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专题 06 一元一次方程的定义、等式的性质及求解一元一次方程
之十大题型
判断是否是一元一次方程
例题：（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）下列各式中是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程进行判断即
可．
【详解】解：A. 是二元一次方程，不符合题意；
B. 是一元一次方程，符合题意；
C. 是分式方程，不符合题意；
D. 是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·新疆和田·七年级和田市第三中学校考期末）下列方程是一元一次方程的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、只含有一个未知数，且未知数的次数是1，是一元一次方程，符合题意；
B、只含有一个未知数，但未知数的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意；
C、只含有一个未知数，但未知数的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数，且未知数的次数是1，这样
的方程叫一元一次方程是解题的关键．
2．（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）下列方程为一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意；
B、有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
C、未知数的最高次数为2次，不是一元一次方程，不符合题意；
D、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义：一个未知数，含未知数的项的最高次数为1的整式方程，
叫做一元一次方程．
根据一元一次方程的定义求参数问题
例题：（2023上·重庆南岸·七年级校考期末）已知 是关于 的一元一次方程，则
．
【答案】
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，据此求解即可．
【详解】∵ 是关于 的一元一次方程，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次
项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
【变式训练】
1．（2023下·黑龙江绥化·七年级统考期末）若 是关于 的一元一次方程，则
的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方
程叫做一元一次方程．它的一般形式是 （ ， 是常数且 ）
【详解】解：∵ 是关于 的一元一次方程，
∴ 且 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
2．（2023上·河南安阳·七年级校考期末）若关于 的方程 是一元一次方程，则
．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义得到 且 ，进行求解 的值即可．
【详解】解：关于 的方程 是一元一次方程，
且 ，
且 ，
且 ，
，故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握只含有一个未知数，并且含未知数的项的次数
是 的整式方程叫做一元一次方程是解答本题的关键．
等式的基本性质
例题：（2023下·山东淄博·八年级统考期末）已知 ，且 ， ，则下列变形不正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，对各选项分析
判断，即可得解．
【详解】∵ ，且 ， ，
∴两边同乘以6，得， ；
∴A. ，不正确，符合题意；
B. ，正确，不符合题意；
∵两边同乘以 ，得， ；
∴C. ，正确，不符合题意；
∵两边同乘以 ，得， ；
∴D. ，正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了等式的变换，熟练掌握等式的性质，是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·甘肃白银·七年级统考期末）已知等式 ，则下列式子中不成立的是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据等式的性质，逐一判定即可．
【详解】解：A，等式的两边同时减1，等式仍成立，因此 成立，故A选项不合题意；
B，等式的两边同时除以3，等式仍成立，因此 成立，故B选项不合题意；
C，等式的两边同时乘以3，等式仍成立，因此 成立，故C选项不合题意；
D，等式左边减1，右边加1，等式不成立，即 不成立，故D选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握：等式的两边同时加或减同一个式子，等式仍成
立；等式的两边同时乘同一个式子，等式仍成立；等式的两边同时除同一个式子(不为零)，等式仍
成立．
2．（2023上·湖南永州·七年级统考期末）下列运用等式的性质进行变形，不正确的是( )
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】直接根据等式的基本性质逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A.根据等式的性质1， 两边同时加3，即可得到 ，故A选项变形正确，
不符合题意；
B.根据等式的性质2， 两边同时乘以 ，即可得到 ，故B选项变形正确，不符合题意；
C.根据等式的性质1， 两边同时加2，即可得到 ，故C选项变形正确，不符合题意；
D.根据等式的性质2， 两边同时除以 ，即可得到 ，故D选项变形错误，符合题
意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查的等式的性质，等式的质1：等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式
仍然成立；等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式,等式仍然成立，熟练掌握等
式的基本性质是解题的关键．已知一元一次方程的解求参数的值
例题：（2023上·云南昭通·七年级统考期末）如果 是方程 的解，那么 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将 代入 ，得到关于 的一元一次方程，解方程即可求解．使方程左右两
边的值相等的未知数的值是该方程的解．
【详解】解：依题意，
解得： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·黑龙江绥化·六年级校联考期末）已知关于x的方程 的解是 ，则 的值
是（ ）
A．1 B． C． D．2023
【答案】B
【分析】将 代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之可求出a的值，再代入计算即
可得出答案．
【详解】解：将 代入原方程得： ，
解得： ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解以及代数式求值，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右
两边相等”是解题的关键．
2．（2023下·云南德宏·七年级统考期末）若 是关于x的一元一次方程 的解，则代数
式 的值是（ ）
A．2 B．3 C．7 D．9
【答案】C【分析】把 代入方程可得 ，再利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：把 代入方程可得 ，
．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知
数的值．
解一元一次方程
例题：（2023上·江西赣州·七年级于都县第二中学校考期末）解方程： ．
【答案】
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类、系数化为1，解一元一次方程即可．
【详解】解：
去分母，得 ，
去括号，得
移项，得
合并同类项，得 ．
【点睛】本题考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解
一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向 形式
转化
【变式训练】
1．（2023上·云南红河·七年级统考期末）解下列方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）移项合并同类项，即可求解；
（2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解．
【详解】（1）解： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
解得： ；
（2）解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
2．（2023上·新疆和田·七年级和田市第三中学校考期末）解方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）按照移项，合并同类项，系数化为1解答；
（2）方程两边同时乘以6，去分母求解．
【详解】（1）解：移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
∴方程的解为 ；
（2）解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，系数化为1，得 ，
所以方程的解为 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．
解一元一次方程中错解复原
例题：（2023下·河南南阳·七年级统考期末）老师让同学们解方程 ，某同学给出了
如下的解答过程：
解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
两边都除以7，得 ，
根据该同学的解答过程，你发现：
(1)从第_______步开始出现错误，该步错误的原因是______________________；
(2)请你给出正确的解答过程．
【答案】(1)①， 没有乘以6
(2)
【分析】（1）根据题意逐步检查各个步骤即可得到答案；
（2）按照步骤重新解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
第①开始出现错误，该步错误的原因是： 没有乘以6，
故答案是：①， 没有乘以6；
（2）解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，两边都除以 ，得 ，
【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是去分母及去括号注意别漏项及注意符号选取．
【变式训练】
1．（2023上·河南平顶山·七年级统考期末）下面是明明解方程 的过程：
解：去分母得： （第一步），
去括号得： （第二步），
移项得： （第三步），
合并同类项得： （第四步），
系数化为1得： （第五步），
根据解答过程完成下列任务．
任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是_________；②第_________步开始出现错误，这
一步错误的原因是_________；
任务二：请你写出解方程的正确过程；
任务三：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议_________．
【答案】任务一：等式的性质，三，移项没有变号；任务二：见解析；任务三：去分母注意不要漏
乘，去括号要注意符号，养成口头检验的习惯等
【分析】任务一：观察这位同学解方程的步骤，利用等式的基本性质，判断即可得到结果；
任务二：根据解一元一次方程的步骤解答即可；
任务三：答案不唯一，建议只要合理即可．
【详解】解：任务一：第一步的变形依据是：等式的性质；②第三步开始出现错误，这一步错误的
原因是：移项没有变号；
任务二： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
任务三：去分母注意不要漏乘，去括号要注意符号，养成口头检验的习惯等．【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去
分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解本题的关键．
2．（2023上·山西太原·七年级统考期末）（1）解方程： ；
（2）下面是小亮同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答相应问题．
解方程： ．
解：去分母，得 ． 第一步
去括号，得 ． 第二步
移项，得 ． 第三步
合并同类项，得 第四步
方程两边同除以 ，得 ． 第五步
填空：
①以上求解步骤中，第________步开始出现错误，具体的错误是_____________________；
②该方程正确的解为________．
【答案】（1） ；（2）①二，去括号时没有变号；②
【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可求解；
（2）①根据等式的性质得出即可；②去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】解：（1） ，
移项得： ，
合并得：
系数化为1得： ；
（2）①第二步开始出现错误，
具体的错误是：去括号时没有变号；
② ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化成1，得 ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值
例题：（2023下·福建泉州·七年级统考期末）若关于x的方程 的解是整数，且k是
正整数，则k的值是（ ）
A．1或3 B．3或5 C．2或3 D．1或6
【答案】A
【分析】先解方程，再依据解是整数求解即可．
【详解】去分母得 ，
去括号得：
移项合并同类项得： ，
系数化1得： ，
∵关于x的方程 的解是整数，
∴ 或 ，
∴ 或 或 或
∵k是正整数，
∴ 或 ，
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，先解方程再利用整数解求值是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·重庆南岸·七年级校考期末）已知关于 的方程 的解是负整数，那么整数 的
所有取值之和为（ ）
A．4 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】解一元一次方程，可得出原方程的解为 ，结合原方程的解是负整数且k为整数，
可得出k的值，再将其相加即可得出结论．
【详解】∵∴ ，
当 时，原方程无解；
当 时， ．
∵原方程的解是负整数，且k为整数，
∴ 或
∴ 或 ，
∴整数k的所有取值之和为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，由原方程的解为负整数，找出整数k的值是解题的关键．
2．（2023下·广东惠州·七年级统考期末）已知关于x的方程 有非负整数解，则负
整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将 的值算出，最后相加即可得出
答案．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
将系数化为1，得 ，
∵ 是非负整数解，
∴ 取 ，
∴ 或 ， 时， 的解都是非负整数，
则 ，
故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解
例题：（2023上·山东泰安·六年级统考期末）若关于 的一元一次方程 的解为 ，
则关于 的一元一次方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，将 替换 代入方程 ，即可得出 ，进
而求出结果即可．
【详解】解：设 ，
则 ，变形为 ，
，
解得： ，
故选： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟知方程得解是能使方程左右两边相等的未知数的值，设
，将 替换 代入方程是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）已知关于x的一元一次方程 的解为
，那么关于y的一元一次方程 的解为 ．
【答案】
【分析】设 ，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可．
【详解】解：设 ，则关于y的方程化为： ，
∴ ，
∴故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了 一元一次方程的解．正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问
题的关键．
2．（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）关于x的一元一次方程 的解为 ，
那么关于 的一元一次方程 的解为 ．
【答案】2023
【分析】将关于 的一元一次方程变形，然后根据一元一次方程解的定义得到 ，进而
可得 的值．
【详解】解：将关于 的一元一次方程 变形为
，
∵关于x的一元一次方程 的解为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握整体思想的应用是解题的关键．
新定义型一元一次方程
例题：（2023上·河北张家口·七年级统考期末）规定的一种新运算“ ”： ，例如：
．
(1)试求 的值；
(2)若 ，求 的值；(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据定义，直接计算求解即可．
(2)根据定义，转化为一元一次方程计算求解即可．
(3)根据定义，转化为一元一次方程计算求解即可．
【详解】（1） ． ．
（2）
．
（3）
．
【点睛】本题考查了新定义问题，一元一次方程的解法，正确理解定义，熟练掌握解方程是解题的
关键．
【变式训练】
1．（2020上·广东广州·七年级校考阶段练习）定义一种新运算“ ”： ，如
(1)求 的值；(2)若 ，求x的值；
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据所给的新定义进行代值计算即可；
（2）根据所给的新定义可得方程 ，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，解一元一次方程，正确理解所给的新定义是解题
的关键．
2．（2023上·河南信阳·七年级统考期末）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：
，如：
(1)求 的值；
(2)已知 ，求x的值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用新定义法则进行计算即可；
（2）利用新定义法则将代求项转化为一元一次方程，再利用解一元一次方程的一般步骤进行求解
即可．
【详解】（1）解：由题意可得：（2）解： ，
可化为：
，
去括号得： ，
合并得： ，
系数化为1得： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程，利用新定义法则将代求项转化为一元一次方程是解题的关键．
解一元一次方程的拓展问题
例题：（2023下·河南南阳·七年级统考阶段练习）如果两个方程的解相差 ，则称解较大的方程为
另一个方程的“后移方程”．例如：方程 是方程 的后移方程．
(1)请判断方程 是否为方程 的后移方程______ 填“是”或“否” ；
(2)若关于 的方程 是关于 的方程 的后移方程，求 的值．
【答案】(1)是
(2)
【分析】（1）根据等式的性质求出两个方程的解，相减后判断即可；
（2）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据题意得出 ，求出 即可．
【详解】（1）解：解方程 得： ，解方程 得： ，
，
方程 是方程 的后移方程．
故答案为：是；（2）解方程 得： ，
解方程 得： ，
关于 的方程 是关于 的方程 的后移方程，
，
，
．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于 或 的一元一次方程是解
此题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·江西赣州·七年级于都县第二中学校考期末）我们规定关于x的一元一次方程 的
解为 ，则称该方程是“差解方程”，例如： 的解为 ，则该方程
就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：
【定义理解】
（1）判断：方程 ________差解方程；（填“是”或“不是”）
（2）若关于x的一元一次方程 是“差解方程”，求m的值；
【知识应用】
（3）已知关于x的一元一次方程 是“差解方程”，则 __________．
（4）已知关于x的一元一次方程 和 都是“差解方程”，求代数式
的值．
【答案】（1）是；（2） ；（3）16；（4）0
【分析】（1）根据差解方程的定义判断即可；
（2）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程，整理即可得出；
（4）根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，得出
， ，然后代入代数式进行计算即可求解．【详解】解：（1）∵方程 的解为 ，
∴方程 是差解方程．
故答案为：是；
（2）由题意可知 ，由一元一次方程可知 ，
∴ ，
解得 ；
（3）∵方程 是“差解方程”，
∴ ，
解方程 ，得 ，
∴ ，
∴ ，即 ．
故答案为：16；
（4）∵一元一次方程 是“差解方程”，
∴ ，
解方程一元一次方程 得
∴ ，
整理得 ，
∵一元一次方程 是“差解方程”，
∴ ，
解方程一元一次方程 得
∴ ，
整理得 ，
∴．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念
列出方程．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
的解为 ，而
的解为 ，而
将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程 （ ）的解为 ，则称之
为“奇异方程”，请解决以下问题：
(1)方程 是“奇异方程”吗？请说明理由；
(2)若方程 是“奇异方程”，求m的值．
【答案】(1)是，理由见详解
(2)
【分析】（1）解原方程，利用“奇异方程”的定义进行验证即可；
（2）根据“奇异方程”定义，利用反证法即可说明；
（3）利用“奇异方程”的定义求出原方程的根，利用方程根的意义将方程的根代入原方程得到
的关系式，即可解关于 的方程．
【详解】（1）方程 是“奇异方程”．理由：
方程 的解为： ，
，
方程 是“奇异方程”．
（2） 关于 的方程 为奇异方程，
方程 的根为： ．
把 代入原方程得：
，．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用
是解题的关键．
一、单选题
1．（2023上·湖南益阳·七年级统考期末）若 是关于x的方程 的解，则a的值是( ) ．
A． B．0 C．2 D．3
【答案】A
【分析】直接利用方程的解的定义代入求解即可．
【详解】解：∵ 是关于x的方程 的解，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，能使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，理
解方程解的定义是关键．
2．（2023上·四川凉山·七年级统考期末）下列方程中：
，一元一次方程的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．5个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都
是整式，这样的方程叫做一元一次方程）即可得．
【详解】解：方程 都是一元一次方程，共有2个，方程 中的 不是整式，不是一元一次方程，
方程 中 的次数是2，不是一元一次方程，
方程 中含有两个未知数，不是一元一次方程，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程，熟记一元一次方程的概念是解题关键．
3．（2023上·河北邢台·七年级统考期末）如下图可以表示的等式变形是（ ）（其中 、 、 均
为正数）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
【答案】C
【分析】观察图形可得，两边的物品都变为之前的一半，天平仍平衡，结合等式的性质，即可进行
解答．
【详解】解：由图可得：两边的物品都变为之前的一半，天平仍平衡，
∴图中可以表示的等式变形是：如果 ，那么 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的性质一：等式两边同时加上或
者是减去同一个整式，等式仍然成立．性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式
仍然成立．
4．（2023下·河南周口·七年级统考期末）下列方程的变形中，正确的是（ ）
A．方程 ，移项得
B．方程 ，可化为
C．方程 ，可化为
D．方程 ，去括号得
【答案】C【分析】根据移项要变号可判定 选项；根据分数的性质可判定 选项；根据去分母的方法可判
定 选项；根据去括号法则可判定 选项，由此即可求解．
【详解】解： 、 移项得， ，故原选项错误，不符合题意；
、方程 可化为， ，故原选项错误，不符合题意；
、方程 ，可化为 ，故原选项正确，符合题意；
、方程 去括号得， ，故原选项错误，不符合题意；
故选： ．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程中的综合知识，掌握移项要变号，分数的性质，去分母的方
法，去括号法则等知识是解题的关键．
5．（2023上·广东广州·七年级统考期末）关于x的两个一元一次方程 与
的解互为相反数，则m的值为（ ）
A． B．26 C．15 D．
【答案】A
【分析】先解 ，再根据方程的解及相反数的定义解决此题．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∴方程 的解为 ．
∴ ．
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程、一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解法、
一元一次方程的解的定义是解决本题的关键．
6．（2023上·江西抚州·七年级统考期末）定义：若 ，则称 与 是关于 的关联数．例
如：若 ，则称 与 是关于2的关联数；若 与 是关于3的关联数，则 的值是
（ ）
A．1 B． C．1.8 D．2
【答案】A【分析】根据题意列出方程求解即可．
【详解】根据题意可得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得， ．
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤．
二、填空题
7．（2023下·湖南岳阳·七年级统考期末）对于方程 ，用含 的代数式表示 ，则
．
【答案】 /
【分析】直接移项即可得出结果．
【详解】解： ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键.
8．（2023上·广东梅州·七年级统考期末）若 是方程 的解，则 值为
．
【答案】2034
【分析】把 代入方程，得 ，对 ，提取公因式3，式子为：
，即可求解．
【详解】解： 是方程 的解，
，
，
．
故答案为：2034．【点睛】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是把解代入方程中，得到代数式．
9．（2023上·湖北黄石·七年级统考期末）若 是关于 的一元一次方程，则
．
【答案】 或 / 或
【分析】根据一元一次方程的定义，指数是1，系数不等于0列方程解答即可．
【详解】解：∵ 是关于x的一元一次方程，
∴ 且 ，
∴ 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，含有一个
未知数并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程．
10．（2023上·四川成都·七年级校考期末）已知关于x的方程 的解为正整数，则整数k的
值为 ．
【答案】2或8/8或2
【分析】解方程用含有k的式子表示x，再根据7除以几得正整数，求出整数k．
【详解】
，
显然 ，
解得， ，
∵k为整数，关于x的方程 的解为正整数，
∴ 或 ，
解得， 或 ，
故答案为：2或8．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解题关键是根据方程的解为正整数，k为整数，确定未知
数的系数的值．
11．（2023上·湖北十堰·七年级统考期末）已知关于x的方程 与
的解互为相反数，则m的值为 ．【答案】2
【分析】分别解一元一次方程，进而利用相反数的定义得出关于m的等式求出答案．
【详解】解： ，
解得： ，
，
去括号得，
移项，合并同类项得， ，
∵关于x的方程 与 的解互为相反数，
∴ ，
解得： ．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，相反数的概念，正确解方程是解题关键．
12．（2020上·浙江杭州·七年级期末）已知关于 的一元一次方程 的解为
，那么关于 的一元一次方程 的解为 ．
【答案】2024
【分析】根据关于x的一元一次方程的解，可以得到m的值，把m的值代入关于y的方程式中，可
以得到y的解．
【详解】法一：∵ 的解为 ，
∴ ，
解得： ，
∴方程 可化为
，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为：2024．
法二：将所求方程两边同乘-1，
对照
比较发现，
x=y-5,而x=2019,
所以y=2024
【点睛】本题考查了已知一元一次方程的解求参数，整体代换解一元一次方程，掌握整体代换的思
想是解题的关键．
三、解答题
13．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）解下列方程：
(1) ；
(2) ．
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）移项，合并同类项即可；
（2）移项，合并同类项，系数化1即可；
（3）去括号，移项，合并，系数化1即可；（4）去分母，去括号，移项，合并，系数化1即可．
【详解】（1）解：
移项，得 ，
合并同类项，得 ；
（2）解：
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（3）解：
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（4）解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法与步骤，去分母，去括号，移项，
合并同类项，系数化1是解题关键．
14．（2023上·山西晋中·七年级校考期末）下面是小彬同学进行解一元一次方程的过程，请认真阅
读并完成相应任务．
．
，（第一步）
，（第二步），（第三步）
，（第四步）
．（第五步）
(1)任务一：填空．
①以上求解步骤中，第一步的依据是______________________________．
②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________．
(2)任务二：请直接写出该方程的解．
(3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事
项给其他同学提一条建议．
【答案】(1)①等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立；②二；括号前是负号，去掉括
号后，括号里的第二项没有变号；
(2) ；
(3)解一元一次方程时，移项时注意变号．（答案不唯一）
【分析】（1）①根据去分母的步骤进行分析，即可得到答案；
②根据解方程的步骤进行分析，即可得到答案；
（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程；
（3）解一元一次方程时，移项时注意变号
【详解】（1）解：①第一步为去分母，依据是等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立，
故答案为：等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立；
②第二步开始出现错误，
原因是：括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号，
个答案为：二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
（2）解：
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，系数化1，得： ；
（3）解：解一元一次方程时，移项时注意变号．（答案不唯一）
【点睛】本题考查的是解方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键．
15．（2023上·广东茂名·七年级统考期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌
捂住了一个多项式，形式如下：
．
(1)求所捂的多项式；
(2)若 是一元一次方程 的解，求所捂多项式的值；
(3)若所捂多项式的值与多项式 的值互为相反数，请求 的值．
【答案】(1)所捂的多项式是
(2)所捂多项式的值是5
(3)x的值是
【分析】（1）根据题意列出整式相加减的式子，再去括号，合并同类项即可；
（2）先求出 的解，然后代入（1）中求得的所捂的多项式即可；
（3）根据相反数可知 ，求解即可．
【详解】（1）
，
即所捂的多项式是 ；
（2） 是 的解，
，
∴ ，即若 是 的解，所捂多项式的值是5；
（3）若所捂多项式的值与多项式 的值互为相反数，可得
，
解得 ，
∴x的值是 ．
【点睛】本题考查的是整式的加减、代数式求值，解一元一次方程，解题的关键是明确整式的加减
的方法，运用转化的数学思想求出所求的代数式，会根据具体的x的值求代数式的值，能发现题目
中所求式子的值的规律，会根据规律解答问题．
16．（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知关于 的两个方程 和 ．
(1)若方程 的解为 ，求方程 的解；
(2)若方程 和 的解相同，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程的解的定义，将方程的解代入方程，求得 ，再将的值代入方程
，求解即可得到答案；
（2）分别求解两个方程，得到 和 ，再根据两个方程的解相同，得到 ，
求解即可得到答案．
【详解】（1）解：把 代入方程 ，
得： ，
解得： ，
把 代入方程 ，得： ，
去分母，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化1，得： ，
即方程 的解是 ；
（2）解：解方程 ，得： ，
解方程 ，得： ，
方程 和 的解相同，
，
解得： ．
【点睛】本题考查了方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键．
17．（2023上·江苏扬州·七年级统考期末）对于任意四个有理数 、 、 、 ，可以组成两个有
理数对 与 ．规定： ．如： ．根据上述
规定解决下列问题：
(1)求有理数对 的值；
(2)若有理数对 ，求 ；
(3)若有理数对 的值与 的取值无关，求 的值．
【答案】(1)22
(2)4
(3)【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义计算即可求出 的值；
（3）原式利用题中的新定义计算，求出整数 的值即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2） ，
，
，
，
，
；
（3）原式 ，
有理数对 ， ， 的值与 的取值无关，
，
．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．
18．（2023上·陕西西安·七年级西安市五环中学校联考期末）布鲁纳的发现学习论认为学习是一个
积极主动的过程，学习者不是被动接受知识，而是主动的获取知识．某个班级的数学探究活动课上，
主持人给出了下列的探究任务．
任务一：自主探究
定义：若 ，则称 与 是关于整数 的“平衡数”；比如3与 是关于 的“平衡数”，
2与8是关于10的“平衡数”．
（1）填空： 与8是关于______的“平衡数”．
任务二：合作交流
（2）现有 与 （ 为常数），且 与 始终是整数 的“平衡
数”，与 取值无关，求 的值．
【答案】（1）2；（2）6
【分析】（1）根据“平衡数”的定义即可得到答案；（2）根据 与 的和与 取值无关求出 ，再根据“平衡数”的定义求 的值即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴根据题意， 与8是关于2的“平衡数”．
故答案为：2
（2）∵ ，与 取值无关，
∴ ，
解得 ，
此时 ，
即 的值为6．
【点睛】此题是新定义运算题，主要考查了整式的加减，解一元一次方程等知识，读懂题意并正确
计算是解题的关键．
