文档内容
专题 05 相似三角形中的动点问题
例1．（分类讨论）如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s
的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，
另一点也停止运动，设运动时间为xs．
(1)当 时，求x的值．
(2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
例2．（角度相等）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AD⊥BC，垂足为D，F为AD
中点．点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速
运动，速度为1cm/s；点E为点P关于AD的对称点．连接PQ、FQ、EF、AE．设运动时间为t（s）（0＜t
＜4），解答下列问题：
（1）当PQ∥AE时，求t的值；
（2）设四边形AEPQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠DFE＝∠AFQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明
理由．【变式训练1】如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿
CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，
另一个点随之停止．
(1)求经过几秒后，△PCQ的面积等于 ？
(2)经过几秒，△PCQ与△ABC相似？
【变式训练2】（一次函数与相似）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 、 ，点P的
坐标为 ．点E是y轴上一动点，QP⊥EP交AB于点Q（保持点Q在x轴上方），EF⊥EQ交AB于
点F．
(1)当PQ⊥AB时，求OE的长．
(2)当点E在线段OB上移动时，设AQ＝n，OE＝m，求n关于m的函数表达式．
(3)点E在射线OB上移动过程中，点Q、E、F构成的三角形与△OAB相似，求出点E的纵坐标．【变式训练3】如图1，已知矩形 的边长 ， ．某一时刻，动点M从点A出发，沿
以 的速度向点B匀速运动：同时点N从点D出发，沿 方向以 的速度向点A匀速运动，
点N运动到点A时停止运动，运动时间为t．
(1)若 是等腰直角三角形，则 ___________（直接写出结果）．
(2)是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与 相似？若存在，求t的值，若不存在，请说明
理由．
(3)如图2，连接 ，试求 的最小值．
【变式训练4】（二次函数与相似）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B
的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，抛物线在第四象限的图象上有一点M，求四边形ABMC面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)如图2，直线CD交x轴于点E，若点P是线段EC上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
课后训练
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点 的坐标是 ，动点P从点A出发，以每秒1个单
位的速度沿线段AB运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段OC运动，连接OB，连接
PQ与线段OB相交于点D，两点同时出发，当点Q到达点O时，P，Q同时停止运动，设运动时间为
．
（1） _____________， _____________（请用含 的代数式表示）
（2）当 时，求 的值．
（3）在P，Q运动的过程中，将矩形AOCB沿PQ折叠，点A，点O的对应点分别是点E，点F．
①当点F恰好落在线段OB上时，直接写出此时的t值．
②连接PF，连接OF，当 时，直接写出此时点F的坐标．2．如图，抛物线 的图象与 轴交于点 ， ，与 轴相交于点 ，顶点为 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点 是 轴右侧抛物线上一点，过点 作 轴于 ，以 ， ， 为顶点的三角形与
相似，求点 的坐标．
3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B在直线 上，过点B作AB的垂线，过原点
O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若 ，求证： ．
②若 ，求四边形 的面积．
（2）是否存在点B，使得以 为顶点的三角形与 相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说
明理由．4．如图，在矩形 中， ， 是对角线 的中点， 是线段 上一点，射线 交 于点 ，
交 延长线于点 ，连接 ，在 上取点 ，使 ，设 ，
（1）连接 ，当 时，判断四边形 是否为平行四边形，并说明理由．
（2）当 时，若 平行 的某一边，求 的长．
（3）若 ，分别记 和 的面积为 和 ，且 ．求 的值．
5．如图1，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），过点P作PE⊥CD
于点E，连接PB，已知AD＝3，AB＝4，设AP＝m．
（1）当m＝1时，求PE的长；（2）连接BE，试问点P在运动的过程中，能否使得 PAB≌△PEB？请说明理由；
（3）如图2，过点P作PF⊥PB交CD边于点F，设C△F＝n，试判断5m+4n的值是否发生变化，若不变，
请求出它的值；若变化，请说明理由．
6．如图，在平行四边形 中， ，点 是线段 上的一个动点，点 是平行四边形 边
上一点，且 ．
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）若 ， ．
①如图2，连接 交 于点 ， ，求 的值．
②如图3，点 从点 运动到点 ，求点 的运动的路径长．
7．如图，在矩形 中， ， ，连接 ，点 为 的中点，点 为边 上的一个
动点，连接 ，作 ，交边 于点 ．已知点 从点 开始，以 的速度在线段 上移动，设运动时间为 ．解答下列问题：
（1）当 为何值时， ？
（2）连接 ，设 的面积为 ，求 与 的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使 ？若存在，求出 的值；若不存在，
请说明理由；
（4）连接 ，在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使 恰好将 分成面积比为 的两部分？若
存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
8．已知，如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D，直线PM交BC于点P，交AC
于点M，直线PM从点C出发沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持PM⊥BC，过点P
作PQ⊥AB，交AB于点Q，交AD于点N，连接QM，设运动时间是t(s)(0＜t＜6)，解答下列问题：
（1）当t为何值时，QM//BC？
（2）设四边形ANPM的面积为y(cm2)，试求出y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的 ？若存在，求出t的值；若不存在，
请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明
理由．
