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专题02 配方法的应用
类型一 配方法求字母的值
1．如果 ，求 的值．
2．阅读下列材料：对于某些二次三项式可以采用“配方法”来分解因式，例如：把x2 + 6x﹣16分解因式，
我们可以这样进行：
x2 + 6x﹣16
=x2 +2·x·3+32-32﹣16（加上32，再减去32）
=(x+3)2-52（运用完全平方公式）
=(x+3+5)(x+3﹣5) （运用平方差公式）
=(x+8)(x﹣2)（化简）
运用此方法解决下列问题：
（1）把x2﹣8x﹣9分解因式．
（2）已知：a2+b2﹣6a+10b+34＝0，求多项式4a2 +12ab+9b2的值．
3．已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，当b≥0，－2≤c＜1时，整数a的值是_____．
4．若a＝x＋19，b＝x＋20，c＝x＋21，则a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝___________．
5．阅读材料：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0
∴m+n＝0且n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
根据你的观察，探究下面的问题：（1）若x2+2xy+2y2﹣2y+1＝0，求x、y的值；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+12b﹣61，且△ABC是等腰三角形，求c的值．
6．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标(x，y)的个数为_____．
7．阅读下面的材料：
若 ，求 ， 的值．
解： ．
．
．
， ．
， ．
根据你的观察，探究下列问题：
（1）已知等腰三角形 的两边长 ， ，都是正整数，且满足 ，求 的
周长；
（2）已知 ， ，求 的值．
类型二 配方法求最值
8．已知 （x，y均为实数），则y的最大值是______．
9．已知实数m，n满足 ，则代数式 的最小值等于___________．
10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提
出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为 ， ， ，记 ，则其面积
．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若 ， ，则此三角形面积的
最大值是_________．
11．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方
法叫做配方法．如：对于 ．
(1)用配方法因式分解： ；(2)对于代数式 ，有最大值还是最小值？并求出 的最大值或最小值．
12．阅读下面的解答过程，求y2＋4y＋5的最小值．
解：y2＋4y＋5＝y2＋4y＋4＋1＝（y＋2）2＋1
∵（y＋2）2≥0，即（y＋2）2的最小值为0
∴y2＋4y＋5＝（y＋2）2＋1≥1
∴y2＋4y＋5的最小值为1
仿照上面的解答过程，求：
（1）m2﹣2m＋2的最小值；
（2）3﹣x2＋2x的最大值．
13．配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：求﹣3（a+1）2+6的最值．
解：∵﹣3（a+1）2≤0，∴﹣3（a+1）2+6≤6，∴﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a＝﹣1．
(1)当x＝ 时，代数式2（x﹣1）2+3有最 （填写大或小）值为 ．
(2)当x＝ 时，代数式﹣x2+4x+3有最 （填写大或小）值为 ．
(3)如图，矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当垂直于墙的一边长为多少时，
花园的面积最大？最大面积是多少？
类型三 配方法在几何图形中的应用
14．如图，∠ABC＝90°，AC＝6，以AB为边长向外作等边△ABM，连CM，则CM的最大值为
________________．
15．已知点P的坐标为（2，3），A、B分别是x轴、y轴上的动点，且 ，C为AB的中点，当
OC最小时则点B的坐标为____．16．已知：如图，在 中， ， ．点 从点 开始沿 边向点 以 的
速度移动，同时点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动．
（1）求几秒后， 的面积等于 ？
（2）求几秒后， 的长度等于 ？
（3）求几秒后， 的长度能取得最小值，其最小值为多少 ？
17．配方法在初中数学中运用非常广泛，可以求值，因式分解，求最值等．如：求代数式的最值：
，在 时，取最小值1（1）求代数式 的最小值．
（2） 有最大还最小值，求出其最值．
（3）求 的最小值．
（4） 的最小值．
（5）三角 和三角形 的面积分别为4和9，求四边形 的面积最小值．
