ＜10-2m，得
1 2
2m+2y＜10-2m，
∴y<5-2m，
∵C ＋C ＜10-2m的正整数解只有2个，
1 2
24∴2<5-2m≤3，
∴1≤m< ；
（3）∵S=x(y-m)=xy-xm，S=m(m-x)=m2-mx，
1 2
∴2S-S= 2m2-2mx- xy+xm，
2 1
∵2x+y=3m
∴y=3m-2x
∴2S-S=2m2-2mx- x(3m-2x)+xm
2 1
=2m2-4mx+2x2
=2(m-x)2，
∵x＜m＜y，
∴2(m-x)2>0，
∴2S>S．
2 1
【点睛】
本题考查了整式混合运算的应用，解一元一次不等式，根据题意正确列出算式是解答
本题的关键．
21．若一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，则称m为“方和数”．
（1）100 “方和数”，110 “方和数”；（填写“是”或“不是”）
（2）以下两个判断，正确选项的序号是 ．
①两个“方和数”的和是“方和数”； ②两个“方和数”的积是“方和
数”．
【答案】（1）是，不是；（2）②
【分析】
（1）根据“方和数”的概念计算求解；
（2）①举反例进行分析说明；
②根据方和数的概念，结合完全平方公式进行计算求解．
【详解】
解：（1）100=36+64=62+82，
∴100是“方和数”，
110不能写成两个正整数的平方和的形式，
∴110不是“方和数”，
故答案为：是，不是；
（2）①两个“方和数”的和不一定是“方和数”，
比如：2=12+12，13=22+32，
25∴2和13都是“方和数”，但2+13=15，
而15不能写成两个正整数的平方和的性质，
∴15不是“方和数”，故①错误；
②设两个方和数分别为m，n，
设m=a2+b2，n=c2+d2（a，b，c，d均为正整数），
∴mn=（a2+b2）（c2+d2）
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2+2abcd-2abcd
=（ac+bd）2+（ad+bc）2，
∴mn是“方和数”，故②正确，
故答案为：②．
【点睛】
本题属于新定义题目，考查有理数的乘方运算，理解题意，掌握完全平方公式的结构
特点是解题关键．
22．通过课堂的学习知道，我们把多项式 及 叫做完全平方式，
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如
， ，像这
样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的
方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似
不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、
最小值等等，如：因为 ，可知当 时， 的最小
值是 ．
请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：
（1）因式分解： ；
（2）已知a是任何实数，若 ， ，通过计算判断M、
N的大小关系；
（3）如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为8
米．设与墙壁垂直的一边长为x米，
26①试用x的代数式表示菜园的面积；
②求出当x取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？
【答案】（1） ；（2）M＞N；（3）① ；②当x=6时，菜园面积
最大，最大面积为48平方米
【分析】
（1）根据完全平方公式把原式变形，根据平方差公式进行因式分解；
（2）计算M-N并配方，根据结果判断即可；
（3）①根据长方形的面积公式计算即可；
②将①中结果进行配方，根据结果利用非负数的性质．
【详解】
解：（1）
=
=
= ；
（2）M-N=
=
=
=
=
= ＞0，
∴M＞N；
（3）①由题意可得：
菜园的面积= = ；
27②由题意可得：
0＜20-2x≤8，
解得：6≤x＜10，
= = = ，
∴当x=6时，菜园面积最大，最大面积为48平方米．
【点睛】
本题考查的是完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的
性质解答是解题的关键．
23．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方
法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，也
称为富比尼（G．Fubini）原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面
积可以得到一个数学等式．
（教材片段）：计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是 ，
如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为 ，由
此得到： ．
28（1）如图2，用不同的代数式表示大正方形的而积，由此得到的等式为__________；
（用a、b表示）
（2）利用上面结论解决问题：若 ，则 __________；
（3）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为__________；
（用a、b、c表示）
（4）利用上面结论解决问题：已知 ，则
__________；
（5）如图4，用不同的代数式表示大正方形的面积（里面是边长为c的小正方形），
由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示）
（6）若 ，请通过计算说明a、b、c满足上面结论．
【答案】（1） ；（2）28；（3）
；（4）21；（5） ；（6）见解析
【分析】
（1）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；
（2）由（1）得到 ，再将已知等式代入计算即可；
（3）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；
（4）根据（3）中结论，将已知等式代入计算即可；
（5）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；
（6）分别计算出 ， ， ，根据整式的混合运算法则可得结论．
【详解】
解：（1）大正方形整体表示面积为： ，
29大正方形部分和表示面积为： ，
∴由此可得等式为： ；
（2）由（1）可得：
，
∴x+y=6，xy=2，
∴ ，
∴ ；
（3）大正方形面积整体表示为： ，
大正方形面积部分和表示为： ，
故由此可得公式为：
；
（4）∵a+b+c=7，ab+bc+ac=14，
∴由（3）可得：
，
∴ ；
（5）由题可得：
大正方形面积整体表示为： ，
大正方形面积部分和表示为： ，
∴ ，
∴ ；
（6）∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
30∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，用
不同的方式表示出同一个图形的面积，解题时注意数形结合思想的运用．
24．同学们，在数学课本第9章《整式乘法与因式分解》里学习了整式乘法的完全平
方公式，还记得它是如何被发现的吗？
（苏科版教材P75页）计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是
，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为
，由此得到： ．
（类比探究（1））：
如图2，正方形 是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，
用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是_______（用a，b表示）
（应用探索结果解决问题）：
已知：两数x，y满足 ， ，求 的值．
（类比探究（2））：
如图3，正方形 的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中
间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的式子是_________．（用
a，b，c表示，结果尽可能化简）
（应用探索结果解决问题）：正方形 的边长是c，它由四个直角边长分别是a，
b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，当 时， ；当
， 时， ，求x，y的值．
【答案】[类比探究（1）]： ，±5；[类比探究（2）]：
31；[应用探索结果解决问题]： ．
【分析】
[类比探究（1）]根据正方形 的面积 ，正方形 的面积
，即可得出 ；据此可得 的值．
[类比探究（2）]根据正方形 的面积 ，正方形 的面积 ，
即可得出 ；
[应用探索结果解决问题]根据 可得关于 ， 的方程组，求得 ， 的值．
【详解】
解：（1）如图2，正方形 的面积 ，
正方形 的面积 ，
；
，且 ， ，
，
即 ，
的值为 ；
（2）如图3，正方形 的面积 ，
正方形 的面积 ，
，
即 ，
当 ， 时， ；当 ， 时， ，
32，
解得 ．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景以及解二元一次方程组，解决问题的关键是
运用面积法得出完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．解题时注意数形结合思想的运用．
25．（知识生成）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以
得到一个恒等式．如图1，在边长为 的正方形中剪掉一个边长为 的小正方形 ．
把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：
a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相
同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)；
（拓展探究）图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个
小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1： ，方法2： ；
（2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的的等量关系式是
；
（3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝ ；
（知识迁移）
（4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根
据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式： ．
33【答案】（1）（a-b）2，（a+b）2-4ab；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2；（3）80；
（4）x3-x=x（x+1）（x-1）
【分析】
（1）利用直接和间接的方法表示出阴影部分面积；
（2）由阴影部分面积相等可得结果；
（3）直接根据（2）的结论代入求值即可；
（4）分别求得图中几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等列出恒等式即可．
【详解】
解：（1）方法1：直接根据正方形的面积公式得，（a-b）2，
方法2：大正方形面积减去四种四个长方形的面积，即（a+b）2-4ab；
（2）由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；
（3）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，
可得：102-4×5=（a-b）2，
∴（a-b）2=80；
（4）∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x，新几何体的体积=x（x+1）（x-1），
∴恒等式为x3-x=x（x+1）（x-1）．
【点睛】
本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式
是解题的关键．
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