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专题05 解二次方程与特殊四边形结合
类型一 正方形中的二次方程
1．如图，已知四边形 是边长为4的正方形，以对角线 为边作正三角形 ，过点 作
，交 的延长线于点 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中有点A(－4，0)、B(0，3)、P(a，－a)三点，线段CD与AB关于点P中心对
称，其中A、B的对应点分别为C、D．当a＝______时，四边形ABCD为正方形
3．如图，正方形 边长为 ，则 _____________4．如图，正方形ABCD边长为 ，△BCD绕B顺时针旋转至△BFE，点C与点F对应，点D与点E对应，
连接AE，交BD于点P，当P是AE的中点时，△AEB的面积为___．
5．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且 ．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若H是AB上的一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90度，得到线段
HE，过点E分别作BC及AB的延长线的垂线，垂足分别是F，G，设四边形BGEF的面积为 ，以HB，BC
为邻边的矩形面积为 ，且 ，当 时，求AH的长；
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴上，点B的坐标为（8，8），点D在线段BC上（不与B，C重合），将△OCD沿OD翻折，使得点C落在同一平面内的点
E处．
（1）如图1，当OD＝10时．
①求点D的坐标．
②延长DE交AB于点F，求点F的坐标．
（2）连结BE并延长，交正方形OABC的边于点G，若BD＝OG，求点D的坐标．
类型二 平行四边形中的二次方程
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=5，BC=6．
（1）求OD长的取值范围；
（2）若∠CBD=30°，求OD的长．
8．如图，在平面直角坐标系中， ， ，四边形 为平行四边形， 在 轴上一
定点， 为 轴上一动点，且点 从原点 出发，沿着 轴正半轴方向以每秒 个单位长度运动，已知 点
运动时间为 ．
(1)点 坐标为________， 点坐标为________；(直接写出结果，可用 表示)
(2)当 为何值时， 为等腰三角形；
(3) 点在运动过程中，是否存在 ，使得 ，若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由！9．已知△ABC是等边三角形，点P是平面内一点，且四边形PBCD为平行四边形，将线段CD绕点C逆时针
旋转60°，得到线段CF
(1)如图1，当P为AC的中点时，求证：FC⊥PD．
(2)如图2，当P为△ABC内任一点时，连接PA、PF、AF，试判断△PAF的形状，并证明你的结论.
(3)当B、P、F三点共线且AB= ，PB=3时，求PA的长.
10．如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单
位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒 个单位长度的速度运动，且恰好能始终
保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连
结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运
动时间为t秒（t≥0）．
（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为 ABC面积的一半？
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．类型三 矩形菱形中的二次方程
11．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线BP翻折得到
△A'BP．当AP＝8时，A′D＝__．如图2，连接A'C，当AP＝2时，此时△A'BC的面积为__．
12．如图，折叠菱形纸片ABCD，使得A′D′对应边过点C，若∠B＝60°，AB＝2，当A′E⊥AB时，AE的长是（
）
A．2 B．2 C． D．1+
13．（1）如图1，四边形ABCD是矩形，以对角线AC为直角边作等腰直角三角形EAC，且 ．
请证明： ；
（2）图2，在矩形ABCD中， ， ，点P是AD上一点，且 ，连接PC，以PC为直
角边作等腰直角三角形EPC， ，设 ， ，请求出y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，连接BE，若点P在线段AD上运动，在点P的运动过程中，当 是等腰三角
形时，求AP的长．14．如图，在菱形 ， 于点 ， 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的值．
15．如图，在菱形 中， 是 边上的动点，作 交 于点 ，在
上取点 使 ，连结
（1）求 的度数；
（2）求证：
（3）若 是 的中点，当 为何值时， 是等腰三角形．
16．综合与实践
问题情境：
数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），
已知矩形纸片宽 ．
动手实践：（1）如图1，腾飞小组将矩形纸片 折叠，点 落在 边上的点 处，折痕为 ，连接 ，然
后将纸片展平，得到四边形 ．试判断四边形 的形状，并加以证明．
（2）如图2，永攀小组在矩形纸片 的边 上取一点 ，连接 ，使 ，将 沿线
段 折叠，使点 正好落在 边上的点 处．连接 ， ，将纸片展平，
①求 的面积；
②连接 ，线段 与线段 交于点 ，则 ______．
深度探究：
（3）如图3，探究小组将图1的四边形 剪下，在边 上取一点 ，使 ，将
沿线段 折叠得到 ，连接 ，探究并直接写出 的长度．
