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专题 06 实际问题与二次函数之五大题型
图形问题
例题：（2023下·广西·八年级南宁十四中校考期末）2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五
象站铁路枢纽接入地铁4号线．目前4号线剩余的东段（五象火车站-龙岗站）已经在建设中，施
工方决定对终点站龙岗站施工区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长
的砖墙，然后打算用长 的铁皮围栏靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏（平行于 ）的长方形
施工区域．
(1)设施工区域的一边 为 ，施工区域的面积为 ．请求出S与x的函数关系式，并直接写
出自变量x的取值范围；
(2)当围成的施工区域面积为 时， 的长是多少？
(3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/ ，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过
计算判断项目方的拨款能否够用．【变式训练】
1．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）如图，利用一面墙（墙长20米），用总长43米的篱笆
（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍 ，且中间共留两个1米的小门．设篱笆 长为x米．
(1) ______米（用含x的代数式表示）；
(2)矩形鸡舍 的面积的最大值是多少？说明理由．
2．（2023上·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）为了改善小区环境，某小区决定在一
块一边靠墙（墙长25米）的空地上修建一个矩形绿化带 ，一边靠墙，另三边用总长为40米
的栅栏围住．设 长为x米，绿化带面积为 ．
(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大是多少？
(3)若墙长是18米，当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大？拱桥问题
例题：（2023上·江苏泰州·九年级统考期末）苏北里下河水乡溱潼镇，过去有着“出门就过河”的
历史，随着经济的发展，桥梁逐渐增多，其中以新读书址大桥最为壮观．现测得其中一钢架跨径为
24m，拱高14.4m，每隔3m有一根立柱．
(1)该钢架可以看作一个二次函数的图像，如右图所示，请建立适当的平面直角坐标系，并写出这
个二次函数的表达式；
(2)求制作右图中这七根立柱共需要多长的不锈钢管．
【变式训练】
1．（2023上·安徽池州·九年级统考期末）某段公路上有一条双向线隧道（可双向行驶，车辆不能
行驶在中间线上）隧道的纵截面由矩形的三边和一段抛物线构成．以AB所在的直线为x轴，AB的
中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，已知隧道宽度 米，隧道最高处距路面 米，
矩形的宽 米．
(1)求这条抛物线的表达式．
(2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上的高度
差至少为0.5米，问该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为多少米？2．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座
拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽 为8米． 上的点E到点A的距离 米，
点E到拱桥顶面的垂直距离 米．他们以点A为坐标原点，以 所在直线为x轴，建立平面
直角坐标系．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式．
(2)求拱桥顶面离水面 的最大高度．
(3)现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面正中间
通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于 米．请通过计算说明该游船是否能安全通过．
销售问题
例题：（2023上·四川泸州·九年级校考期末）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不
容缓．某市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种空气净化器，其进价是200元/台．经过
市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可
多售出10台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低
于450台的销售任务．
(1)求出月销售量 （单位：台）与售价 （单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量 的取值范围；
(2)当售价 定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 （单位：元）最大？最大利
润是多少？
【变式训练】
1．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）为了振兴乡村经济，大力发展绿色乡村建设，某乡镇在
重点旅游道路边上建设一个小型活动广场，计划在 的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查
发现：甲种花卉种植费用 y（元/m2） 与 种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植
费用为20元/m2．花卉布局要求是：甲种花卉种植面积不少于 ，且乙种花卉种植面积不低于
甲种花卉种植面积的3倍．
(1)当 时，甲种花卉的种植费用 _________元/m2，种植总费用 __________元；
(2)如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用最少？最少是多少元？
2．（2023下·河南安阳·九年级统考期末）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了3300
元，第二批花了4000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25
个．
(1)求第二批每个挂件的进价；
(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周
最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
投球问题
例题：（2023上·江苏镇江·九年级统考期末）小马同学在体育课上积极练习掷实心球，在练习过程
中善于观察的他发现，实心球掷出后在空中的轨迹是一条抛物线，每个同学掷实心球的出手高度
是一个固定值（身高 米）．如图，小马身高1.75米，设他抛出的实心球（记为点 ）到
投掷点的水平距离为 （单位：米），实心球（点 ）在空中的高度为 （单位：米）， 与 之
间满足的函数表达式为 ．
(1) 的值为________；
(2)当 时，
①若实心球落地点为 ，此时 ，求小丁本次掷实心球的水平距离 ；
②落地点要超过 ，则 的取值范围为________；
(3)已知男生掷实心球项目满分为10.30米，小马通过反复练习，使得自己掷出的实心球到投掷点的
水平距离为4米时，恰好达到最大高度4米，你认为他能取得满分吗？请说明理由．（参考数据：
， ， ， ， ）【变式训练】
1．（2023上·山东淄博·九年级校考期末）如图，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时
铅球距地面 m，铅球落在点B处，铅球运行中在运动员前方4m处（即达到最高点，最高点距地
面的OC=4m)距离为3m，已知铅球经过的路线是抛物线，根据图中的直角坐标系，求该运动员的
成绩．
2．（2023上·河南周口·九年级校考期末）掷实心球是河南高中阶段学校招生体育考试的选考项目.
如图1所示的是一名女生在投实心球，实心球行进路线可近似地看作一条抛物线，行进高度y
（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为 ，当水平距离为
时，实心球行进至最高点 处.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)根据河南高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，当实心球从起点到落地
点的水平距离大于等于 m时，此项考试得分为满分 分.该女生在此项考试中是否得满分？请说
明理由.（ ）喷水问题
例题：（2023上·浙江杭州·九年级期末）要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水
装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示
的直角坐标系，水流喷出的高度 与水平距离 之间的关系式是 ．
(1)求喷出的水流最高处距离地面多少米？
(2)若喷水池的半径为 ，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由．
【变式训练】
1．（2023上·河北石家庄·九年级统考期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心 点竖直安
装一根高 的水管，在水管的顶端 处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水
平距离为 处达到最高 ．以池中心 为原点，原点与水柱落地处 所在直线为 轴，水管所在
直线为 轴建立直角坐标系（如图）．求水柱落地处 到池中心 的距离．2．（2023上·江苏盐城·九年级统考期末）城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水，
如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口 离地竖直高度 为 ．如图2，可以
把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽
象为矩形 ，其水平宽度 ，竖直高度 ．内边缘抛物线 是由外边缘抛物线
向左平移得到，外边抛物线 最高点 离喷水口的水平距离为 ，高出喷水口 ，
(1)求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 ；
(2)求内边缘抛物线与 轴的正半轴交点 的坐标；
(3)当 时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由．一、单选题
1．（2022上·吉林长春·九年级长春市第四十五中学校考期末）如图，隧道的截面由抛物线和长方
形 构成．按照图中所示的平面直角坐标系，拋物线可以用 表示．在抛物线
型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为 ．那么两排灯的水平距离是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·安徽芜湖·九年级统考期末）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物
线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称， 轴， ，最低点C在x
轴上，高 ，则右轮廓 所在抛物线的解析式为（ ）A． B． C． D．
3．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立
平面直角坐标系，并标出相关数据（单位： ）．有下列结论：
① ；
②池底所在抛物线的解析式为 ；
③池塘最深处到水面 的距离为 ；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为 ．
其中结论错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题
4．（2023上·辽宁朝阳·九年级校联考期末）如图是抛物线型的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面
宽4米，如果水面宽为 米，则水面下降 米．
5．（2023上·广东东莞·九年级校联考期末）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，
在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱如图所示．现以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为 轴，水管所在直线为 轴，建立直角坐标系，喷出的抛物线水柱对应
的函数解析式是 ，则水管长为 ．
6．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）图1是一座三拱悬索桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，
三条抛物线的形状相同，分别交于桥墩点 ， 处．从桥头点 处的碑文得知桥面 长为270米，
小张从桥头点 出发到桥尾点 的微信步数（步长视为定值）统计如下表：
点
计数位置 点 点 点 点 点
步数/步 0 140 180 360 400 540
根据上述数据信息得小张的步长为 米，中间两桥墩的距离 米．
三、解答题
7．（2023上·广西柳州·九年级统考期末）某网店销售一款市场上畅销的电子产品，每个进价为
元，当这款电子产品按每个 元出售时，一天可售出 个．经过市场调查，发现这款电子产品的
销售单价每降低 元，其日销售量可增加 个．设该电子产品每个降价 元，网店一天可通过该电
子产品获利润 元．
(1)求 与 的函数解析式（不必写出自变量 的取值范围）．
(2)当这款电子产品销售单价为多少元时，该网店每天的销售利润最大?最大利润是多少元？8．（2023上·陕西延安·九年级统考期末）如图，隧道的截面由抛物线 和矩形 构成，矩
形的长 为8m，宽 为2m，以 所在的直线为x轴，线段 的垂直平分线为y轴，建立平
面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．
(1)求抛物线的解析式．
(2)现有一辆货运卡车，高为5.6m，宽为2.8m，它能从正中间通过该隧道吗？
9．（2023下·山东滨州·八年级统考期末）如图，利用一面墙（墙的长度不超过 ），用 长
的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有 宽建造一扇门方便出入（用其他材料）．设
，矩形 的面积为 ．
(1)请写出 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围：
(2)怎样围才能使矩形场地的面积为 ？
(3)能否使所围矩形场地的面积为 ，若能，请算出此时矩形的长与宽，若不能，请说明理由．10．（2023上·广西玉林·九年级统考期末）如图，一位跳水运动员在进行某次 跳台跳水训练时，
测得身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线 （图中标出的数据为已知条
件）．
(1)运动员在空中运动的最大高度离水面为多少m？
(2)如果运动员在距水面高度为 以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会
出现失误．在一次试跳中，运动员在空中调整好入水姿势时，测得距池边的水平距离为 ，问
此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
11．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期末）某超市经销甲、乙两种商品．商品
甲每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满
足如图所示的一次函数关系，商品乙的成本为4元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总
量只有80千克，且能当天销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克
的商品甲，免费送1千克的商品乙．(1)直接写出销售量y与销售单价x之间的函数表达式______；
(2)设这两种商品的每天销售总额为S元，求出S（元）与x（元/千克）的函数关系式：（注：商品
的销售额 销售单价 销售量）
(3)设这两种商品销售总利润为W，若商品甲的售价不低于成本，不超过成本的 ，当销售单价
定为多少时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？
（注：销售总利润 两种商品的销售总额 两种商品的总成本）
12．（2023下·北京海淀·八年级清华附中校考期末）排球场的长度为 ，球网在场地中央且高度
为 ，排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，
排球运动过程中的竖直高度 单位： 与水平距离 单位： 近似满足函数关系
．
(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
水平距离
竖直高度①根据上述数据，求抛物线解析式；
②判断该运动员第一次发球能否过网______ 填“能”或“不能” ．
(2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度 单位： 与水平距离 单位： 近似
满足函数关系 ，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．
