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专题 06 一元一次方程的定义、等式的性质及求解一元一次方程
之十大题型
判断是否是一元一次方程
例题：（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）下列各式中是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·新疆和田·七年级和田市第三中学校考期末）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）下列方程为一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
根据一元一次方程的定义求参数问题
例题：（2023上·重庆南岸·七年级校考期末）已知 是关于 的一元一次方程，则
．【变式训练】
1．（2023下·黑龙江绥化·七年级统考期末）若 是关于 的一元一次方程，则
的值为 ．
2．（2023上·河南安阳·七年级校考期末）若关于 的方程 是一元一次方程，则
．
等式的基本性质
例题：（2023下·山东淄博·八年级统考期末）已知 ，且 ， ，则下列变形不正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·甘肃白银·七年级统考期末）已知等式 ，则下列式子中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·湖南永州·七年级统考期末）下列运用等式的性质进行变形，不正确的是( )
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
已知一元一次方程的解求参数的值
例题：（2023上·云南昭通·七年级统考期末）如果 是方程 的解，那么 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023下·黑龙江绥化·六年级校联考期末）已知关于x的方程 的解是 ，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．2023
2．（2023下·云南德宏·七年级统考期末）若 是关于x的一元一次方程 的解，则代数
式 的值是（ ）
A．2 B．3 C．7 D．9
解一元一次方程
例题：（2023上·江西赣州·七年级于都县第二中学校考期末）解方程： ．
【变式训练】
1．（2023上·云南红河·七年级统考期末）解下列方程：
(1) ； (2) ．
2．（2023上·新疆和田·七年级和田市第三中学校考期末）解方程：
(1) (2)
解一元一次方程中错解复原
例题：（2023下·河南南阳·七年级统考期末）老师让同学们解方程 ，某同学给出了
如下的解答过程：
解：去分母得： ，
去括号得： ，移项得： ，
合并得： ，
两边都除以7，得 ，
根据该同学的解答过程，你发现：
(1)从第_______步开始出现错误，该步错误的原因是______________________；
(2)请你给出正确的解答过程．
【变式训练】
1．（2023上·河南平顶山·七年级统考期末）下面是明明解方程 的过程：
解：去分母得： （第一步），
去括号得： （第二步），
移项得： （第三步），
合并同类项得： （第四步），
系数化为1得： （第五步），
根据解答过程完成下列任务．
任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是_________；②第_________步开始出现错误，这
一步错误的原因是_________；
任务二：请你写出解方程的正确过程；
任务三：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议_________．
2．（2023上·山西太原·七年级统考期末）（1）解方程： ；
（2）下面是小亮同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答相应问题．
解方程： ．
解：去分母，得 ． 第一步
去括号，得 ． 第二步移项，得 ． 第三步
合并同类项，得 第四步
方程两边同除以 ，得 ． 第五步
填空：
①以上求解步骤中，第________步开始出现错误，具体的错误是_____________________；
②该方程正确的解为________．
已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值
例题：（2023下·福建泉州·七年级统考期末）若关于x的方程 的解是整数，且k是
正整数，则k的值是（ ）
A．1或3 B．3或5 C．2或3 D．1或6
【变式训练】
1．（2023上·重庆南岸·七年级校考期末）已知关于 的方程 的解是负整数，那么整数 的
所有取值之和为（ ）
A．4 B．0 C． D．
2．（2023下·广东惠州·七年级统考期末）已知关于x的方程 有非负整数解，则负
整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A． B． C． D．
已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解
例题：（2023上·山东泰安·六年级统考期末）若关于 的一元一次方程 的解为 ，
则关于 的一元一次方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】1．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）已知关于x的一元一次方程 的解为
，那么关于y的一元一次方程 的解为 ．
2．（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）关于x的一元一次方程 的解为 ，
那么关于 的一元一次方程 的解为 ．
新定义型一元一次方程
例题：（2023上·河北张家口·七年级统考期末）规定的一种新运算“ ”： ，例如：
．
(1)试求 的值；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ，求 的值．
【变式训练】
1．（2020上·广东广州·七年级校考阶段练习）定义一种新运算“ ”： ，如
(1)求 的值；
(2)若 ，求x的值；2．（2023上·河南信阳·七年级统考期末）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：
，如：
(1)求 的值；
(2)已知 ，求x的值．
解一元一次方程的拓展问题
例题：（2023下·河南南阳·七年级统考阶段练习）如果两个方程的解相差 ，则称解较大的方程为
另一个方程的“后移方程”．例如：方程 是方程 的后移方程．
(1)请判断方程 是否为方程 的后移方程______ 填“是”或“否” ；
(2)若关于 的方程 是关于 的方程 的后移方程，求 的值．
【变式训练】
1．（2023上·江西赣州·七年级于都县第二中学校考期末）我们规定关于x的一元一次方程 的
解为 ，则称该方程是“差解方程”，例如： 的解为 ，则该方程
就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：
【定义理解】
（1）判断：方程 ________差解方程；（填“是”或“不是”）
（2）若关于x的一元一次方程 是“差解方程”，求m的值；【知识应用】
（3）已知关于x的一元一次方程 是“差解方程”，则 __________．
（4）已知关于x的一元一次方程 和 都是“差解方程”，求代数式
的值．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
的解为 ，而
的解为 ，而
将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程 （ ）的解为 ，则称之
为“奇异方程”，请解决以下问题：
(1)方程 是“奇异方程”吗？请说明理由；
(2)若方程 是“奇异方程”，求m的值．
一、单选题
1．（2023上·湖南益阳·七年级统考期末）若 是关于x的方程 的解，则a的值是( ) ．
A． B．0 C．2 D．3
2．（2023上·四川凉山·七年级统考期末）下列方程中：，一元一次方程的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．5个 D．4个
3．（2023上·河北邢台·七年级统考期末）如下图可以表示的等式变形是（ ）（其中 、 、 均
为正数）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
4．（2023下·河南周口·七年级统考期末）下列方程的变形中，正确的是（ ）
A．方程 ，移项得
B．方程 ，可化为
C．方程 ，可化为
D．方程 ，去括号得
5．（2023上·广东广州·七年级统考期末）关于x的两个一元一次方程 与
的解互为相反数，则m的值为（ ）
A． B．26 C．15 D．
6．（2023上·江西抚州·七年级统考期末）定义：若 ，则称 与 是关于 的关联数．例
如：若 ，则称 与 是关于2的关联数；若 与 是关于3的关联数，则 的值是
（ ）
A．1 B． C．1.8 D．2
二、填空题
7．（2023下·湖南岳阳·七年级统考期末）对于方程 ，用含 的代数式表示 ，则
．
8．（2023上·广东梅州·七年级统考期末）若 是方程 的解，则 值为．
9．（2023上·湖北黄石·七年级统考期末）若 是关于 的一元一次方程，则
．
10．（2023上·四川成都·七年级校考期末）已知关于x的方程 的解为正整数，则整数k的
值为 ．
11．（2023上·湖北十堰·七年级统考期末）已知关于x的方程 与
的解互为相反数，则m的值为 ．
12．（2020上·浙江杭州·七年级期末）已知关于 的一元一次方程 的解为
，那么关于 的一元一次方程 的解为 ．
三、解答题
13．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）解下列方程：
(1) ；
(2) ．
(3) ；
(4) ．
14．（2023上·山西晋中·七年级校考期末）下面是小彬同学进行解一元一次方程的过程，请认真阅
读并完成相应任务．
．
，（第一步）
，（第二步）
，（第三步）
，（第四步）．（第五步）
(1)任务一：填空．
①以上求解步骤中，第一步的依据是______________________________．
②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________．
(2)任务二：请直接写出该方程的解．
(3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事
项给其他同学提一条建议．
15．（2023上·广东茂名·七年级统考期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌
捂住了一个多项式，形式如下：
．
(1)求所捂的多项式；
(2)若 是一元一次方程 的解，求所捂多项式的值；
(3)若所捂多项式的值与多项式 的值互为相反数，请求 的值．
16．（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知关于 的两个方程 和 ．
(1)若方程 的解为 ，求方程 的解；
(2)若方程 和 的解相同，求 的值．
17．（2023上·江苏扬州·七年级统考期末）对于任意四个有理数 、 、 、 ，可以组成两个有理数对 与 ．规定： ．如： ．根据上述
规定解决下列问题：
(1)求有理数对 的值；
(2)若有理数对 ，求 ；
(3)若有理数对 的值与 的取值无关，求 的值．
18．（2023上·陕西西安·七年级西安市五环中学校联考期末）布鲁纳的发现学习论认为学习是一个
积极主动的过程，学习者不是被动接受知识，而是主动的获取知识．某个班级的数学探究活动课上，
主持人给出了下列的探究任务．
任务一：自主探究
定义：若 ，则称 与 是关于整数 的“平衡数”；比如3与 是关于 的“平衡数”，
2与8是关于10的“平衡数”．
（1）填空： 与8是关于______的“平衡数”．
任务二：合作交流
（2）现有 与 （ 为常数），且 与 始终是整数 的“平衡
数”，与 取值无关，求 的值．
