文档内容
清单 01 一元二次方程（13 个考点梳理+题型解读+核心素养提
升+中考聚焦）
【知识导图】
【知识清单】
考点一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的
最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
【例1】．（2022秋•龙凤区校级期末）下列方程中，①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣
3）＝x2﹣3，④ ，⑤ ，一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式】．（2022秋•鄄城县期末）若关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范
围是（ ）
A．m≠1 B．m＝1 C．m≥1 D．m≠0
考点二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种
形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任
意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就
不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
【例2】（2022秋•大连期末）一元二次方程3x2﹣6x＝1化为一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）后，a，b，c
的值分别是（ ）
A．a＝3，b＝6，c＝1 B．a＝3，b＝﹣6，c＝1
C．a＝﹣3，b＝﹣6，c＝1 D．a＝3，b＝﹣6，c＝﹣1
【变式】．（2022秋•新洲区期末）将一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中
二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．9，3 B．9，﹣3 C．﹣9，﹣3 D．﹣9，3
考点三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解
也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x ，x 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0
1 2
（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax 2+bx +c＝0（a≠0），ax 2+bx +c＝0（a≠0）．
1 1 2 2
【例3】（2022秋•长安区期末）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx+9＝0的一个根，则m的值为（）
A．10 B．9 C．﹣6 D．﹣10
【变式】．（2022秋•锡山区校级期末）若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣2x+a2﹣4＝0有一个根是0，
则a的值为 ．
考点四．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝± ；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝± ．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
【例4】．（2022秋•雅安期末）方程（x﹣3）2＝16的根为（ ）
A．x ＝x ＝7 B．x ＝7，x ＝1
1 2 1 2
C．x ＝x ＝﹣1 D．x ＝7，x ＝﹣1
1 2 1 2
【变式】．（2022秋•潼南区期末）对于方程37（x﹣2）2＝42的两根，下列判断正确的是（ ）
A．一根小于1，另一根大于3
B．一根小于﹣2，另一根大于2
C．两根都小于0
D．两根都大于2
考点五．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫
配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方
程无实数解．
【例5】．（2022秋•醴陵市期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，可变形为（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝11【变式】．（2022秋•赫山区期末）用配方法解方程x2+6x﹣1＝0，变形后结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝7
考点六．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝ （b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
【例6】．（2022秋•德化县期末）下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．
∴x＝ ，（第三步）．
∴x ＝ ，x ＝ （第四步）．
1 2
小明是从第 步开始出错．
【变式】．（2022秋•保德县校级期末）解方程：x2﹣3x﹣3＝0．
考点七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两
个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一
元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
【例7】．（2022秋•赣州期末）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）．
考点八．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对
象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而
简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，
从而达到降次的目的．
【例8】．（2022秋•昭阳区校级期末）设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣
1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为 ．
【变式1】．（2022秋•集贤县期末）解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，利用整体思想和换元法可设
x2﹣1＝y，则原方程可化为： ．
【变式2】．（2022秋•信都区校级期末）阅读材料，解答问题：
为解方程x4﹣3x2+2＝0，我们将x2视为一个整体，
解：设x2＝y，则x4＝y2，
原方程可化为y2﹣3y+2＝0，
解得y ＝2，y ＝1，
1 2
当x2＝2时， ，
当x2＝1时，x＝±1，
∴原方程的解为 或x＝±1．
（1）上面的解题方法，利用 法达到了降幂的目的．
（2）依据此方法解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0．
考点九．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
【例9】．（2022秋•锡山区校级期末）一元二次方程x2+（k+1）x+k﹣5＝0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．只有一个实数根
【变式】．（2022秋•南明区期末）若关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+2＝0有两个不相等的实数根，
则m的值可以是 （写出一个值即可）．
考点十．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x ，x 是方程x2+px+q＝0的两根时，x +x ＝﹣p，x x ＝q，反过
1 2 1 2 1 2
来可得p＝﹣（x +x ），q＝x x ，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系
1 2 1 2
数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，
1 2
x +x ＝ ，x x ＝ ，反过来也成立，即 ＝﹣（x +x ）， ＝x x ．
1 2 1 2 1 2 1 2
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未
知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x 2+x 2等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由
1 2
给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还
要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
【例10】．（2022秋•天河区校级期末）若 ， 是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则 2+3 + 的值
为（ ） α β α α β
A．2015 B．2022 C．﹣2015 D．4010
【变式】．（2022秋•平顶山期末）设 ， 是一元二次方程3x2+x﹣2＝0的两个根，则 ＝ ．
考点十一．由实际问题抽象出一元二次α方程β
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
【例11】．（2022秋•开州区期末）李师傅去年开了一家商店，今年 1月份开始盈利，2月份盈利2400元，
4月份盈利达到3456元，若设2月到4月每月盈利的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．2400（1+x）2＝3456 B．2400（1﹣x）2＝3456
C．2400（1+2x）＝3456 D．2400（1﹣2x）＝3456
【变式】．（2022秋•路南区期末）如图，某小区计划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建三
条同样宽的小路，竖直的与AB平行，水平的与AD平行，其余部分种草，已知草坪部分的总面积为
112m2，设小路宽x m，若x满足的方程为（ ）
A．x2﹣17x﹣16＝0 B．x2﹣17x+16＝0
C．x2+17x﹣16＝0 D．x2+17x+16＝0
考点十二．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检
验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次
增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、
梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，
列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角
形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
【例12】．（2022秋•滨城区期末）如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长
35m）（墙长，另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m，设鸡场垂直于墙
的一边为x m，则x的值是（ ）
A．15m B．20m C．20m或15m D．20m或12m
【变式1】．（2022秋•于洪区期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共
握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【变式2】．（2022秋•东丽区期末）用一条长为40cm的绳子围成一个矩形，下列围成的图形面积一定不
可能的是（ ）
A．64 B．96 C．100 D．101
【变式3】．（2022秋•汉阳区校级期末）如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖
两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为 5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相
等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为（ ）
A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m
【变式4】．（2022秋•方城县期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人
可以传染x个人，经过两轮传染后共有169人感染，若不加以控制，第三轮传染后感染人数为（ ）
A．338 B．256 C．2197 D．2028
【变式5】．（2022秋•开江县期末）为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种
子实验．该实验基地两年前有150种种子，经过两年不断地努力，现在已有216种种子．若培育的种子
平均每年的增长率为x，则x的值为 ．
【变式6】．（2022秋•大余县期末）乡村振兴战略是中国经济社会发展方式一次大的转变，目标是按照产业兴旺、生态宜居、乡风文明、治理有效、生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策
体系，加快推进农业农村现代化．小明家在2019年脱贫的时候家庭年总收入为6.25万元，通过两年积
极开展种植产业振兴，2021年家庭年总收入为9万元．试计算小明家2019﹣2021年的年家庭总收入平
均增收率为多少？
【变式7】．（2022秋•蒙自市期末）2022年11月卡塔尔世界杯足球赛期间，在卡塔尔某商店销售一批由
中国制造的足球纪念衫，每件进价30元，规定销售单价不低于30元，且不高于60元．当销售单价定
为60元时，每天可售出80件．当销售单价每降低10元时，每天可多卖20件，现商店决定降价销售，
设每天销售量为y件，销售单价为x元．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每件足球纪念衫销售单价是多少元时，商店每天获利2000元？
【变式8】．（2022秋•肇庆期末）2022年2月4日第24届冬奥会在北京开幕，某礼品销售商以每件8元
的价格购进冬奥会纪念品，以每件10元的价格出售，每天可售出200件．销售商想采用提高售价的办
法来增加利润．经试验，发现这种纪念品每件的售价每提高1元，每天的销售量就会减少10件，销售
这种纪念品每天获得利润为1050元，求售价是多少元．
【变式9】．（2022秋•赫山区期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准
备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC；
（2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．【变式10】．（2022秋•石城县期末）在学校劳动基地里有一块长50米、宽30米的矩形试验田，为了管
理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图．已知这块矩形试验田中种植的面
积为1421平方米，小道的宽为多少米？
【变式11】．（2022秋•官渡区期末）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教
育》成为一门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的
墙（墙的最大可用长度为22米），用长为34米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的
前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米．
（1）BC＝ 米（用含x的代数式表示）；（2）若围成的菜地面积为96平方米，求此时的宽AB．
【变式12】．（2022秋•青云谱区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点
P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，
P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的 ，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
考点十三．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为 1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平
方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
【例13】．（2022秋•开州区期末）定义；如果代数式 （a ≠0，a ，b ，c 是常数）与
1 1 1 1
（a ≠0，a ，b ，c 是常数）满足a +a ＝0，b +b ＝0，c +c ＝0，则称两个代数式为
2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
“相反式”，有下列四个结论：
（1）代数式：x2+3x的“相反式”是x2﹣3x；
（2）若﹣2x2﹣3x﹣18m与2x2+nx﹣2n互为“相反式”，则（mn）2023的值为﹣1；
（3）当x＝2时，代数式 （a ≠0，a ，b ，c 是常数）的值为10，则它的“相反式”
1 1 1 1
的值为﹣10；
（4）无论x取何值，代数式2x2﹣4x+c的值总大于其“相反式”的值，则c的取值范围为c＞2．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【核心素养提升】
1、数学建模--构建一元二次方程解决实际问题
1.（2022秋•陵水县期末）某商场今年1月份的营业额为1250万元，2月份的营业额比1月份增加20%，4月份的营业额达到1815万元．求：
（1）该商场2月份的营业额；
（2）该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率．
2．（2022秋•西安期末）某商场积压了一批商品，现欲尽快清仓，决定降价促销．据调查发现，若每件商
品盈利50元，可售出500件，商品单价每下降1元，则可多售出20件，设每件商品降价x元．
（1）每件商品降价x元后，用含x的代数式表示可售出商品的件数；
（2）若要使销售该商品的总利润达到28000元，求x的值．
2、数学运算
3．（2022秋•嘉鱼县期末）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以把多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式．例如，x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3
＝（x﹣2）2﹣1．
观察上式可以发现，当x﹣2取任意一对互为相反数的值时，多项式x2﹣4x+3的值是相等的．例如，当
x﹣2＝±1，即x＝3或1时，x2﹣4x+3的值均为0；当x﹣2＝±2，即x＝4或0时，x2﹣4x+3的值均为3．
我们给出如下定义：对于关于x的多项式，若当x+m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于
x＝﹣m对称，称x＝﹣m是它的对称轴．
例如，x2﹣4x+3关于x＝2对称，x＝2是它的对称轴．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）多项式x2+2x+1的对称轴是 ；
（2）将多项式x2﹣6x+5变形为（x+m）2+n的形式，并求出它的对称轴；
（3）若关于x的多项式2x2+4ax﹣1关于x＝﹣2对称，求a的值．
3、分类讨论思想
4．（2022秋•平顶山期末）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，AB＝16cm，BC＝8cm，动点P从
点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，到达点B时停止运动；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速
度向点D运动．设运动的时间为t s．
（1）当t＝ s时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形；
（2）当t为何值时，点P和点Q之间的距离为10cm．【中考热点聚焦】
热点 1、一元二次方程的解法
1．（2023•赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝172．（2023•新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
3．（2023•台湾）利用公式解可得一元二次方程式 3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，求a值为何
（ ）
A． B． C． D．
4．（2022•东营）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（ ）
A．x ＝2+2 ，x ＝2﹣2 B．x ＝2+2 ，x ＝2﹣2
1 2 1 2
C．x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2 D．x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2
1 2 1 2
5．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．
6．（2023•齐齐哈尔）解方程：x2﹣3x+2＝0．
7．（2023•广州）解方程：x2﹣6x+5＝0．
热点 2、一元二次方程根的判别式
8．（2023•河南）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根9．（2023•锦州）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k≤ C．k＜ 且k≠0 D．k≤ 且k≠0
10．（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
热点 3、一元二次方程根与系数的关系
11．（2023•泸州）若一个菱形的两条对角线长分别是关于 x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，
且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023•天津）若x ，x 是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
1 2
A．x +x ＝6 B．x +x ＝﹣6 C．x x ＝ D．x x ＝7
1 2 1 2 1 2 1 2
热点 4、一元二次方程的应用
13．（2023•黑龙江）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部
分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（ ）
A．5m B．70m C．5m或70m D．10m
14．（2023•牡丹江）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达
到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 ．
15．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游
客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景
区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？16．（2023•东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊
圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
17．（2023•淮安）
为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），
另外三面用18m的篱笆围成．生态园的面积能否为40m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明
理由．
18．（2023•大连）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知 2020年
该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020﹣2022年买书
资金的平均增长率．
