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期末重难点特训之压轴满分题型（110题19个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
压轴满分题一、二次根式的分母有理化问题
1．（24-25八年级下·云南大理·期中）阅读与思考
把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化，通常把分子、分母同时乘一个不等
于0的数，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简 ．
解： ．
(1)化简 ；
(2)请根据你的猜想，归纳，运用规律计算： ．
2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）【发现】
我们将 称为一对“对偶式”，因为 ，所以
构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将 和 中的“ ”去掉，于是二次根式除法可以
这样解：如 ，像这样，通过分子，分母同乘以一
个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
【应用】
(1) 的对偶式是 ， 分母有理化得 ．(2)①计算：
②已知： ，求 的值．
3．（24-25八年级下·福建厦门·期中）在解决问题“已知 ，求 的值”时，小明是这样
分析与解答的：
，
， ， ，
， ．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)比较大小： 与 ；
(2)若 ，且 ，求a的值；
(3)若 ， ，求 的值．
4．（24-25八年级下·北京·期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与
分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 和 的大小．可以先将它们分子有理化如下：
， ，
因为 ， ．
再例如：求 的最大值．做法如下：
解：由 ， 可知 ，而 ，
当 时，分母 有最小值 ，所以 的最大值是 ．
解决下述问题：
(1) ________；
(2)比较 和 的大小；
(3)求 的最大值．
5．（24-25八年级下·广东惠州·期中）阅读理解：
[材料一]两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理
化因式，例如： ， ，我们称 的一个有理化因式是 ，
的一个有理化因式是 ．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘
分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ，
．[材料二]小明在学习了上述材料后，结合所学知识，灵活解决问题：已知 ，求 的值，
他是这样分析与解答的：∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ．
请你根据材料中的方法，探索并解决下列问题：
(1) 的一个有理化因式是 ，分母有理化： ；
(2)计算： ；
(3)若 ，求 的值．
压轴满分题二、二次根式运算的规律性问题
6．（24-25八年级下·全国·课后作业）观察下列各式：
，即 ：
，即 ：
，即 ．
(1)根据你发现的规律填空：
_____________ _____________，即 _____________；(2)猜想 （ ，n为自然数）等于什么，并验证你的猜想．
7．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）观察下列各式及验证过程
验证：
，验证： ；
，验证： …．．
(1)按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想 ____________；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用第 个（ 的自然数）表示的等式，并进行验证；
(3)直接写出： ____________．
8．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”
的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：
等式①： ；等式②： ；
等式③： ；等式④：______________；……
(1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整；
(2)【归纳猜想】若 为正整数，用含 的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；
(3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式 （ 均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______．
9．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）【观察思考】
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
【规律发现】
（1）①直接写出第4个等式： ；
②如果 为正整数，用含 的式子表示上述的运算规律： ．
【规律证明】
（2）证明②中的运算规律．
【规律应用】
（3）根据上述规律，化简： ．
10．（23-24八年级下·河北·期中）数学活动课上，同学们根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经
验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当 ， 时， 与 的大小关系”．
下面是探究过程．
①具体运算，发现规律：
当 ， 时，
特例1：若 ，则 ；特例2：若 ，则 ；
特例3：若 ，则 ；
②观察、归纳，得出猜想：
当 ， 时， ．
③证明猜想：
当 ， 时，
，
，
当且仅当 时， ．
请你利用发现的规律，解答以下问题．
(1)当 时， 的最小值为 ．
(2)当 时， 的最小值为 ．
(3)当 时， 的最大值为 ．
压轴满分题三、平行四边形的翻折问题
11．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图， 中，把 沿 翻折得到 ， 、 相
交于点F．
(1)求证： ；
(2)连接 交 于点O，连接 ，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形．12．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）已知，在平行四边形ABCD中，BD＝BC，E为AD边的中点，连
接BE；
（1）如图1，若AD⊥BD， ，求平行四边形ABCD的面积；
（2）如图2，连接AC，将△ABC沿BC翻折得到△FBC，延长EB与FC交于点G，求证：∠BGC＝
∠ADB．
13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，四边形 是平行四边形，延长 至点 ，使得
，连接 和 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)如图2，将 沿直线 翻拆点 刚好落在线段 的中点 处，延长 与 的延长线相交于点
，并且 和 交于点 ，试求线段 、 、 之间的数量关系；
(3)如图3，将 沿直线 翻折，点 刚好落在线段 上的点 处，若 ， ，且
，求 的面积．14．（24-25八年级上·山东济南·期末）我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的
中点翻折，还会发现新的结论．
【实践探究】
（1）在 中，点 为 的中点， 沿着 向上折叠，点 落在 处，连接 并延长交
于点 ．判断四边形 的形状，并说明理由；
【拓展应用】
（2）连接 ，兴趣小组发现 ，若 ， ，求 的长．
15．（23-24八年级下·广东茂名·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了 的折纸活动， 是
边上的一动点， 是 边上的一动点，将 沿直线 折叠，使点 落在 边上的点 处，
点 的对应点为点 ，连接 ．
(1)【观察发现】如图1，若 ， ， ，求 的长；
(2)【操作探究】如图2，当点 落在 的延长线上时，求证：四边形 为平行四边形．
压轴满分题四、平行四边形存在性问题
16．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在 中 ， ，(1)求 度数．
(2)点 是 上的动点，将 沿直线 翻折等到 ，则线段 是否存在最小值？存在则求出
最小值，不存在请说明理由．
(3)在（2）的条件之下，点 是线段 上的动点，连接 ， ， 是否存在最小值？存在则求
出最小值，不存在请说明理由．
17．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在平面直角坐标系中， 是 轴的正半轴上一点，点 、
分别在 轴的负半轴上和正半轴上， 、 、 的长满足 ，过点
作直线 的垂线，交 于点 ．
(1)求出点 、 、 的坐标；
(2)求线段 的长；
(3)在平面内是否存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（23-24八年级下·山西晋中·期末）综合与探究：如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是平
行四边形，已知 ， ．将 先向右平移4个单位后，再向下平移 个单位，得到
．(1)请你直接写出点 ， 的坐标；
(2)平行四边形 与 的重叠部分的形状是_____，重叠部分的面积是_____；
(3)在平面内是否存在一点D，使得以O， ， ，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D
的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）在 中， ，点 是 平面内一点，过点 作
交直线 于 ， 交直线 于点 ．
(1)如图①，当点 在边 上时，通过观察，得线段 ， ， 之间的数量关系是 ；
(2)当点 在 的延长线或反向延长线上时，如图②、如图③，此时， ， ， 分别存在怎样的数
量关系？请写出来，并选择一个加以证明．
(3)如图④，当点 是 内一点，过 作 ， 分别交边 ， ， 于点 ， 和
．试猜想线段 ， ， 与 之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）．
(4)当点 在直线 上时，若 ， ，求 的长．
20．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）定义1：只有一组对边平行的四边形是梯形．平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底，另外两边叫腰．
定义2：如果梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么这个梯形叫和等梯形，这条对角线叫和等线．
【概念理解】
(1)如图1，在梯形 中， ，四边形 _______（填
“是”或“不是”）和等梯形；
(2)如图2，在矩形 中， ，点E在AB上， ，若在 上存在点P使得四边形 是和
等梯形，求 的长；
【探索发现】
(3)如图3，四边形 是以 为和等线的和等梯形， ， 、 交于点O，请判别 的
形状，并说明理由：
【灵活运用】
(4)如图4，点E在平行四边形 的边 上，在边 上找一点P，使得四边形 是以 为和等
线的和等梯形．
要求：借助直尺和圆规用两种方法作出点P，不写作法，保留作图痕迹．
压轴满分题五、平行四边形动点问题
21．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图， 中， ， ， ， 是 中
点， ，动点 以每秒 个单位长的速度从点 出发向点 移动，连接 并延长在 交于点 ，点 移动时间为 秒．
(1)求 与 间的距离；
(2) 为何值时，四边形 为平行四边形；
(3)直接写出 为何值时， ．
22．（24-25八年级上·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了 的折纸活动， 是
边上的一动点， 是 边上的一动点，将 沿直线 折叠，使点 落在 边上的点 处，
点 的对应点为点 ，连接 ．
(1)【观察发现】如图1，若 ， ， ，则 ___________， ___________．
(2)【操作探究】如图2，当点 落在 的延长线上时，求证：四边形 为平行四边形．
23．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点O，M，
N分别为射线 ， 上的两个动点（点M，N始终在平行四边形 的外面），连接 ， ，
， ．(1)若 ， ，求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 ， ，
①四边形 为平行四边形吗？请说明理由；
②当 时， ，直接写出四边形 的面积．
24．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）（1）如图1，在四边形 中， ， ，
，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段 向点D运动；点Q从C点出发以每秒
2cm的速度沿 方向运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动
了x秒（x>0），求当x为多少秒时，四边形 变为平行四边形．
（2）如图2，若四边形 变为平行四边形 ， ，动点P从A点出发．以每秒1cm
的速度沿线段 向D点运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在 间往返运动，当P点到达D点
时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发．并运动了t秒（t>0）．求当t为多少秒时，以P、
D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形．
25．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）问题提出：（1）如图 ，等腰 中， ，
， 是 的中点， 是 边上的高， 是 上的一动点，则 的最小值为______；问题探究：（2）如图2，在平行四边形 中， ， ， ， ， 是 边上的
动点，且 ，则 的最小值是多少？
问题解决：（3）如图 是夹角为 的港湾（ ）， 岸上有一个码头 ，湾内有个小岛 ，
，小岛 与 的距离为 ，与 的距离为 ．现拟在 ， 岸上设置 ， ，
三处游客接驳点，点 在 上，点 ， 在 上，且为了游客方便及安全， ， 之间的距离为
，客船从码头 出发，沿 前行，最终到达小岛 ，请问，根据两岸接驳点的
安排，是否存在最短的运输路线？若存在，请求出最短运输路线长；若不存在，请说明理由．
压轴满分题六、二次根式的综合应用
26．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）设一个三角形的三边长分别为a，b，c， ，则
有海伦公式： ，秦九韶公式： ．
(1)若一个三角形的三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个
三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵三角形的三边长依次为5，6，7，即 ．
_______， _______；
(2)请你运用秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长依次是 ， ，3，求这个三角形的面积．
27．（24-25八年级上·北京顺义·期中）阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻
名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式，如果一个三角形的三边长分别为 ，记，则三角形的面积 ，此公式称为“海伦公式”．
思考运用，已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得 ，你能求出李大爷这
块菜地的面积吗？试试看．
28．（24-25八年级下·山东临沂·期中）（1）请用：“ ”、“ ”、“ ”填空：
① ______ ；② ______ ；③ ______ ．
（2）由（1）中各式猜想 与 （ ， ）的大小关系，并说明理由．
（3）学以致用：某园林设计师要用篱笆围成一个矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体
（墙体足够长），为了围成面积为 的花圃，所用的篱笆至少是多少米？
29．（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）综合与实践
问题情境：学校计划利用长和宽分别为 和 的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于
存储备用实验材料，欣欣和畅畅设计了两种不同的裁剪焊接方案．
欣欣的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，分得的每一块都在其四个直角处剪掉四个小
正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为正方形的无盖长方体铁箱．
畅畅的方案：如图2，先将铁片在中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别
沿着虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为长方形的无盖长方体铁箱．(1)若欣欣的方案中剪掉的小正方形的边长为 ，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积．
(2)若畅畅的方案中正方形②的边长为 ，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积．
(3)若这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是 ，则___________的方案中制作的无盖长方体铁箱
的体积更大．（填“欣欣”或“畅畅”）
30．（23-24八年级下·广西百色·期中）【综合与实践】
摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过
观察实验室的摆钟发现：摆钟的摆球的摆动快慢与秒针的走动，摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是
他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是： ，
其中T表示周期(单位：s)，l表示摆线长(单位：m)， ，π是圆周率．(π取3.14，摆线长精确到
0.01米，周期精确到0.01s，参考数据： ， )
【思考填空】
（1）通过上面的计算公式我们知道了：摆球的快慢只与摆线的长短有关，摆线越长，周期越______(填
“长”或“短”)，摆得越______；(填“快”或“慢”)
【实践与计算】（2）若一个摆钟的摆线长为 ，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数
该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．
请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声；
（3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准
确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间
1s，求该摆钟的摆线长．
压轴满分题七、菱形的性质和判定综合应用
31．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）在四边形 中，对角线 相交于点 ，E，F，G，
H分别是 的中点．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ，求证：四边形 是菱形．
32．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，这是一个 的正方形网格，每个小正方形的边长均为
1个单位长度，小正方形的顶点叫做格点．点A，B均在格点上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，
按下列要求作图．
(1)在图1中，以 为边作菱形 （除正方形之外）．
(2)在图2中，以 为对角线作平行四边形 ，且其面积为3．33．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）已知，如图，在 中， ，D是 的中点，
，
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)连接 交 于G，连接 交 于H，连接 ，求证： ．
34．（24-25八年级下·北京·期中）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
求作：菱形 （点E在 上，点F在 上）．
作法：①以A为圆心， 长为半径作弧，交 于点F；
②以B为圆心， 长为半径作弧，交 于点E；
③连接 ．
所以四边形 为所求作的菱形．
根据小明的做法完成下面的证明；
证明： ， ， ______＝______．
在 中， ，即 ，
四边形 为______（____________）（填推理的依据），
， 四边形 为______（____________）（填推理的依据）．
35．（24-25八年级下·重庆·期中）在学习了菱形的相关知识后，小花进一步研究发现：菱形 中，对
角线 ， 交于点O，若 ， 的平分线分别交 于点E，F，连接 ， ，则四边形是菱形．可利用菱形的性质以及三角形全等的知识来证明这个结论．根据她的想法与思路，完成以
下作图和填空：
(1)用尺规完成以下基本作图：如图，已知 平分 ，作 的平分线交 于点F，连接 ，
．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，为了证明四边形 是菱形，小花的想法为：先证明 ，再利用对
角线互相垂直的平行四边形是菱形得到结论，请根据小花的想法完成下面的填空．
证明： 四边形 为菱形，
， ， ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
① ，
在 与 中，
，② ， ，
，
③ ，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是菱形，
进一步探究发现：如果四边形 是平行四边形，那么四边形 是④ ．
压轴满分题八、正方形的性质和判定综合应用36．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在正方形 中， 是对角线 上一点，连接 ，
延长 交 于点 ．若 ，求 的度数．
37．（24-25八年级下·山东威海·期中）点P在四边形 的对角线 上，连接 ， ，点E在边
的延长线上，且 ．
(1)如图Ⅰ，若四边形 是正方形，求证： ；
(2)如图Ⅱ，若四边形 是菱形， ，求 的度数．
38．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）在正方形 中，E是 边上一点（点E不与点B，C重合），
，垂足为点E， 与正方形的外角 的平分线交于点F．
(1)如图1，若点E是 的中点，猜想 与 的数量关系是________．证明此猜想时，可取 的中点
P，连接 ．根据此图形易证 ．则判断 的依据是______
(2)点E在 边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．②如图3，连接 ，若正方形 的边长为4，求 周长的取值范围
39．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，已知四边形 为正方形．E为对角线 上一动点（不
与点A，C重合），连接 ，过点E作 ，交 于点F，以 为邻边作矩形 ，连接
．
(1)如图1，求证：矩形 是正方形；
(2)如图2，已知正方形 的边长为2，当 时，
①求 的长；
②记 的面积为 ， 的面积为 ，则 ________．
40．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动．
【操作判断】
（1）如图①，将边长为 的正方形 对折，使点D与点B重合，得到折痕 ．打开后，再将正
方形 折叠，使点D落在边 上的点P处，得到折痕 ，折痕 与折痕 交于点Q．打开铺平，连接 ．若点P的位置恰好使得 ．
① ；
②求 的长；
【探究提炼】
（2）如图②，若（1）中的P是 上任意一点，求 的度数；
【理解应用】
（3）如图③，某广场上有一块边长为 的菱形草坪 ，其中 ．现打算在草坪中修建步
道 和 ，使得点M在 上，点N在 上，且 ．请问：步道
所围成的 （步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，
说明理由．
压轴满分题九、矩形的性质和判定综合应用
41．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方形 的周长为40， 和 都是等腰直角三
角形，且每个面积都是16，连接AF、DE、EC、FB．那么形成的阴影部分的面积是多少？
42．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ，点 ， 在
上，且 ．
(1)求证： ；(2)若 ，求 的长
43．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形 中， ， ，
， ，点 从点 出发，以 / 的速度向点 运动；点 从点 同时出发，以 /
的速度向点 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 ．
(1) ____________， ____________（用含 的代数式示）；
(2)在整个运动过程中是否存在 值，使得四边形 是矩形？若存在，请求出 值；若不存在，说明理由．
44．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两
腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①， 就是梯形 的中位线，梯形的中位线具有什
么性质呢？
(1)小明联想到梯形的面积公式与三角形的面积公式，梯形的面积公式是（上底+下底） 高 2，三角形的
面积公式是底 高 2，比较两个公式，如果把梯形的上底加下底转化为三角形的底，问题是否能解决．思
考之后小明给出了如下的证明思路：
如图②，连接 并延长，交 的延长线于点G．
先证 和 全等，再说明 是 的中位线．…
经过你的分析，请写出梯形的中位线 和两底 之间的关系：________、________；
(2)受小明的启发．小聪联想到梯形的面积公式与矩形的面积公式，梯形的面积公式是（上底+下底） 高
，矩形的面积公式是底 高，比较两个公式，如果把梯形的上底与下底的和的一半转化为矩形的底，问
题是否也能解决．如果能，请结合图③给出证明过程，如果不能，请说明理由．
45．（24-25八年级上·广东深圳·期末）在研究一类图形的折叠问题时，乐思数学小组发现，可以通过构造
直角三角形，利用勾股定理来解决．
(1)如图1，在矩形 中， ，点E是 边上一点，将 沿 折叠，使点D落在
边上的 处，求 的长；
乐思数学小组的解题思路如下：（请补充填写题中空缺部分）
解：由折叠可知： ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 中，设 ，则 ．
由勾股定理可得： ，即（ ） ，解得 ．
(2)如图2，在矩形 中， ，点E是 边上一动点，将 沿 折叠，点D落在
点处，当 为直角三角形时，求 的长；
(3)如图3，在矩形 中， ，点E是直线 上一动点，将 沿 折叠，当点D的
对应点 恰好落到 边的中垂线上时，请直接写出 的长．
压轴满分题十、平行四边形的性质和判定综合应用
46．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在平行四边形 中， ，在 取一点E，使得
，连接 ．
(1)用尺规完成以下基本作图：作 的角平分线交 于点F，交 于点O；（保留作图痕迹，不写作
法和结论）
(2)根据 （1）中作图，经过学习小组讨论发现 ，请你证明学习小组发现的结论．
47．（24-25八年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称
为格点，小正方形的边长为1，点 、 均在格点上．只用没有刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的
顶点均在格点上，不要求写画法，保留必要的作图痕迹．
(1)在图①中以 、 为顶点画一个面积为4的平行四边形；
(2)在图②中以 、 为顶点画一个面积为6的平行四边形；
(3)在图③中以 、 为顶点画一个面积为10的平行四边形．（正方形除外）48．（2025·福建莆田·二模）问题探究
（1）如图1，在四边形 中，点 在直线 上，且 ，求作 ，使得点 ， 在直线 上，
边 ， ， 分别经过点 ， ， （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出
的值；
问题解决
（2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形 草坪，顶点 ， ， ， 处均有一棵荔枝古树，点
处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持 棵荔枝古树、八
角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你
设计出所要画的图形；若不能，请说明理由．
49．（24-25八年级上·广东汕头·期末）【追本溯源】：
题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1， 平分 ．求证： ；
【方法应用】：
（2）如图2，在四边形 中， ， 平分 ，交边 于点E，过点A作
交 于点G，交 的延长线于点F．
①图中一定是等腰三角形的有 ；
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
②已知 ，求 的长．50．（2025八年级下·全国·专题练习）图1是某校篮球架实物图，图2是篮球架的侧面示意图，篮板边侧
垂直于地面．八年级的“综合与实践”兴趣组将分成两个小组开展测量篮球架篮板AB高度的实践活动．
在不便于直接测量的情况下，两个小组设计了如下测量方案：
课
测量篮球架篮板 高度
题
组
第一组 第二组
名
成 组长：小明 组员：小亮，小丽，小
组长：小红 组员：小玲，小文，小海
员 辉
工
竹竿，皮尺，测角仪 竹竿，皮尺
具
测
量
示
意
图
将竹竿 垂直固定在地面 上，
将一根竹竿靠在篮板 上，竹竿的一端与
小明从竹竿上的 点处观察篮板底部
篮板顶部 点重合，竹竿另一端点落在地
点，用测角仪测量视线 与竹竿
测 面 点正前方的点 处，并在地面上标注
的夹角 的度数，接着将观
量 点的位置，接着将竹竿与 点重合的一
察点沿着竹竿向上移动到 点，使得
方 端沿着篮板下滑，直到该端点与篮板底部
从 点观察篮板顶部 点的视线
法 点重合，此时，另一端点落在地面 点
与竹竿 的夹角 的度数恰好
正前方的点 处，并在地面上标注 点的
等于 的度数时，在竹竿上标注
位置，测量 和 的长度
点的位置，测量 的长度．
测量项目 数值 测量项目 数值
测
量 ∠HFB的度数 竹竿的长度
数
据
的度数 的长度的长度 米 的长度
(1)小明说：“ 的长度就是篮板 的高”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由；
(2)第二小组记录的测量数据中“竹竿长度”的数值不小心被墨水污染后看不清楚，请你结合两个小组记录
的测量数据计算第二小组使用的竹竿长度．
压轴满分题十一、勾股定理与折叠问题
51．（24-25八年级下·天津宝坻·阶段练习）如图所示，有一块直角三角形纸片，
，将斜边 翻折，使点B落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为
，则 的长．
52．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，直角三角形 中， ， ， 是 的上的一
点，若将 沿 折叠，点 恰好落在 所在直线上点 处．(1)求边 的长；
(2)求 的长；
(3)在 所在直线上找一点 ，使得以点 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出 的长．
53．（24-25八年级下·天津东丽·阶段练习）学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的
折叠问题：
请你运用所学知识，解决下面的问题：
(1)如图1，长方形纸片 中， ， ，将纸片折叠，使 落在对角线 上，折痕为
（点 在边 上），点 落在点 处，求 的长度；
(2)如图2，有一张长方形纸片 ， ， ， 为 边上一点， ， 为 上一点．
将纸片折叠，折痕为 ，使点 恰好落在线段 上的点 处，点 落在点 处．求线段 的长度．
54．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、 为一块直角三角形纸片， ．
【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而
通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想．
（1）如图1，现将纸片沿直线 折叠，使直角边 落在斜边 上， 的对应点为 ，若
，求 的长．
【学以致用】（2）如图2，若将直角 沿 折叠，点 与 中点 重合，点 分别在 ， 上，则
之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
55．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探
究．
【初步感知】
(1)如图1，在三角形纸片 中， ， ，将 沿 折叠，使点A与点B重合，折痕和
交于点E， ，求 的长；
【深入探究】
(2)如图2，将长方形纸片 沿着对角线 折叠，使点C落在 处， 交 于E，若 ，
，求 的长(注：长方形的对边平行且相等)；
【拓展延伸】
(3)如图3，在长方形纸片 中， ， ，点E为射线 上一个动点，把 沿直线 折
叠，当点A的对应点F刚好落在线段 的垂直平分线上时，求 的长(注：长方形的对边平行且相等)．
压轴满分题十二、勾股定理逆定理的实际应用
56．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）周末，小斌在父母的陪伴下坐车外出游玩．在一段笔直的公路
段外有一个景点C，由于视线遮挡原因．只有在离景点C250m以内的区域才能欣赏景点 已知 ，
， ．(1)请通过计算说明小斌一家在公路AB段行驶时能否欣赏到景点C？
(2)已知在公路AB段欣赏景点C的足够时间为18s，小斌家汽车在AB段以 的速度匀速行驶．请你通
过计算判断小斌家在公路AB段欣赏景点C的时间足够吗？
57．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，A，B两村庄相距150米，C为供气站， 米，
米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道．
方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村；
方案二：过点C作 的垂线，垂足为点H，先从C站铺设管道到点H处，再从点H处分别向A村、B两
村铺设．
(1)试判断 的形状，并说明理由；
(2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明．
58．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公
路 由点 向点 行驶，已知点 处为一所学校，点 与直线 上两点 ， 的距离分别为 和
， ，吊车周围 以内为受噪声影响区域．(1)求 的度数；
(2)学校 会受噪声影响吗？为什么？
(3)若吊车的行驶速度为每分钟 ，则噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？
59．（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读与思考∶请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务．
比较 与 的大小
“善思小组”的思路：将 ， 两个式子分别平方后，再进行比较．
“智慧小组”的思路：以 ， ， 为三边构造一个 ，再利用三角形的三边
关系进行比较．
任务：
(1)填空： ；
(2)①判断 的形状，并说明理由；
②直接判断 与 的大小；
(3)延伸拓展：直接判断 与 的大小．
60．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）为向西安游客更好地宣扬西安特色，某中学数学兴趣小组提出一个
创意想法：在公交站台的附近设置一个信号发射装置，在公交车上设置信号接收器，当公交车经过站台，
车上的信号装置接收到信号源时，就会持续播报该站台附近的西安特色美食与景色，当接收装置接收不到
信号源信号时就会立即停止播报．如图是小组同学做出来的模型示意图， ，信号源点E与点C
距离为 ，点E与点D距离为 ，公交车可以看作长方形 ，公交车在离信号源点E最近的车
道从左往右行驶，即从点C到点D，车上接收信号装置 长为 ，且 上每一处都能接收到信号．信号源的影响范围为 试判断信号源设置在E处是否会让经过的公交车接收到信号？并说明理由．
压轴满分题十三、勾股定理的实际综合应用
61．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道问题，大意是：
如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把
这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请求出这根芦苇的长度．
62．（23-24八年级下·广西贺州·期中）姑婆山国家森林公园古窑冲猴趣园，调皮可爱的猴子随处可见．如
图：有两只猴子爬到—棵树 上的点B处，且 ，突然发现远方A处有好吃的东西，其中一只猴
子沿树爬下走到离树 处的池塘A处，另一只猴子先爬到树顶D处后再沿缆绳线段 滑到A处，已知两
只猴子所经过的路程相等，设 为 ．
(1)请用含有x的整式表示线段 的长为 m；(2)求这棵树高有多少米？
63．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔
直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为 米，C处与B村
的距离为 米，且 ．
(1)求A，B两村之间的距离．
(2)求点C到直线l的距离．
(3)为了安全起见，爆破点C周围半径 米范围内不得进入，在进行爆破时，公路 段是否有危险而需
要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
64．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，一个梯子 长为5米，顶端A靠在墙 上，这时梯
子下端B与墙角C之间的距离是4米．
(1)求梯子的顶端与墙角C之间的距离．
(2)如图2，将梯子的底端B向C方向挪动1米，若在墙 的上方点E处须悬挂一个广告牌，点E与C之
间的距离是4.2米，试判断：此时的梯子的摆放位置能否够到点E处？
65．（24-25八年级上·河北承德·期末）【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ，大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如
果直角三角形两条直角边长为 ， ，斜边长为 ，则 .
【探索求证】
古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②， 与 按如图所示位置放置，连接CD，其
中 ，请你利用图②推导勾股定理.
【问题解决】
如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 ， ，其中 ，由于某种
原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 （ 、 、 在同
一条直线上），并新修一条路CH，且 .测得 千米， 千米，求新路CH比原路CA
少多少千米？
【延伸扩展】
在第（2）向中若 时， ， ， ， ，设 ，求 的值.
压轴满分题十四、勾股定理的应用一一求最短路径问题
66．（24-25八年级下·河南三门峡·阶段练习）如图，A，B个村在河 的同侧，且 ， A，B
两村到河的距离分别为 ， ．现要在河边 上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，
铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸 上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出
铺设水管的总费用W（元）．67．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是 ， ，
，在 中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？
68．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图：某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为 ，现
要为喷泉铺设供水管道 和 ，供水点M在小路 上，供水点 M 到 的距离 的长为 ，
的长为 ．
(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)求喷泉B到小路 的最短距离．69．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为 、 、 ，
和 是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若 点处有一只蚂蚁要到 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到 点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接 ，经过计算得到
长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案）
【变式探究】
（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是 厘米，高是 厘米，一只蚂蚁从点 出发
沿着玻璃杯的侧面到点 ，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高 厘米，底面周长为 厘米，在杯内壁离杯底 厘米的点 处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿 厘米，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁
处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
70．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）项目主题：监控器最优布设方式
项目背景：台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河
流决堤，危害当地居民的生命财产安全．
已知监控器有效监测距离 ，最大旋转角度 ；如图 所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长度
；监控布设线 距离河流 ，任意两个监控器布设点之间的距离相等．
项目方案1：如图2所示，从河流南岸与村落边缘 点处起，使 ， ，即 为监控器
监测范围；从 点处起，使 ， ，即 为监控器 监测范围．
（1）若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？
项目方案2：为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图 所示的方案， 为监控器 监测范围，
为监控器 监测范围， ， ，此时 ；
（2）若按方案2进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？
项目方案3：如图4所示，此时 ， ，且 ， ，则监控器 监
测范围 的距离为 ．
反思提升：我认为方案_________是最优化方案，原因是__________．压轴满分题十五、一次函数的规律探究问题
71．（23-24八年级下·甘肃白银·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度 与所挂物体的质
量 有下面关系：
0 1 2 3 4 5
1 1
12.5 13.5 14 14.5
2 3
(1)写出弹簧总长 ）与所挂物体质量 之间的关系式；
(2)按照上表所示的规律，弹簧总长为17cm时，所挂物体的质量是多少？
72．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）正方形 、 、 的边长分别为 ，
按如图的方式依次放置，点 、 、 在 轴上，点 、 、 在直线 上．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)直接写出点 、 的坐标；
(3)猜想点 的坐标为______．
73．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）图1是1个纸杯和4个叠放在一起的纸杯的示意图，为了建立一个
函数探究叠在一起的杯子的总高度y（cm）随着杯子数量x（个）的变化规律，设杯子底部到杯沿底边高
为h（cm），杯沿高为a（cm）．(1)杯子底部到杯沿底边高h为______（填“常量”或“变量”），杯沿高a为______（填“常量”或“变
量”）；
(2)杯子的总高度y是杯子数量x的函数，可建立函数表示它们的关系为 ______（用x，a，h表示）．
(3)①某型号的1个纸杯总高度为9.1cm，4个叠在一起的纸杯总高度为10.9cm，求h和a的值．
②图2是某品牌饮水机的示意图，储藏柜的高度是40cm．若要将该型号纸杯叠放后竖直（杯口向上）放入
储藏柜，最多能将多少个纸杯叠放在一起？
74．（23-24八年级下·山东淄博·期中）（1）如图，已知直线 经过点 ， ，与直线
交于点 ，且直线 交 轴于点 ．
①求直线 的函数表达式；
②求点 的坐标；
③求 的面积．
（2）观察下列算式，完成问题：① ；
② ；
③ ；
④
……
①按照以上算式的规律，请写出算式⑤
②上述算式用文字表述为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别为2n
和 （ 为整数），请证明上述命题成立；
③命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立?若成立，请证明；若不成立，请举出反例．
75．（2024·山西晋城·一模）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务
用函数研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律
数轴是初中数学的一个重要工具，研究数轴我们可以发现许多重要的规律．例如：若数轴上点 ，点 表
示的数分别为 ， ，则 ， 两点之间的距离 ，线段 的中点表示的数为 ．学习函数知
识后，我们可以用函数方法研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律．
特例研究：
例：如图1，在数轴上点 ，点 表示的数分别为 ，3，动点 表示的数为 ，求点 到点 ， 的距
离和为 ，并直接写出 的最小值.
用函数方法，我们可以用含 的式子表示
，
画出函数图象如图2，观察图象，可以直观看出： 的最小值为5．拓广探索：
若数轴上点 ，点 表示的数分别为常数 ， ，且 ，动点 表示的数为 ，点 到点 ， 的距离
和为 ，并直接写出 的最小值，.……
任务：
(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是______（从下面选项中选出两个即可）；
A．转化思想 B．数形结合思想 C．统计思想 D．分类讨论思想
(2)请直接写出“拓广探索”中， 关于 的函数表达式．
(3)在“拓广探索”中， 的最小值为______；当 时， 随 的增大而______．
(4)如果你写“拓广探索”部分的内容，请直接写出一个你发现的结论．
压轴满分题十六、一次函数最值问题
76．（24-25八年级上·上海·期中）已知 ，且 是关于 的正比例函数．
(1)求 与 的函数关系式；
(2)若 ，求函数 的最小值．
77．（2024八年级下·天津·专题练习）已知某一函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
(1)当 时，对应的函数值为_______；(2)当 的值在_______（用不等式表示）时， 随 的增大而增大；
(3)当 _______时， 的最大值是_______；
(4)当 的值在_______（用不等式表示）时， ．
78．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，点
的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 是线段 上的一个动点．
(1)求 的值；
(2)求点 在运动过程中 的面积 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(3)求 面积的最大值．
79．（23-24八年级上·河南郑州·期中）问题：探究函数 的图象与性质．
数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．
(1)在函数 中，自变量x可以是任意实数，下表是y与x的几组对应值．
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a …
①表格中a的值为_________；
②若 与 为该函数图象上不同的两点，则 ________．
(2)在平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象．(3)结合图象回答下列问题：
①函数的最大值为_________；
②写出该函数的一条性质：_____________________
80．（23-24八年级上·广东深圳·期中）小明根据学习一次函数的经验，对函数 的图象与性质
进行了探究．小明的探究过程如下：
列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 4 3 2 1 2 3 4 5 m …
(1)求m和k的值；
(2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连
线；
(3)根据表格及函数图象，探究函数性质：①该函数的最小值为__________；
②当 时，函数值y随自变量x的增大而__________（填“增大”或“减小”）；
③若关于x的方程 有两个不同的解，则b的取值范围为__________．
压轴满分题十七、一次函数与方程、不等式的综合应用
81．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知直线l： 与x相交于点A，与y轴相
交于点B，直线 与直线l互相垂直于点C．
(1)当 时，求点C的坐标；
(2)当 时，①求直线l的解析式；
②直接写出不等式 的解集：______．
82．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）已知：如图一次函数 与 的图象相交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)若一次函数 与 的图象与x轴分别相交于点B、C，求 的面积；(3)结合图象，直接写出 时x的取值范围．
83．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图：
(1)【探究发现】
某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义—图象—性质—应用，他们尝
试沿着此路径探究下列问题：
已知 ，下表是y与x的几组对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 6 4 2 0 a 2 …
① ．
②描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接，根据函数图象写出该函数的一条性
质： ．
(2)【拓展应用】
①若点 ， 均在该函数图象上，请写出m，n满足的数量关系： ．
②结合函数 的图象，请写出不等式 的解集： ．
84．（24-25八年级下·广东深圳·期中）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组 的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：首先令
，再通过列表、描点、连线的方法作出函数的图象，并对其性质探究：
(1)完成如下列表，在坐标系中描点、连线，画出该函数的图象；
(2)结合你所画的函数图象，写出函数 的两条性质：
①___________；
②___________
(3)当 时，自变量 的取值范围是___________；
(4)一次函数 图象与函数 的图象只有一个交点，那么 的取值范围是
___________．
85．（24-25八年级下·河南郑州·期中）我们曾探究过“函数 的图象上点的坐标的特征”，了解
了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式 的解集是 图象在x轴上方的点的横坐标的集合．结论：一元一次不等式： （或 ）的解集，是函数 图象在x轴上方（或x轴下
方）部分的点的横坐标的集合．
根据以上信息回答问题
(1)如图1，观察图象，一次函数 的图象经过点 ，则不等式 的解集是
________．
(2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为________，不等式 的解集是________．
(3)如图3，一次函数 和 的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和C点．
①结合图象，直接写出关于x的不等式组 的解集是________．
②若x轴上有一动点 ，使得 为直角三角形，请直接出P点坐标：________．
压轴满分题十八、一次函数中翻折问题
86．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）将 的图象记作 ，
(1)图象 与 轴交点坐标为___________，与 轴交点坐标为___________；
(2)若点 、 均在图象 上，求 、 的值：
(3)将图象 上 （ 为常数）的部分沿 轴翻折，翻折后的图象记作 ，将 的部分记作 和
合起来记作图象 ．直接写出 对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围：(4)已知点 、 ，连结 ，在（3）的条件下，图象 与线段 有一个交点时，直接写出
的取值范围．
87．（23-24八年级下·云南临沧·期末）如图，已知直线 ： 与直线 ： 交于点 ，直
线 与x轴交于点 ，与y轴交于点C．
(1)求直线 的解析式；
(2)将线段 沿直线 折叠，点A恰好落在点 处，求a的值．【提示：已知 ， ，
则线段 的中点坐标为 ．】
88．（24-25八年级下·福建福州·期中）把一次函数 （ 为常数， ）在 轴下方的图象沿
轴向上翻折，与原来在 轴上方的图象组合，得到一个新的图象，这个新的图象即为函数 的图象．
例如：如图1就是函数 的图象．(1)请在图2中画出函数 的图象，并直接写出该图象与 轴交点 的坐标是_____；
(2)在（1）的条件下，若直线 与函数 的图象相交于 两点，求 的面积；
(3)函数 （ 为常数）的图象经过 两点，且 ，直接写出 的取值范围．
89．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图1，将矩形 放在直角坐标系中， 为原点，点 在
轴上，点 在 轴上， 的长 满足 ，把矩形 沿对角线 所在直
线翻折，点 落到点 处， 交 于点 ．
(1)直接写出直线 的函数解析式：______；
(2)如图2，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ，判断四边形 的形状，并说
明理由；
(3)在（2）的条件下，点 是 轴上一点，直线 上是否存在一点 ，使以 为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，请求出点 坐标；若不存在，请说明理由．90．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）综合与实践：图形的等分．
如图1，将一张矩形纸片顺着中缝翻折，其折痕，也就是一组对边中点的连线所在的直线 ，将这个矩形
一分为二，两部分的形状与大小完全一样，我们现在探究的图形的等分，着眼于面积的等分，那么是否还
存在其他直线，也能将这个矩形分成面积相等的两部分吗？当然有！比如对角线所在的直线 也可以，
如图2．
(1)我们知道，矩形是特殊的平行四边形．那么一共有____________条直线可以将平行四边形分成面积相等
的两部分．
A．1 B．2 C．4 D．无数
(2)图3是两个矩形放在一起的图形，你可以找到一条直线将这个图形分成面积相等的两部分吗？若可以，
请直接在图3的图形上作出这样的直线．
(3)如图4，平面直角坐标系中放着5个边长为1个单位的小正方形，经过原点O的直线恰好将5个正方形
分成面积相等的两部分，则该直线的表达式为________________________．压轴满分题十九、一次函数的实际综合应用
91．（24-25八年级下·吉林长春·期中）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日．某超市为了满
足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，甲、乙两种粽子的进价和售价如表所示．
该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍．设
购进甲种粽子 个，两种粽子全部售完时获得的利润为 元．
进价（元／个） 售价（元／个）
甲种粽子
乙种粽子
(1)求 与 的函数关系式，并求出 的取值范围；
(2)超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
92．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）李大爷要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，
用篱笆围成的另外三边总长恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的长方形 ，设 边的长为x米，
边的长为y米．(1)用含有x的代数式表示y，并指出y是x的什么函数；
(2)求自变量x的取值范围；
(3)若长方形的宽为5米时，求长方形的长．
93．（24-25八年级下·吉林长春·期中）“琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，
培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进 ， 两种图书作为年级竞诵活动的奖品．
经调查，则进 种图书的总费用 元与购进 种图书本数 之间的函数关系如图所示．
(1)①当 时， 与 之间的函数关系式______；
②当 时， 与 之间的函数关系式______；
(2)现学校准备购进 ， 两种图书共100本，已知 种图书每本25元．若购进 种图书不少于50本，且
不超过 种图书本数的1.5倍，购进两种图书的总费用为 元，请求出 与 之间的函数表达式，当 为何
值时能使总费用最少？总费用最少为多少元？
94．（2025·浙江温州·二模）小文和小成两人从同一地点出发跑步前往某风景区游览，小文全程匀速跑，5
分钟后小成才开始出发，第一次与小文相遇时，原地休息片刻，第二段速度比第一段速度提高30米/分钟，
结果小成比小文提前4分钟到达．小文和小成的行程相关信息如表所示；离出发地的距离s（米）与小文、
小成跑步时间t（分）的函数关系如图所示．
时间 行程里程
小 里程分段 （米）
—
文 不分段
5400第一段（休息
1800
前）
小
— 休息
成
第二段（休息
3600
后）
(1)分别求出小文匀速和小成第一段的跑步速度．
(2)求小成中间休息的时间．
(3)在a分钟时两人第二次相遇，求a的值．
95．（2025八年级下·全国·专题练习）综合与实践
【问题背景】杆秤是我国古代传统的度量衡三大件之一，在学习了杆秤相关知识之后，小红学习小组想利
用一根木棒制作一个简易杆秤．
【制作实验】
（1）如图所示，在木棒上先确定点O 为杆秤提纽，点A处挂托盘，选取的托盘质量 ，秤砣质
量 ，测得 ．
（2）先在托盘里加相应质量的物体，调整秤砣位置，使杆秤保持平衡，记录 的长度，获得的实验数据
如表所示：
任务1：杆秤在不挂重物而保持平衡时，其点 B 所处的位置，称为定盘星． 由表可知，定盘星和提纽的
距离是 ．
【建立模型】
任务2：小组讨论认为 长度 与物体质量 的关系可以用一次函数来刻画．请求出 长度 与物体质
量m₁的函数关系式．
【结论应用】
任务3：经测量，发现该木棒在提纽O挂秤砣一侧的长度为 ，根据要求，制作杆秤刻度时需在杆头和
杆尾各预留 长的部分用作杆秤美化，求该杆秤称量重物的最大量程．
物体质量
0 1 2 3 4长度
1.5 4.5 7.5 10.5 13.5
1．（23-24八年级下·辽宁营口·期中）下列各式是二次根式的有（ ）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，把一块含 角的三角板放入 的网格中，三角板三个顶点
均在格点上，直角顶点与数轴上表示 的点重合，则数轴上点A所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天
的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ）
时间/小时
人数
A． ， B． ， C． ， D． ，
4．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在 中， ， ，点 为边 上一点，
且 ，点 是 的中点，点 以每秒 的速度从点 出发，沿 向点 运动；同时，点 以每秒 的速度从点 出发，沿 向点 运动，点 运动到 点时停止运动，点 也同时停止运动，当
以 为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（ ）
A． B． C． 或 D．
5．（24-25八年级下·河北保定·开学考试）如图，在平面直角坐标系 中，过点 的直线 与直线
相交于点 ，与 轴相交于点 ；过动点 且垂直于 轴的直线与 ， 分别交于点
， ，则下列说法：① ；②点 的坐标为 ；③ ；④当点 位于点 下方时，
．其中所有正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③
6．（23-2八年级下·福建福州·期中）数据 ， ， ，…， 的方差为 ，则数据 ， ，
，…， 的方差为 ．
7．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，已知 的两直角边长分别为1，2，以 的
斜边 为一直角边，另一直角边 的长为1，画第2个 ；再以 的斜边 为一直角
边，另一直角边 的长为1，继续画第3个 ；…以此类推，第n个直角三角形的斜边的长是
（用含n的代数式表示）．8．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形 的两边在坐
标轴上，以它的对角线 为边作正方形 ，再以正方形 的对角线 为边作正方形
…以此类推，则正方形 的顶点 的坐标是 ．
9．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在 中，点 、 、 分别在边 、 、 上，
且 ， ．下列四种说法：①四边形 是平行四边形；②如果 ，那么四边形
是矩形；③如果 平分 ，那么四边形 是菱形；④如果 且 ，那么
四边形 是正方形．其中，正确的有 ．（只填序号）
10．（23-24八年级下·重庆·期末）如图1，直角坐标系中点 、 、 、 ，过点
的直线 ，与四边形 交于点P，Q（点P和点Q可以重合）．以k的值为点的横坐标，
线段 的长度m为纵坐标，列表、描点、连线，绘制函数图象如图2，则函数m的图象与横轴两交点之间的距离为 ．
11．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
12．（23-24八年级下·云南红河·期末）某校开展安全教育系列活动，为提升学生急救素养，了解学生对急
救知识技能的掌握情况，从该校学生中随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道测试题，学生答对1
题得1分．根据测试结果绘制出如下统计图．
(1)求抽取的20名学生测试得分的平均数、中位数、众数；
(2)若该校共有学生2400人，急救知识测试得8分及其以上达到“优秀”等级，请你估计该校达到“优秀”等级的学生人数．
13．（24-25八年级下·广东广州·期中）周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告：
活
动
风筝离地面垂直高度探究
课
题
问
题 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以
背 木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．
景
假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段 ）．勘测组测量了相关数据，并
画出如图的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离 的长为15米，风筝
线 的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．
测
量
数
据
数据处理组得到数据以后做了认真分析，请帮助他们完成以下任务：
(1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度 ；
(2)如果风筝沿 方向下降了12米， 的长度保持不变，求要回收多少米的风筝线？
14．（24-25八年级下·上海松江·期中）某公司开发了一款人工智能客户支持系统．该系统总的运行成本与
服务的客户数量之间存在函数关系．已知：系统维护有固定成本（即系统没有客户咨询，仍需要支付的成
本）；另外每服务一个客户，需要一定的运行成本；且当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客
户的运行成本降低2元，假设系统总的运行成本为 元，客户的数量为 人，请结合函数图像，回答下列
问题：(1)系统维护的固定成本是________元．
(2)若当客户人数为5000人时，总的运行成本为 元，若当客户人数为10000人时，总的运行成本为 元，
且 ．
①当客户人数不超过5000人时，求每服务一个客户需要的运行成本．
②如果总的运行成本不少于35000元，求该公司至少服务客户多少人？
15．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知在矩形 中， ， ， 的垂直平分线
分别交 、 于点 、 ，垂足为 ．
(1)如图1，连接 、 ，求证：四边形 为菱形；
(2)如图2，动点 、 分别从 、 两点同时出发，沿 和 各边匀速运动一周，即点 自
停止，点 自 停止．在运动过程中，已知点 的速度为每秒 ，点
的速度为每杪 ，运动时间为 秒，当 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求 的值．
