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专题 05 勾股定理逆定理综合应用
专题说明
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它
通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小
边的平方和与较长边的平方作比较。
解题思路
考点1 勾股数的应用
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ， ，
为正整数时，称 ， ， 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 ； ； ； 等
③用含字母的代数式表示 组勾股数：
（ 为正整数）；
（ 为正整数）
（ ， 为正整数）
考点2 判断三角形的形状
如果三角形三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，其中 为
斜边。
要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化
为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三
角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。（定理中 ， ， 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如
若三角形三边长 ， ， 满足 ，那么以 ， ， 为三边的三角形是直角三角
形，但是 为斜边）；
【典例分析】
【考点1 勾股数的应用】
【典例1】下列各数组中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，10 B．2，2，2
C．1，1， D．0.4，0.3，0.5
【变式1-1】下列4组数据中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．6，7，8
【变式1-2】下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．9、12、15 B．5、12、13 C．8、15、17 D．12、18、22
【典例2】勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练的掌握勾股数，对迅速
判断、解答题目有很大帮助，观察下列几组勾股数：
a b c
1 3＝1+2 4＝2×1×2 5＝2×2+1
2 5＝2+3 12＝2×2×3 13＝4×3+1
3 7＝3+4 24＝2×3×4 25＝6×4+1
4 9＝4+5 40＝2×4×5 41＝8×5+1
… … … …
n a＝ b＝ ） c＝
（1）你能找出它们的规律吗？（填在上面的横线上）
（2）你能发现a，b，c之间的关系吗？
（3）你能用以上结论解决下题吗？
20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2【变式2-1】以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称 3，4，5为勾股数组，
记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），
（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证
明．
【变式2-2】已知：整式 A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式
A．发现A＝B2．求整式B．
联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角
三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；
直角三角形三边 n2﹣1 2n B
勾股数组Ⅰ 1 5 8 1 7
勾股数组Ⅱ 35 1 2 3 7【考点2 判断三角形的形状】
【典例 3】在四边形 ABCD 中，已知 AB＝5，BC＝3，AD＝4，CD＝4 且
AC⊥BC于点C．试求：
（1）AC的长；
（2）∠BCD的度数．
（3）四边形ABCD的面积．
【变式3-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，
∠B＝90°．
（1）求证：CD⊥AD；
（2）求四边形ABCD的面积．【变式3-2】如图，在四边形ABCD中，AB＝24，BC＝15，CD＝20，AD＝7，
∠C＝90°．
（1）连接BD，求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【典例4】绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝
4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积．
【变式4-1】如图，在四边形 ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，
∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．
【变式4-2】如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，∠B＝90°．
（1）连接AC，求AC的长．
（2）求四边形ABCD的面积．
【夯实基础】
1．若3、4、a为勾股数，则a的值为（ ）
A． B．5 C．6 D．
2.（2021春•长沙县期末）如图，小方格都是边长为1的正方形．
（1）求四边形ABCD的边AB与BC的长；
（2）用勾股定理逆定理的知识证明：∠ABC＝90°．
3.如图，D为△ABC的边BC上的一点，已知AB＝10，AD＝8，AC＝17，BD＝6，
求BC的长．
4.（2021春•海珠区期末）在△ABC中，D是BC边上的点，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AC＝15．
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求DC的长．
5.（2021秋•拱墅区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝24，BC＝7，CD
＝15，AD＝20，∠B＝90°，求四边形的面积．
6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，点A，B，C，D是网
格线的交点．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）四边形ABCD的面积为 ．
7．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝
26，∠B＝90°．求阴影部分的面积．8．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝ ，
CD＝2，AD＝2 ．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
9．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的《周髀算经》就有
“勾三股四弦五”的记载．如果一个三角形三边长都是正整数，这三个正整
数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；等都是勾股数．把勾股
数同时乘以相同的正整数倍得到的也是勾股数，我们把这种勾股数称为“派
生勾股数”．因为6＝3×2，8＝4×2，10＝5×2，那么6，8，10就是“派生勾
股数”，如果一组勾股数斜边比一条直角边大 3，我们把这种勾股数称为
“新新勾股数”．
（1）请判断9，12，16和10，24，26是否为“派生勾股数”；
（2）请求出斜边小于200的所有“新新勾股数”．
10．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发
现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下
问题让学生解决．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、 6 0 、 6 1 ；
（2）若第一个数用字母 a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含 a
的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律 4＝
，12＝ ，24＝ …，于是他很快表示了第二数为 ，则用
含a的代数式表示第三个数为 ；
（3）用所学知识加以说明．
【能力提升】
11．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．动点P从点A开始
沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运
动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动
点的运动时间为ts（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在PQ的垂直平分线上？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，
求出t的值；若不存在，请说明理由．
