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专题05模型方法课之三垂直模型压轴题专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在等腰直角 中， ， 的直角顶点D与 的中点重
合，两边分别交 ， 于点E，F，有以下结论：① ；②
；③ ；④ ．上述结论错误的是
（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．在正方形 中，直线 经过对角线 ， 的交点 ，过 ， 两点分别作
直线 的垂线，交直线 于点 ， ．若 ， ，则 长为（ ）
A．2 B．3 C．2或6 D．3或7
3．如图，正方形 中， ， 分别为 ， 上的点， ， ， 交
于点 ， 交 于点 ， 为 的中点， 交 于点 ，连接 ．下列结
论：① ；② ；③ ；④ ，正确的个数
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
4．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AD与BE为△ABC的高，交点为F，CD=4，
则线DF=___________．
15．如图，已知正方形 的边长为 ，点 是 边上一动点，连接 ，将 绕
点 顺时针旋转 到 连接 ，则 的最小值是_____．
6．如图，正方形 中， 为 边上一点，且 ，将 绕点 逆时针旋转
得到 ，连接 、 ，则线段 的长度是_________．
7．如图，在四边形 中， ， 是 上一点， ，
， ______．
三、解答题
8．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过C在△ABC外作直线MN，
AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N．
2（1）求证：MN＝AM＋BN；
（2）如图2，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点
N（AM＞BN），（1）中的结论是否仍然成立？说明理由．
9．如图， ， ， 于点E， 于点F，其中
．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求BE的长；
（3）连接AB，取AB的中点为Q，连接QE，QF，判断 的形状，并说明理由．
10．如图，三角形 中， 于 ，若 ， ．
（1）求证： ；
（2）延长 交 于点 ，求证： ．
11．问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝
BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．
3问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需
要说明理由．
问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有
怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．
12．如图，已知： 中， ， ，分别过B，C向经过点A的直
线EF作垂线，垂足为E，F．
（1）当EF与斜边BC不相交时，请证明 如图 ；
（2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明： ；
13．（1）问题：如图①，在四边形 中， ， 是 上一点，
， ．求证： ；
（2）问题：如图②，在三角形 中， ， 是 上一点， ，
且 ．求 的值．
14．在△ABC中，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，
4且AD=CE；
（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：AC⊥BC．
（2）判断AD、BE、DE这三条线段之间的数量关系，并说明理由．
（3）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样
的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不必证明．
15．（1）（问题原型）如图，在等腰直角三角形 中， ， ．过
作 ，且 ，连结 ，过点 作 的 边上的高 ，易证
，从而得到 的面积为_________．
（2）（初步探究）如图，在 中， ， ，过 作 ，
且 ，连结 ．用含 的代数式表示 的面积并说明理由．
（3）（简单应用）如图，在等腰 中， ， ，过 作 ，
且 ，连结 ，求 的面积（用含 的代数式表示）．
16．如图，已知 和 均是直角三角形， ， ，
于点 ．
5（1）求证： ≌ ；
（2）若点 是 的中点， ，求 的长．
17．（提出问题）如图1，在直角 中，∠BAC=90°，点A正好落在直线l上，则
∠1、∠2的关系为
（探究问题）如图2，在直角 中，∠BAC=90°，AB=AC，点A正好落在直线l上，
分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说
明理由．
（解决问题）如图3，在 中，∠CAB、∠CBA均为锐角，点A、B正好落在直线
l上，分别以A、B为直角顶点，向 外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形
BCF，分别过点E、F作直线l的垂线，垂足为M、N．
①试探究线段EM、AB、FN之间的数量关系，并说明理由；
②若AC=3，BC=4，五边形EMNFC面积的最大值为
18．综合与实践．
积累经验
我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中
经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在
中， ， ，线段 经过点 ，且 于点 ， 于
点 .求证： ， ”这个问题时，只要证明 ，即可得到
解决，
（1）请写出证明过程；
6类比应用
（2）如图2，在平面直角坐标系中， 中， ， ，点 的坐标
为 ，点 的坐标为 ，求点 的坐标．
拓展提升
（3）如图3， 在平面直角坐标系中， ， ，点 的坐标为
，点 的坐标为 ，则点 的坐标为____________．
19．如图，等腰 中， ， ，点 ， 分别在坐标轴上．
（1）如图1，若点 的横坐标为 ，直接写出点 的坐标_______；
7图1
（2）如图2，若点 的坐标为 ，点 在 轴的正半轴上运动时，分别以 ，
为边在第一、第二象限作等腰 ，等腰 ，连接 交 轴于点 ，
当点 在 轴的正半轴上移动时， 的长度是否发生改变？若不变，求出 的值；
若变化，求 的取值范围．
图2
20．在直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．
（1）如图①，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰 ，若已知 ，
，试求C点的坐标．
（2）如图②，若点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点D的纵坐标为b，
以B为顶点， 为腰作等腰 ，当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都
不变时，求式子 的值．
8（3）如图③，E为x轴负半轴上的一点，且 ， 于点F，以OB为边
作等边 ，连接EM交OF于点N，求式子 的值．
21．在 中， ，直线 经过点C，且 于D，
于E，
（1）当直线 绕点C旋转到图1的位置时，显然有： （不必证明）；
（2）当直线 绕点C旋转到图2的位置时，求证： ；
（3）当直线 MN绕点C旋转到图3的位置时，试问 、 、 具有怎样的等
量关系？请直接写出这个等量关系．
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