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期末重难点真题特训之压轴满分题型（96题28个考点）
【精选最新考试题型专训】
压轴满分题一、解一元二次方程的方法
1．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）一元二次方程 的两个实数根中较大的根是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）为了解方程 ，我们可以将 看作一
个整体，然后设 ，那么原方程可化为 ，解得 ，
当 时， ，∴ ，∴ ；
当 时， ，∴ ，∴ ；
故原方程的解为 ．
以上方法叫换元法，利用换元法可以达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照上述方法求出方
程 的解为 ．
3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）“数形结合”是数学中的一种基本思想方法，我国著名数学家华罗
庚对此曾有生动的描述：“数以形而直观，形以数而入微”，下面我们分别以我国三国时期的数学家赵爽
（公元 世纪）和公元 世纪的阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解一元二次方程 即
时的做法为例加以说明．
【学习研究】数学家赵爽的做法是，用四个边长分别为 ， 且面积为 的矩形构造成图 形状的大正方形，然后用两种方式表示出大正方形的面积，得到 ．从而得到一个正数
解 ．阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是用一个边长为 的正方形和 个边长分别为 ， 的矩
形构造出图 的形状（面积为 ）并把它补成一个大正方形，然后也是用两种方式表示出大正方
形的面积，得到 ，从而得到一个整数解 ．
（1）图 中，小正方形的边长为____，将图 中补充完整（补充的部分用阴影表示）；
【类比迁移】（2）小明想通过以上述构造图形的方法来解一元二次方程 ．
请分别构造以上两种图形，并在图中标注出相关线的长：（注：第一种方法中已经画好了一个矩形，第
二种方法中已经画好了一个正方形，请在已经画好的图形上进行补充）
请分别根据所画图形，求出方程 的一个正数解．
（注：需要写出必要的推算过程）
【拓展应用】（3）一般地，形如 的一元二次方程可以构造类似以上图形来求解，请选择其中的
一种方法，进行图形构造，且在图中标注出相关线段的长，并直接写出该方程的正数解与负数解．
压轴满分题二、配方法的应用
1．（2024九年级·安徽·专题练习）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：
与 ，称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次
方程”．现有关于x的一元二次方程： 与 是“同族二次方程”．那么代数式 取的最大值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）对于有理数a，b，定义 的含义为：当 时，
；当 时， ．若 ，则 的值等于 ．
3．（2024九年级上·全国·专题练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重
要应用，例如：试求二次三项式 最小值．
解： ，
， ，
，即 的最小值是1．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知 ，求 的最大（或最小）值．
(2)比较代数式 与 的大小，并说明理由．
压轴满分题三、一元二次方程的根与系数的关系
1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知两个非零实数 ， ，按规则 进行运算，运算的结
果记为 ，称此为一次操作；再从 ， ， 中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为 ；再从 ，
， ， 中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为 ……依次进行下去，以下结论正确的个数
为（ ）
①若 ， 为方程 的两个根，则 ；
②若 ，则 ；③对于整数 ， ，若 为奇数，在操作过程中，得到的 一定为偶数：
④若 ，要使得 成立，则 至少为4．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）设 ， 是关于 的一元二次方程： 的
两实根，当 时， 的值为
3．（24-25九年级上·四川眉山·期中）阅读理解．
定义：我们把关于x的一元二次方程 与 （ ， ）称为一对“密友方
程”，例如：方程 的“密友方程”是 ．
(1)写出一元二次方程 的“密友方程”是________．
(2)已知一元二次方程 的两根为 ， ，它的“密友方程”的两根为 ， ，则
________， ________．根据以上结论，猜想 的两根 、 ，与其“密友方程”
的两根 ， 之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．
(3)已知关于x的方程 的两根是 ， ，可应用（2）中的结论，解关于x的
方程 ．
压轴满分题四、一元二次方程的应用（营销、数字、传播）问题
1．（24-25九年级上·广东中山·期中）某卫生部门为了控制某流行病的传染，对该传染病进行研究后发现，
若一人患了该病，经过两轮传染后共有121人患该病．
(1)请问：每轮一人传染了多少人？(2)若按这样的传染速度，第三轮有多少人患了该病？
2．（24-25九年级上·河南焦作·期中）“乒乓球”被称作为我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．
在今年第33届巴黎奥运会上，我国囊括了乒乓球各个项目的所有冠军，再次激发起了人们对乒乓球运动的
热爱．据统计在奥运会结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人．
(1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率；
(2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100
台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000
元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数．
3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的
方法任意圈出四个数，请解答下列问题．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
1 1
7 8 9 11 13
0 2
1 1 1
14 16 18 20
5 7 9
2 2 2
21 23 25 27
2 4 6
2 3
28 30
9 1
(1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
(2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明
理由．
压轴满分题五、一元二次方程的应用（图形、动态几何、行程）问题
1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，老李想用长为 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈 ，并在边 上留一个 宽的门（建在 处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的宽为多少米时，能围成一个面积为 的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒
增加 ．
(1)设 （单位： ）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和 数量关系见下表：
t（秒） 0 1 2 3 …
（米/秒） 0 2 a b …
由题意可知： ______， ______；
(2)若斜面A的坡面 长为 ，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N，
①求钢球在此运动中滚动的时间；
②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少 ．若斜面B的坡面
足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程 ，
， 是开始时速度， 是t秒时的速度）3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，在长方形 中， ，点P从点A开始
沿边 向终点B以 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿 向终点C以 的速度移动，
如果P，Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空： ______ （用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时， 的长度等于 ？
(3)是否存在t的值，使得五边形 的面积等于 ？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说
明理由．
压轴满分题六、二次函数求参压轴计算
1．（24-25九年级上·广东中山·期中）若函数 是关于x的二次函数，则m的值为
（ ）
A．2或 B． C．0或1 D．2
2．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）若关于x的函数 是二次函数，且其有最大值，则
．
3．（2025九年级上·全国·专题练习）下列函数是不是二次函数？如果是二次函数，请分别写出它的二次项
系数、一次项系数和常数项．
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ．
压轴满分题七、二次函数的图象和性质
1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，关于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴是直线
C．开口方向向上 D．当 时， 随 的增大而减小
2．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点
P为和谐点．例如点 …都是和谐点，请写出二次函数 的图象上所有和谐点的坐标是
．
3．（24-25九年级上·河南漯河·期中）已知抛物线 ．
(1)写出抛物线的对称轴；
(2)完成下表：
x … 1 3 5 …
_____ _____
y … ______ ______ ______ …
_ _
(3)在平面直角坐标系中描点画出抛物线的图象．压轴满分题八、二次函数图象综合判断
1．（24-25九年级上·山东济南·期中）一次函数 与二次函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·四川德阳·二模）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象一定不经过
象限．3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知直线 过定点M，与抛物线 交于A、
B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线 交y轴于点N．求点M
的坐标和直线 的解析式．
压轴满分题九、待定系数法求二次函数解析式
1．（2024九年级·河北·学业考试）如图，正方形 的顶点坐标分别为 ， ， ．
抛物线经过点D，顶点坐标为(1,0)，将此抛物线在正方形 内(含边界)的部分记为图象G．若直线
与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或 或
2．（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，在同一坐标系内，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点
，点 和点 ，一次函数的图象与抛物线交于B，C两点．
（1）二次函数的解析式为 ；（2）当自变量x 时，两函数的函数值都随x增大而减小；
（3）当自变量x 时，一次函数值大于二次函数值．
3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线 经过点 两点，与y
轴交于点C，点M是直线 上的一个动点，设点M的横坐标为m，过点M作与y轴平行的直线，分别交
x轴、抛物线于点 ．
(1)分别求出抛物线与直线 的函数表达式；
(2)当点 中的一个点为其他两个点所连线段的中点时，求点 的坐标．
压轴满分题十、二次函数与方程、不等式应用
1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）抛物线 的部分图象如图所示，与 轴的一个交点坐标为 ，抛物线的对称轴是直线 ．下列结论：① ；② ；③ ；
④方程 有两个不相等的实数根；⑤若点 在该抛物线上，则 ．
其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（北京市密云区2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷）如图，在平面直角坐标系 中，抛
物线 经过 两点，下列四个结论中：①抛物线与 轴的交点是 ；
②抛物线的对称轴是直线 ；③ ；④ ，所有正确结论的序号是 ．
3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在正方形 中， ．点 从点 出发，以速度
的速度沿折线 运动，同时点 从点 出发，以速度 的速度沿线段 运动，连接
、 ．当 到达点 时， 、 两点同时停止运动．设点 运动的时间为 ， ， 的
面积为 ．(1)请直接写出 与 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数 的函数图象，并写出函数 的一条性质；
(3)结合函数图象，若函数 的图象与直线 有两个交点，则 的取值范围是______．
压轴满分题十一、二次函数综合压轴题（周长、面积、角度）
1．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴
相交于点A(−2,0)和点 ，与 轴交于点 ．
(1)求 、 的值；
(2)若点 是抛物线 段上的一点，当 的面积最大时求出点 的坐标，并求出 面积的最大值．2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 两点，
点坐标为 ，与 轴交于点 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线 上方的抛物线上存在点 ，使得 ，求点 的坐标．
3．（23-24九年级上·上海·自主招生）如图，已知一次函数经过第一、二、三象限，且与反比例函数交于
A和B点，交y轴于C点， ，
(1)求反比例函数的解析式；
(2)已知点A点横坐标是m， 的面积是S，求S关于m的函数解析式；
(3)已知 的面积是 ，判断过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长度能否等于3．如果能，求其
解析式；如果不能，请说明理由．压轴满分题十二、二次函数综合压轴题（特殊三角形、特殊四边形、相似三角形）
1．（2024·上海金山·二模）已知：抛物线 经过点 、 ，顶点为P．
(1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标；
(2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线AB上，且点Q在y轴右侧．
若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式；
若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且 是直角三角形，求此时抛物线的解析式．
2．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系 中，将抛物线 平移，使平移后
的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线 交于点N，
且 ．
(1)求平移后抛物线的表达式；
(2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由；(3)抛物线 上的点A平移后的对应点是点B， ，垂足为点C，如果 是等腰三角形，
求点A的坐标．
3．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）定义：对于抛物线 （ 、 、 是常数， ），若
，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系 ，抛物线 是黄金抛物线，与
轴交于点 ，顶点为 ．
(1)求此黄金抛物线的表达式及 点坐标；
(2)点 在这个黄金抛物线上．
①点 在这个黄金抛物线的对称轴上，求 的正弦值．
②在射线 上是否存在点 ，使以点 、 、 所组成的三角形与 相似，且相似比不为1．若存
在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
压轴满分题十三、二次函数应用（拱桥、投球、喷水）问题
1．（23-24九年级上·上海静安·期中）有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，
拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系 的原点 是桥拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点， 轴在水面截线上； 是警戒线，拱顶到 的距离为1.8
米．
(1)求桥拱截线所在抛物线的表达式；
(2)求达到警戒线 位置时水面的宽度．
2．（2024·上海嘉定·三模）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是 ，
小丁站在距篮圈中心水平距离 处的点 跳起练习定点投篮，篮球从小丁正上方出手到接触篮球架的过
程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是 （单位：m） 时，球心距离
地面的竖直高度是 （单位：m）．在小丁多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练：
(1)第一次训练时，篮球的水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
水平距离 /m 0 1 2 3 4 5 6
竖直高度 /m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2
①在平面直角坐标系 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求 与 满足的函数解
析式；
③已知篮网长 ，则小丁第一次投篮练习结果为__________（“打板”“空心刷网”“擦网而过”
“三不沾”）
(2)第二次训练时，小丁通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达
到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小丁的出手高度是 m3．（23-24九年级上·全国·单元测试）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在
水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分． 若记
水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米． 下表中记录了d与h的五组数据：
d
0 1 2 3 4
（米）
h
0.5 1.25 1.5 1.25 0.5
（米）
根据上述信息，解决以下问题：
(1)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则 ________；
(2)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通
过． 如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖
直距离均不小于0.5米． 已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖
面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（保留一位小数）．
压轴满分题十四、二次函数应用（销售、增长、图形）问题
1．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省 总值约为10000亿元，第三季度的
总值约为11025亿元．
(1)假定第二季度、第三季度我省 总值的增长率相同，求这个增长率；
(2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的 总值能否突破12000亿元？并说明理
由．
2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）某种新产品进价是 元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系．
每件售价（元）
每日销售量（件）
(1)请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销售量减少的数量（件）之间的关系；
(2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划：每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到 ；
(3)每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到最大值？
3．（23-24九年级·湖北·假期作业）如图，矩形 中， ， ，点P从A开始沿
边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿 边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P，Q分
别是从A，B同时出发，求经过几秒时，
(1) 的面积等于8平方厘米？
(2)五边形 的面积最小？最小值是多少？
压轴满分题十五、根据旋转的性质求解
1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，将三角形 绕点O顺时针旋转，得到三角形 （点C落
在三角形 外），若 ， ，则最小旋转角度是（ ）A． B．30° C． D．
2．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图， 为正方形 内一点， ， ， ，
将 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到 ．延长 交 于点 ，连接 ， 的长为
．
3．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）如图， 绕着顶点 逆时针旋转到 ， ，
， ，求 的度数．
压轴满分题十六、坐标与旋转规律压轴题
1．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，正方形 的中心与坐标原点O重合，将顶点 绕点
逆时针旋转 得点 ，再将 绕点B逆时针旋转 得点 ，再将 绕点C逆时针旋转 得点
，再将 绕点D逆时针旋转 得点 ，再将 绕点A逆时针旋转 得点 ⋯依此类推，则点
的坐标是（ ）A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形 的
中心与原点 重合， 轴，交 轴于点 ．将 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，则第 次旋
转结束时，点A的坐标为 ．
3．（23-24九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，矩形 如图所示放置，点 在x轴上，
点 的坐标为（2，1）．将此矩形绕点 逆时针旋转90°，得到矩形 ．
（1）求过点 、 、 的抛物线的解析式；
（2）将矩形 沿x轴正方向平移，使点C落在抛物线上，求平移的距离．压轴满分题十七、旋转综合压轴题
1．（23-24九年级上·广东东莞·期中）正方形 的边长为 ， ， 分别是 ， 边上的点，且
．将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，求 的长．
2．（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形 和正方形 按照图
方式摆放，点 ， ， 在同一条直线上，点 在CD上．
(1)操作与发现
如图2，将正方形 绕点 逆时针旋转 ．
①当 时，求 ， ， 的度数；
②正方形 旋转过程中，你发现 与 的有何数量关系？ 与 的有何数量关系？
请直接写出你发现的结论，不需要证明．
(2)类比探究
如图3，将正方形 绕点 顺时针旋转 ．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说
明理由．
3．（23-24九年级上·广东深圳·期中）某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形 中， , ，我们把这种四边形称为“等补四边
形”．如何求“等补四边形”的面积呢？
探究一：
(1)如图2，已知“等补四边形” ，若 ，将“等补四边形” 绕点A顺时针旋转 ，
可以形成一个直角梯形（如图3）．若 ， ,则“等补四边形”的面积为
探究二：
(2)如图4，已知“等补四边形” ，若 ，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转 ，再将得
到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若 ， ,则“等补
四边形” 的面积为 ．
由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道 ， 的长度，就可以求它的面积．那么，
如何求一般的“等补四边形”的面积呢？
探究三：
(3)如图6，已知“等补四边形” ，连接 ，将 以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使
与 重合，得到 ，点C的对应点为点 ．
①由旋转得： ，因为 ，所以 ， 即点 ，B，C在同一直
线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即 ．
②如图7，在 中，作 于点H，若 ， ，试求出“等补四边形” 的面
积（用含m，n的代数式表示），并说明理由．压轴满分题十八、中心对称
1．（24-25九年级上·山东德州·期中）在平面直角坐标系 中，点 关于原点对称的点的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，小好同学用计算机软件绘制函数 的图象，
发现它关于点 中心对称．若点 ， ， ，……， ，
都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则 的值是
．
3．（24-25九年级上·全国·期末）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1）， 的顶点均在格
点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
(1)作出 绕点A逆时针旋转 的 ，再作出 关于原点O成中心对称的 ．(2)点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
(3)求 的面积．
压轴满分题十九、圆的周长和面积问题
1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，在 中， ， ， ， 的
面积为 ，点M，N分别在 、线段 上运动，则 长度的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，是编号为1、2、3、4的400m跑道，每条跑道由两条直的跑
道和两端是半圆形的跑道组成，每条跑道宽1m，内侧的1号跑道长度为400m，则2号跑道比1号跑道长
m；若在一次200m比赛中（每个跑道都由一个半圆形跑道和部分直跑道组成），要使得每个运动员到达
同一终点线，则4号跑道起跑点比2号跑道起跑点应前移 m（π取3.14）．
3．（23-24九年级上·全国·单元测试）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美
观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案：方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；
方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为
直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分）
(1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π）
(2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π）
(3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的 ，他做了
1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了 ，结
果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3）
压轴满分题二十、垂径定理的实际应用
1．（2024·广西南宁·模拟预测）《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一
寸，锯道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木
材，锯口深1寸( 寸)，锯道长1尺 尺 寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根
据所学知识计算：圆形木材的直径 是（）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
2．（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）如图是开州区竹溪镇一菜农蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度 （弧所对的弦）的长为8米，拱高 （弧的中点到弦的距离）为2米．圆弧所在圆的
半径为 米；在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆 ，支撑杆 的高
度为 米．
3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离 称跨度，桥面最高
点到 的距离 称拱高，当 和 确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已
知这座桥的跨度 米，拱高 米．
(1)如图1，若设计成抛物线型，以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立坐标系，求此函数表
达式；
(2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
(3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，
判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由．
压轴满分题二十一、利用弧、弦、圆心角的关系求解与求证
1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知 和 是 的两条等弦， ， ，垂
足分别为点 ， ， ， 的延长线交于点 ，连接 ．则下列说法：① ；② ；
③ ；④ ．其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是 的中点，点P
是直径 上一动点，若 的直径为2，则 的最小值是 ．
3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知， 内接于 ， 为 的直径，点D为优弧
的中点．
(1)如图1，连接 ，求证： ；
(2)如图2，过点D作 ，垂足为E．若 ， ，求 的半径．
压轴满分题二十二、圆周角
1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图， 内接于 ， 是 的直径，若 ，则
的度数是（ ）A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化
学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅，如图，在其圆形边缘上的点 处安装了一台监视
器，它的监控角度是 ，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，以 的一边 为直径的 与其它两边 的
交点分别为 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 的半径为 ， ，求 的长．
压轴满分题二十三、点和圆的位置关系
1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知P是 外一点，Q是 上的动点，线段 的中点为
M，连接 ，若 的半径为4， ，则线段 的最小值是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图， 是等边 的外接圆，点D是 上一动点（不与
A、C重合），下列结论：① ；② ；③当 最长时， ；④当 时，
，其中一定正确的结论有 ．（填写结论序号）
3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在同一平面内，已知点 到直线 的距离为5，以点 为圆心，
为半径画圆．探究、归纳：
(1)当 ________________时， 上有且只有一个点到直线 距离等于3；
(2)当 ________________时， 上有且只有三个点到直线 距离等于3；
(3)随着 的变化， 上到直线 的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的 的值或取值范围
（不必写出计算过程）．
压轴满分题二十四、直线和圆的位置关系
1．（2024·陕西西安·一模）在 中， ， ， ．若 与 相离，则半径为r
满足（ ）A． B． C． D．
2．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系 中，对于直线 ： ，给出如下定义：若直线 与某个
圆相交，点 的坐标为 ，若 的半径为 ，直线 关于 的“圆截距”的最小值为 ，则
的值为 ．
3．（23-24九年级上·安徽铜陵·期末）在平面直角坐标系 中的两个图形 与 ，给出如下定义： 为
图形 上任意一点， 为图形 上任意一点，如果 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图
形 间的“和睦距离”，记作 ，若图形 有公共点，则 ．(1)如图（1）， ， ，⊙ 的半径为2，则 ， ；
(2)如图（2），已知ΔABC的一边 在 轴上， 在 上，且 ， ， ．
① 是ΔABC内一点，若 、 分别且⊙ 于E、F，且 ，判断 与⊙ 的位置
关系，并求出 点的坐标；
②若以 为半径，①中的 为圆心的⊙ ，有 ， ，直接写出 的取值范围
．
压轴满分题二十五、圆的综合应用压轴题
1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图， 的直径 交 于P，P是 的中
点．
(1)求 的长；
(2)过点 作 ，垂足为 ，求证：直线 是 的切线．2．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）已知顶点为M（1， ）的抛物线 经过点C（0，
4），且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P（ ， ），Q（ ， ）是抛物线上的两点，当 ， 时，均有 ，求m的
取值范围；
(3)若在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足DA=OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心
为I，试求CI的最小值．
3．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）[感知]如图①， 为等边 的外接圆． 为 的直径，线
段 与 交于点E，探究线段 的数量关系．
小明同学的做法是：过点C作 的垂线交 延长线于点F，连接 ．易证 ．进而得出
， ．则线段 的数量关系是：
______．
[探究]如图②，等腰三角形 中． ， 为 的外接圆，D为弧 上一点， 于
E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由．
[应用]如图③， 是 的外接圆， 是直径， ．点D在 上，且点D与点C位于线段
两侧，过点C作线段 的垂线，交线段 于点E，若点E为 的三等分点，则 的值为______．压轴满分题二十六、正多边形和圆的综合应用
1．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）如图，正 内接于半径为1的圆，则阴影部分的面积为
（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·福建福州·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆
术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至
于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图， 的半径为1，如用 的内接正十二边形面积来近似
估计圆的面积，则可得 的近似值为3．若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得 的近似
值为 ．（参考数据： ， ，结果精确到0.1）
3．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）点O是边长为m的正多边形的中心，将一块足够长，圆心角为 的
扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转．若正多边形为正三角形，扇形的圆心角 时，通过观察或测量，得到如图1、2中，正三角形 的
边被扇形纸板覆盖部分的总长度均为m；
(1)若正多边形为正方形，扇形的圆心角 时，
①如图3，求正方形 的边被扇形纸板覆盖部分的长度；
②如图4，正方形 的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明；
(2)若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角 为多少度时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部
分的总长度仍为定值m．
压轴满分题二十七、弧长和扇形面积
1．（2024·辽宁锦州·二模）如图，在 中， ，以 为直径的 与 分别交于点 ，
连接 ， ，若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家的非物质文化遗产之一．
如示意图， 分别与 相切于点C、D，延长 交于点P．若 ， 的直径为
，则 的长为 ．（结果保留 ）3．（2024九年级·河北·学业考试）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一
平面上．如图， 表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边 在水平线l上， 为等边三角形， ，
与 分别交于P，Q两点．点C，D是 上两点， ，过O作 于点E，交 于点
F，交 于点M．已知 ， ， ．
(1)求 的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
压轴满分题二十八、概率
1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 内，若飞镖落
在原盘内各点的机会相等．则飞镖落在阴影区域（阴影部分为正方形）的概率为（ ）
A． B． C． D．2．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的
钉子， 、 、 … 、 分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口 处投放
一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右
两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内，则圆球落入③号槽内的概率为 ．
3．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）本学期开学以来，初三年级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了
解体育科目训练的效果，学校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试（把测试结果
分为四个等级， 等：优秀； 等：良好； 等：及格； 等：不及格），并将结果汇成了如图 所示
两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)本次抽样测试的学生人数是______人；
(2)图 扇形图中 等所在的扇形的圆心角的度数是______；
(3)我校九年级有 名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______人；
(4)已知得 等的同学有一位男生，体育老师想从 位同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用
列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．1．（24-25九年级上·四川成都·期中）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·重庆江津·期中）如图，在正方形 中，将边 绕点 逆时针旋转至 ，连接
，若 ， ，则线段 的长度为（ ）
A．6 B． C． D．
3．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，二次函数 的图象与 轴负半轴交于
，对称轴为直线 ，有以下结论，其中结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若点 均在函数图象上，则
D．对于任意实数 ，都有4．（23-24九年级上·江苏南通·期中）已知 是边长为3的等边三角形， 的半径为1， 是 上
一动点， ， 分别切 于点 ， ， 的另一条切线交 ， 于点 ， ，则 周长
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24九年级上·四川绵阳·开学考试）已知一元二次方程 有一个根为 ，则
的值为 ．
6．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，一段抛物线 ，记为 ， 它 与
轴交于点 ， ；将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 ；将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点
；．．．．如此进行下去，得到一“波浪线”，若点 在此“波浪线”上，则 的值为 ．
7．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，在 中， ， ，将 绕点C
逆时针旋转 得到 ，若点M是 边上不与A，B重合的一个动点，旋转后点M的对应点为点
，则线段 长度的最小值是 ．8．（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）如图正三角形 的边长为1，将线段 绕点 逆时针旋转
至 ，形成第一个扇形；将线段 绕点 逆时针旋转 至 ，形成第二个扇形；将线段 绕
点 逆时针旋转 至 ，形成第三个扇形；将线段 绕点 逆时针旋转 至 ，形成第四个扇
形……设 为第 个扇形的弧 ，则 ．
9．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）阅读材料：对于一个关于x的一元二次方程 （其
中 ，a、b、c为常数）的两根分别为 ，我们有如下发现：①若 为整数，则这个一元二次方程
的判别式 一定为完全平方数；② 满足韦达定理：即 ；③韦达定理也有
逆定理，即如果两数 和 满足如下关系： ，那么这两个数 和 是方程
的两个根．例如：若实数a，b满足 ，那么a和b是方程
的两个根，请应用上述材料解决以下问题：(1)若实数 是关于x的一元二次方程 的两个根．
①当 时，则 ___________， ___________；
②若 均为整数且 ，求m的值；
(2)已知实数p，q满足 ，求 的值．
10．（24-25九年级上·重庆潼南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 过点 ，
且交 轴于点 ， 两点，交 轴于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 作 于点 ，过点 作 轴的平行线交直线
于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标．
11．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图1，菱形 中， ，点E为对角线 上一动点，
连接 ．(1) 与 的等量关系是______；
(2)如图2，将线段 绕点E逆时针旋转，使点E的对应点F落在直线 上
①问： 与 有怎样的等量关系？并说明理由．
②当 时，如图3，延长 交 的延长线于G，求证： ．
12．（2024·山西·中考真题）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组
研究对象：等边半正多边形
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究．
研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，
我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边
形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…
【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图2，如果六边形 是等边半正六边形，那么 ，
， ，且 ．
性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．
对角线：…
任务：(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ．
(2)如图3，六边形 是等边半正六边形．连接对角线 ，猜想 与 的数量关系，并说
明理由；
(3)如图4，已知 是正三角形， 是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形 （要
求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
