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专题 03 超难考点之角的双中模型与角的动边（五
大考点）
实战训练
一．角的双中模型
1．如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝110°，OM平分∠AOC，∠MON＝90°
（1）求∠BOM的度数；
（2）ON是∠BOC的角平分线吗？请说明理由．
2．如图1，OM是∠BOC的角平分线，ON是∠AOC的角平分线，且∠AOB＝76°．
（1）求∠MON的度数；
（2）当OC在∠AOB内另一个位置时，∠MON的值是否发生变化？若不变化，请你在图2中画
图加以说明；（3）由（1）、（2）你发现了什么规律？当OC在∠AOB外的某一个位置时，你发现的规律还
成立吗？请你在图3中画图加以说明．
3．已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线．OC是∠AOB内部的一条射线，若∠DOC＝
20°，∠AOE＝25°，则∠BOC的度数为（ ）
A．90° B．100° C．80° D．70°
二．角的动边之求度数
4．如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是
∠AOC，∠BOD的角平分线．
（1）当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2），则∠MON的大小为
；
（2）如图3，在（1）的条件下，继续绕着点 O逆时针旋转∠COD，当∠BOC＝10°时，求
∠MON的大小，写出解答过程；
（3）在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON＝ °．
5．（1）已知OA⊥OC，∠BOC＝30°，且OD、OE分别为∠AOB、∠BOC的角平分线，请求出∠DOE度数．
（2）如果把（1）中“∠BOC＝30°”改成“∠BOC＝x（0°＜x＜90°）”，其他条件都不变，则
∠DOE度数变化吗？请说明理由．
6．将一副直角三角板ABC，AED，按如图1放置，其中B与E重合，∠BAC＝45°，∠BAD＝30°．
（1）如图1，点F在线段CA的延长线上，求∠FAD的度数；
（2）将三角板AED从图1位置开始绕A点逆时针旋转，AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平
分线．
①如图2，当AE旋转至∠BAC的内部时，求∠MAN的度数；
②当AE旋转至∠BAC的外部时，直接写出∠MAN的度数．
三．角的动边之角的数量关系
7．有公共顶点的两个角，∠AOB＝∠COD，且OE为∠BOC的角平分线．
（1）如图1，请探索∠AOE和∠DOE的大小关系，并说明理由；
（2）如图2，∠AOE和∠DOE是否仍然满足（1）中关系？请说明理由；
（3）若∠AOB＝90°，∠AOC＝64°，求出∠BOE的度数．8．如图，直线SN与直线WE相交于点O，射线ON表示正北方向，射线OE表示正东方向．已知
射线OB的方向是南偏东m°，射线OC的方向是北偏东n°，且m°的角与n°的角互余
（1）①若m＝50，则射线OC的方向是 ；
②图中与∠BOE互余的角有 与∠BOE互补的角有 ．
（2）若射线OA是∠BON的角平分线，则∠BOS与∠AOC是否存在确定的数量关系？如果存在，
请写出你的结论以及计算过程；如果不存在，请说明理由．
9．数学课上，同学们遇到这一个问题：
如图1，已加∠AOB＝ （90°＜ ＜180°），∠COD＝ （0＜ ＜45°），OE、OF分别是∠AOD
与∠BOC的角平分线，α请同学们α根据题中的条件提出问β 题，大β家一起来解决（本题出现的角均
小于平角）．同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小强说：“如图2，若OC与OA重合，且 ＝120°， ＝30°时，可求∠EOF的度数”．
小伟说：“在小强提出问题的前提条件下，α 将∠COβD的OC边从OA边开始绕点O逆时针转动
∠BOE−∠DOF
m°（0＜m＜30），可求出 的值”；
∠EOF
老师说：“在原题的条件下，借助射线OC、OD的不同位置可得出 、 、∠EOF三者之间的数
量关系．” α β
…
（1）请解决小强提出的问题；
（2）在备用图1中，补充完整的图形，并解决小伟提出的问题；
（3）在备用图2中，补充完整的图形，并解决老师提出的问题，即求出 、 、∠EOF三者之间
的数量关系． α β
四．角的动边之存在性
10．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°，将一个含30°角的三角板的
直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角
板旋转的角度为 ；
（2）继续将图2中的三角板绕点O逆时针旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部，试探
究∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由．
（3）若三角板从图1开始绕点O按每秒30°的速度逆时针旋转270°，在这个过程中，是否存在
OM所在的直线平分∠BOC和∠AOC中的一个角，ON所在的直线平分另一个角的时刻？若存在，
直接写出旋转时间；若不存在，请说明理由．11．已知D为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
（1）如图1，若∠COF＝18°，则∠BOE＝ ；若∠COF＝m°，则∠BOE＝ ；
∠BOE与∠COF的数量关系为 ．
（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的数量关系是
否仍然成立？如成立，请写出关系式并写出推理过程；如不成立，请说明理由．
（3）在图3中，若∠COF＝70°，在∠BOE的内部是否存在一条射线 OD，使得2∠BOD与
∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半？若存在，请求出∠BOD的度数；若不存在，请说
明理由．
12．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中
∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上
方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间
数量关系为 ；
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°．
①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线
所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；
②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值．13．如图1，∠AOB＝120°，∠COE＝60°，OF平分∠AOE
（1）若∠COF＝20°，则∠BOE＝ °
（2）将∠COE绕点O旋转至如图2位置，求∠BOE和∠COF的数量关系
（3）在（2）的条件下，在∠BOE内部是否存在射线OD，使∠DOF＝3∠DOE，且∠BOD＝
∠DOF
70°？若存在，求 的值，若不存在，请说明理由．
∠COF
14．如图 1，直线 DE 上有一点 O，过点 O 在直线 DE 上方作射线 OC．将一直角三角板 AOB
（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE
上方．将直角三角板绕着点O按每秒10⁰的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间
有何数量关系？并说明理由．
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．
①则当旋转时间t＝ 秒时，边AB所在的直线与OC平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射
线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3），求∠AOC﹣∠BOE的值．
五．新定义
15．【阅读理解】
1
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA= ∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友
3
1
好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC= ∠AOB，
3
1
称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD= ∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
3
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝ °；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，
射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，
运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请
说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出
答案）
16．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一
个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的角平分线 这个角的奇妙线．（填是或不是）
（2）如图2，若∠MPN＝60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，
当∠QPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．
①当t为何值时，射线PM是∠QPN的奇妙线？
②若射线PM同时绕点P以每秒6°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止旋转．请求出当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值．
17．【阅读新知】
如图①，射线OC在∠AOB内，图中共有三个角∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的
度数是另一个角的度数的2倍，则称射线OC是∠AOB的“巧线”．
【理解运用】
（1）∠AOB的角平分线 这个角的“巧线”；（填“是”或“不是”）
（2）若∠AOB＝90°，射线OC是∠AOB的“巧线”，则∠AOC的度数是 ．
【拓展提升】
如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器
180°刻度线重合，将三角板ABP绕量角器中心点P以每秒5°的速度顺时针方向旋转，当边PB与
0°刻度线重合时停止运动，设三角板ABP的运动时间为t秒．
（3）求t何值时，射线PB是∠CPD的“巧线”？
（4）若三角板ABP按照原来方向旋转的同时，三角板PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针方
向旋转，此时三角板ABP绕点P旋转的速度比原来每秒快了3°．当三角板ABP停止旋转时，三
角板PCD也停止旋转，问：在旋转过程中，是否存在某一时刻t，使三条射线PB、PC、PD中，
其中一条恰好是以另两条组成的角的“巧线”？若存在，请直接写出t的值．若不存在，请说明
理由．18．【阅读理解】
1
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA= ∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随
2
1
线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC= ∠BOC，称射
2
1
线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD= ∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．
2
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝ °，若∠AOB
的度数是 ，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是
．（用含 α的代数式表示）
（2）如图α3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，
射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，
运动停止．
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请
说明理由．
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
