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专题 06 乘法公式压轴题的四种考法
类型一、平方差公式与几何图形综合
例1．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，
拼成图②的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① 图② ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母a、b表示)；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m﹣n=3，2m+n=4，则4m2﹣n2的值为 ；
②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)．
【拓展】计算 的结果为 ．
【变式训练1】如图，在边长为 的正方形中，剪去一个边长为 的小正方形（ ），将余下的部分拼成一个梯形，根据两个图形中阴影部分面积关系，解决下列问题：
（1）如图①所示，阴影部分的面积为 （写成平方差形式）．
（2）如图②所示，梯形的上底是 ，下底是 ，高是 ，根据梯形面积公
式可以算出面积是 （写成多项式乘法的形式）．
（3）根据前面两问，可以得到公式 ．
（4）运用你所得到的公式计算： ．
【变式训练2】从边长为 的正方形剪掉一个边长为 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方
形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）．
A． B． C．
（2）若 ， ，求 的值；（3）计算： ．
【变式训练3】工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．
（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁
剪得边长为3的正方形．
①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用
含a代数式来表示）；
（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中
两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴
影部分的面积为S，图2中阴影部分的面积为S 测得盒子底部长方形长比宽多3，则S﹣S 的值为 ．
1 2 2 1【变式训练4】（1）如图1所示，若大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，则阴影部分的面积是
______；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2所示的一个长方形，则它的面积是_________；
（2）由（1）可以得到一个乘法公式是________；
（3）利用你得到的公式计算： ．
类型二、完全平方公式变形
例1．已知 ，求 与 的值．
例2已知 ，则 ________.
【变式训练1】已知 ，求 的值．
【变式训练2】已知（x+2021）+（x+2022）=49，则（x+2021）（x+2022）的值为（）A．20 B．24 C． D．
【变式训练3】已知： ， ，分别求 和 的值．
【变式训练4】已知 ，求下列各式的值：
【变式训练5】当x=______时，代数式8x2-12x+5有最小值，最小值为______.
类型三、完全平方公式字母的值
例1．当k取何值时， 是一个完全平方式？
【变式训练1】如果 是一个完全平方公式，求k的值．
【变式训练2】若把代数式 化成 的形式，其中 ， 为常数，则 ______．【变式训练3】（1）设 ，则__________．
A． B． C． D．
【变式训练4】若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负
数．例如：0＝02，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，121＝112…．
（1）若28+210+2n是完全平方数，求n的值．
（2）若一个正整数，它加上61是一个完全平方数，当减去11是另一个完全平方数，写所有符合的正整数．
类型四、完全平方公式与几何图形
例.乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b
的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如
图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积．
方法1：________；
方法2：________；
(2)观察图2，请你写出下列三个代数式： ， ， 之间的数量关系：_______；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知： ， ，求 的值；
②已知 ，求 的值．【变式训练1】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后
用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，若x+y=5，xy= ，则x-y= ；
（3）拓展应用：若（2021-m）2+（m-2020）2=7，求（2021-m）（m-2020）的值
【变式训练2】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然
后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
(1)图2中的阴影部分的面积为：____________（用a、b的代数式表示）；
(2)观察图2，请你写出 、 、 之间的等量关系是____________；
(3)利用（2）中的结论，若 ， ，求 的值____________；
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，请你写出这个等式____________．
(5)如图4，点 是线段 上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当 时， 的面积记为 ，当 时， 的面积记为 ，…，以此类
推，当 时， 的面积记为 ，计算 的值．
【变式训练3】如图，将边长为 的正方形剪出两个边长分别为 ， 的正方形（阴影部分）．观察图
形，解答下列问题：
（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1：______，方法2：________；
（2）从中你发现什么结论呢？_________；
（3）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知 ， ，求 的值；
②已知 ，求 的值．【变式训练4】阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．
（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据图②能得到的数
学公式是__________．
（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是__________
（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
（4）根据图④，写出一个等式：__________．
（5）小明同学用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形
纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出图形，并指出x＋y＋z的值．
类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．
（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．【变式训练5】用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的
正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．
（1）由图1可得乘法公式________；
（2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为 的正方形，从中你能
发现什么结论？该结论用等式表示为________；
（3）利用（2）中的结论解决以下问题：
已知 ， ，求 的值；
（4）如图3，由两个边长分别为 ， 的正方形拼在一起，点 ， ， 在同一直线上，连接 ， ，
若 ， ，求图3中阴影部分的面积．
