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专题05 根式中的规律性探究与证明
【例题讲解】
探究过程：观察下列各式及其验证过程.
（1） ；（2）
验证：（1）
；
（2）
.
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： =___________；
=___________；
(2)通过上述探究你能猜测出： =___________（n>0），并验证你的结论．
解：（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 ， ，
验证如下：
，；故答案为： ，
（2）通过上述探究你能猜测出 ，
验证如下：
.
故答案为： ；
【综合解答】
1．有一列数按如下规律排列： ， ， ， ， ， …则第10个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将这列数据改写成： ， ， ， ， ， …，按照三步确定结果：一
确定符号，二确定分子，三确定分母即可．
【详解】解： ， ， ， ， ， …可写出：
， ， ， ， ， …，
∴第10个数为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查数字类变化规律，解题的关键是把已知的一列数变形，找到变化规律．
2．观察分析下列数据：0， ，2， ， ， ， ，…，根据数据排列的规律得到
的第10个数据的值是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知数据得出第n个数为 ，据此得出第10个数据．
【详解】解：根据题意知第n个数为 ，
∴第10个数据应该是： ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了算术平方根、二次根式的化简，解题的关键是根据已知数据得出第n个
数为 ．
3．观察下列各式： ， ， ，…请利
用你所发现的规律，计算 ，其结果为
( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用已知得出数字变化规律，进而化简得出答案．
【详解】解：原式
故选：B．
【点睛】此题主要考查了数字变化规律以及二次根式运算，正确得出数字变化规律是解题关键．4．通过计算可知： ，则下一个类似的式子是_________．
【答案】
【分析】找到规律即可完成．
【详解】根据前三个式子的规律可得第四个式子为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了算术平方根的规律探索问题，善于观察并找到算式的规律是关键．
5．观察下列等式： ， ，…请将你发现的规律
用含自然数n（n≥1）的等式表示出来_____．
【答案】 =
【分析】根据已知可以发现等号左边根号下整数与分数的分母相同，通分计算后可以发现根号下
的分数，分母为原分数的分母，分子为1，从而得出规律求出即可．
【详解】解：根据式子：
，
，…
可以发现等号左边根号下整数为n+1时，开方后分母为n+1，被开方数也为n+1，
∴ （n≥1），
故答案为： ．【点睛】此题主要考查了数的规律知识，根据数据前后的变化得出变化规律是解决问题的关键．
本题主要考查二次根式的化简的知识点，找出等式规律很重要．
6．在草稿纸上计算：① ；② ；③ ；④ ，观察你计算的结
果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： _____．
【答案】210
【分析】先分别求出①②③④的结果，发现的规律并用规律进行求解即可．
【详解】解： ＝1，
，
，
＝10，
…
∴ ＝1+2+3+4+…+20＝210．
故答案为：210．
【点睛】此题主要考查了学生的计算、分析、总结归纳的能力，解题关键是从题中数据的特点找
到规律，并利用规律解题．
7．观察下组数据，寻找规律：0、 、 、3、2 、 ……那么第10个数据是__________.
【答案】
【分析】通过观察可知，规律是根号下的被开方数依次是：
所以第10个数据应是 ．
【详解】解：∵0， ， ，3， ， …，
以此类推，第n个数为 ，
∴第10个数据是 ，故答案为： ．
【点睛】主要考查了学生的分析，总结，归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方
法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律，还考查了二次根式的性质．
8．观察下列各式：（1） ；（2） ；（3）
；…，根据上述规律，则 ______．
【答案】155
【分析】根据前面几个算式的值，探究总结出规律，再计算 的值．
【详解】解：因为 ＝5＝1×4+1，
＝11＝2×5+1，
＝19＝3×6+1，
…，
∴ ＝11×14+1＝155．
故答案为：155．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，解决问题的关键是根据已知算式探究规律，运用探究总结
的规律解答．
9．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：① ；② ；③ ；④
，观察你计算的结果，用你发现的规律得出 的值为________．
【答案】325
【分析】根据① =1；② =3=1+2；③ =6=1+2+3；④
=10=1+2+3+4，…，可得： =1+2+3+…+n，据此求出 的值
为多少即可．
【详解】解：① ；② =3=1+2；
③ =6=1+2+3；
④ =10=1+2+3+4，…，
∴ =1+2+3+…+n，
∴
=1+2+3+…+25
=325．
故答案为：325．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，以及数字的变化规律的应用，要熟练掌握．
10．观察下列各式：
当n＝3时， ，
当n＝4时， ，
当n＝5时， ，
根据以上规律，写出当n＝7时的等式是______．
【答案】
【分析】根据题意得出相关规律，然后计算即可．
【详解】解：当n＝3时， ，
当n＝4时， ，
当n＝5时， ，当n＝n时， ，
∴
当n＝7时， ，
∴
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查二次根式的计算及规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键．
11．设 ，求不超过 的最大整数 ______．
【答案】
【分析】首先将 化简，可得 ，然后再代入原式求出
，即可得出答案．
【详解】解：
，
，
不超过 的最大整数 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查完全平方公式、二次根式的化简，能正确化简是解题的关键．
12．观察下列各式：
， ， ，……
请利用你所发现的规律，计算 ，
其结果为___________．
【答案】
【分析】直接根据已知数据变化规律，进而将原式变形为
，进行计算即可解答．
【详解】由题意得：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数的运算，规律性：数字的变化类，正确将原式变形是解题的关键．
13．（1）化简下列各式，观察计算结果，归纳你发现的规律：
① = ________ _ ， = ________ _ ．
② = ________ _ ， = ________ _ ．
③ = ________ _ ， = ________ _ ．（2）根据上述规律写出 与 的关系是 ________ _ ；
（3）请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来 ________ _ ．
【答案】（1）① ；② ；③ ；（2） ；（3）
.
【详解】试题分析：（1）逐一计算即可；
（2）根据（1）的规律即可得出结论；
（3）根据（1）（2）的规律即可得出结论.
试题解析：（1）① ；② ；③ .
（2） .
（3） .
考点：1.探索规律题（数字的变化类）；2.二次根式化简.
14．细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：
， （ 是 的面积）；
， （ 是 的面积）；
， （ 是 的面积）；
…
(1)请你直接写出 ______， ______；(2)请用含有 （ 为正整数）的式子填空： ______， ______；
(3)在线段 、 、 、…、 中，长度为正整数的线段共有______条．
(4)我们已经知道 ，因此将 分子、分母同时乘以 ，分母就变
成了4，请仿照这种方法求 的值；
【答案】(1)10，
(2) ，
(3)44
(4)18
【分析】（1）认真阅读新定义，根据已知写出答案即可；
（2）认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可；
（3）通过分析数据不难发现当边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数．分析
2022最接近哪个正整数的平方．
（4）化简整理后求值即可．
【详解】（1）解：由题意可得， ， ，
故答案为：10，
（2）由题意可得 ， ，
故答案为： ，
（3）解：线段 、 、 、…、 的长分别是 、 、 、 、...、 ．
长度为正整数的数字分别是1、2、3、4、5、....、a，∵ ， ，
∴ ，
∴线段 、 、 、…、 中，长度为正整数的线段共有 44条．
故答案为：44．
（4）
；
【点睛】本题考查了数学中的阅读能力，以及对新定义的理解，还有二次根式的化简，关键是理
解新定义和有关二次根式的化简运算．
15．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
(1)求 __________；
(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：______________；
(3)利用这一规律计算：
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（1）根据题目中的例子进行分母有理化求解即可；
（2）按照所给等式的变化规律写出第 个等式即可；
（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）由题意可得： ，
故答案为： ；
（2）由题意可得： 为正整数），
故答案为： ；
（3）
．
【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化及二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次
根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特
点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16．晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根
式的运算规律．下面是晓明的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1： ，
特例2： ，特例3： ，
特例4： ＝_____．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为：_____．
(3)应用运算规律：
①化简： ＝____；
②若 （a，b均为正整数），则a+b＝_____．
【答案】(1)5
(2)（n+1）
(3)①2021 ；②22
【分析】（1）观察特例可得结论；
（2）观察特例与结果间数字间关系得结论；
（3）①先计算 ，再算乘法得结论；
②根据前面总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果．
（1）
解： ．
（2）
解: ,（3）
解: ①
＝2021 ×
＝2021×
＝2021 ．
②∵ (a，b均为正整数)，
∴a+1＝11，b＝a+2．
∴a＝10，b＝12．
∴a+b＝22．
【点睛】本题考查数式规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键．
17．观察下列各等式及验证过程：
，验证 ；
，验证 ；
，验证 ．
针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式_____．
【答案】
【分析】归纳总结得到一般性规律，写出结果，验证即可．
【详解】解：观察下列各等式及验证过程：
，验证 ；，验证 ；
，验证 ．
..．
用n（n为正整数）表示的等式为： ，
验证等式左边＝ ，
右边＝ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了实数的运算，弄清题中的规律是解本题的关键．
18．观察下列等式，解答后面的问题．
第1个等式： ．
第2个等式： ．
第3个等式：
第4个等式：
……
(1)请直接写出第5个等式．
(2)根据上述规律猜想第n个等式（ ，且n为正整数），并给予证明．
【答案】(1)(2) 且n为正整数，证明见解析
【分析】（1）由 ，且n为正整数，可得第5个等式的左边根号下的第一个数是7，第二个数
的分子是1，分母是 等式的右边根号外面的数是 根号下的数的分子是1，分母是 从而可得
答案；
（2）由 ，且n为正整数，可得等式左边根号下的第一个数是 第二个数的分子是1，分
母是 等式的右边根号外面的数是 根号下的数的分子是1，分母是 从而可得规律，再
利用分式的加减运算与二次根式的化简进行证明即可．
（1）
解：第1个等式： ．
第2个等式： ．
第3个等式：
第4个等式：
……
∴第5个等式为：
（2）
由（1）归纳可得：
且n为正整数，
证明如下：等式的左边
等式的右边，
∴归纳的规律正确．
【点睛】本题考查的是实数的运算规律的探究，分式的加减运算，掌握“从具体到一般的探究方
法，再总结归纳出规律”是解本题的关键．
19．【观察】请你观察下列式子．
第1个等式： ．
第2个等式： ．
第3个等式： ．
第4个等式： ．
第5个等式： ．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
(1)写出第7个等式 ．
(2)请根据上面式子的规律填空： ＝ ．
(3)利用（2）中结论计算： ．
【答案】(1) ＝7
(2)n+1
(3)14
【分析】（1）根据规律直接写出式子即可；
（2）所给 是n+1个式子，根据规律即可得；
（3）根据得出的结论可知 ，利用规律即可得．
（1）
解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13，
∴第7个等式为： ，
故答案为： ；
（2）
解：根据材料中给出的规律可知： ，
故答案为： ；
（3）
解：根据（2）中的规律知，
．
【点睛】本题考查了数字变化规律类，解题的关键是掌握是式子的规律．
20．观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式：______，并证明．
【答案】(1)
(2) （ 为正整数） ，证明见解析【分析】（1）根据前面4个等式提供的规律信息可得第5个等式；
（2）根据等式左边根号下的第1个加数为一列正整数，第2个数的分子为1，分母为从3开始的
正整数，等式右边根号外的数的分子为从2开始的正整数，分母为从3开始的正整数，根号下为从
3开始的正整数，再利用字母表示即可，最后利用分式的加减运算与算术平方根的含义进行证明即
可．
（1）
解：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……；
∴第5个等式： ；
（2）
解：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……；
归纳总结可得：第n个等式为：
（ 为正整数）
证明如下：
等式左边等式的右边，
∴归纳的公式成立．
【点睛】本题考查的是分式的加减运算，算术平方根的含义，实数的运算规律的探究，二次根式
的化简，掌握“探究方法并归纳总结规律”是解本题的关键．
21．观察下列各式：① ，② ，③ ，④ ，…．
利用你观察到的规律
(1)写出 ， ；
(2)计算 的值为 ．
【答案】(1) ，
(2)2021
【分析】（1）由已知式子，可得出 ；
（2）利用 ，表示出f（1）、f（2），……，f（2021），结合平方
差公式计算即可．
（1）
解：由已知式子可得： ，
当 时， ．
故答案为： ，
（2）解：原式=
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，根据规律写出f（n）的代数式是解本题的关键．
