文档内容
专题 07 有理数难点题型总复习
1. 利用数轴比较有理数的大小
例．（2022·湖南长沙·七年级期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则 与b的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能判断
【答案】A
【解析】
【分析】
首先结合数轴比较a和b的大小，进而判断-a与b的大小关系．
【详解】
解析：由图可知， ， ，且 ，所以， ，所以， ．故选：A．
【点睛】
此题考查了数的大小比较方法，即数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；较大的数减去较小
的数，则差大于0，较小的数减去较大的数，则差小于0．
变式1．（2022·天津·七年级期末）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系正确的是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
通过识图可得a＜0＜b，|a|＞|b|，从而作出判断．
【详解】
解：由题意可得：a＜0＜b，|a|＞|b|，A、 ，错误，此选项不符合题意；
B、 ，正确，故此选项符合题意；
C、 ，错误，故此选项不符合题意；
D、 ，错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了数轴上的点，理解数轴上点的特点，准确识图是解题关键．
变式2．（2020·山西省运城市实验中学七年级期中）如图，数轴上的两个点 、 所表示的数分别为 、
，那么 ， ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相反数的意义，把-a、-b先表示在数轴上，然后再比较它们的大小关系．
【详解】
解：根据相反数的意义，把-a、-b表示在数轴上
所以a＜-b＜b＜-a．
故选：A．
【点睛】
本题考查了数轴和有理数的大小比较，把-a、-b表示在数轴上，利用数形结合是解决本题比较简单的方法．
2. 数轴上两点之间的距离
例．（2022·上海市七宝中学七年级期中）如图，数轴上表示1， 的对应点分别为点A，B，点B关于点
A对称后的点为C，则点C所表示的数是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据表示1、 的对应点分别为点A、点B可以求出线段AB的长度，然后根据点B和点C关于点A
对称，求出AC的长度，最后可以计算出点C的坐标．
【详解】
解：∵表示1、 的对应点分别为点A、点B，
∴ ，
∵点B关于点A的对称点为点C，
∴CA＝AB，
∴设点C所表示的数为 ，则 ，解得 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的
数，就用较大的数减去两点间的距离．
变式1．（2021·江苏·常州实验初中七年级期中）如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点
处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向
环绕在该正方形上，则数轴上表示2017的点与正方形上的数字对应的是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】【分析】
表示2017的点在﹣1的右侧，从点﹣1到2017共2018个单位长度，根据2018÷8＝252……2，是252圈余
2个单位长度，所以对应的数字就是2．
【详解】
解：因为正方形的周长为8个单位长度，
所以正方形的边长为2个单位长度．
表示2017的点与表示﹣1的点的距离等于2017﹣（﹣1）＝2018个单位长度，
因为2018÷8＝252……2，
所以252圈余2个单位长度，
所以对应的数字是2．
故选：B．
【点睛】
此题考查了数轴，解题的关键是找出正方形的周长与数轴上的数字的对应关系．
变式2．（2019·广东·广州市第二中学七年级阶段练习）如图：A、B两点在数轴上表示的数分别为a，b，
则A，B两点间的距离不正确的是（ ）
A．﹣b+a B．|a﹣b| C．b﹣a D．|a|+|b|
【答案】A
【解析】
【分析】
根据A、B两点在数轴上的位置进行计算．
【详解】
解：A，B两点间的距离＝b﹣a，
A、由题意知，﹣b+a＜0，故本选项符合题意；
B、由题意知，|a﹣b|＝b﹣a，故本选项不符合题意；
C、由题意知，b﹣a，故本选项不符合题意；
D、由题意知，|a|+|b|＝﹣a+b，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离，能够正确理解A、B两点间的距离的几何意义是解题的关键．3. 化简绝对值
例．（2022·广西·德保县教研室七年级期中）已知实数 在数轴上的位置如图所示，则化简
的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数轴，判断m是负数，且|m|＜1，从而判定m-1＜0，m+2＞0，化简即可．
【详解】
∵ ，
∴m＜0，且|m|＜1，
∴m-1＜0，m+2＞0，
∴ ，
故选A．
【点睛】
本题考查了数轴的意义，绝对值的化简，正确获取数轴信息，熟练化简绝对值是解题的关键．
变式1．（2021·全国·七年级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则 + － =
（ ）
A．－2b B．0 C．2 D．2c－2b
【答案】B
【解析】
【分析】
先由数轴确定a、b、c的符号，进而确定每个绝对值里面的代数式的符号，然后根据绝对值的性质化简绝
对值，再进行整式的加减运算即得答案．【详解】
解：由图示得：a<0，b<0，c>0， ，则a+c<0，c-b>0，b+a<0，
所以
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值的化简和整式的加减运算，解题的关键是根据加减法则确定代数式的符号并正确的进行
绝对值的化简．
变式2．（2022·湖南长沙·七年级期末）有理数a、b、c在数轴上位置如图，则 的值为
（ ）．
A． B． C．0 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数轴，确定每个数的属性，每个代数式的属性，后化简即可．
【详解】
根据数轴上点的位置得： ，且 ，
则 ， ， ，
则 ．
故选A．
【点睛】
本题考查了数轴和有理数的大小比较与绝对值的化简，掌握获取数轴信息，熟练化简是解题的关键．
4. 绝对值非负性的应用
例．（2022·安徽·合肥市第四十二中学七年级期末）若 ，则 值为（ ）A． B． C．-8 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据实数的非负性，得a=-2，b=3，代入幂计算即可．
【详解】
∵ ，
∴a=-2，b=3，
∴ = = -8，
故选C．
【点睛】
本题考查了实数的非负性，幂的计算，熟练掌握实数的非负性是解题的关键．
变式1．（2021·北京市第六十六中学七年级期中）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据绝对值与平方的非负性分别求解未知数，再代入计算即可．
【详解】
解：由非负性可知：∣x− ∣=0，（y+2）2 =0，
解得：x= ，y=−2，
∴(xy)2021=[ ×（-2）]2021=（-1）2021=－1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值与平方的非负性，理解基本性质并准确列式求解未知数是解题关键．
变式2．（2022·广东东莞·七年级期末）如果 那么 的值是（ ）A． B．2021 C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据非负数的性质求出a、b的值，然后再代值求解．
【详解】
解：由题意，得：a+2=0，b-1=0，
即a=-2，b=1；
所以（a+b）2021=（-1）2021=-1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质，当它们相加和为0时，必须满足其中的每一
项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
5. 乘方的应用
例．（2022·河北保定·七年级期中）若 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A．-1 B． C．9 D．-9
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据a2＝16，b2＝25，可得：a＝±4，b＝±5，然后根据ab＜0，可得：a＝4，b＝−5或a＝−4，b＝
5，据此求出a−b的值为多少即可．
【详解】
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 与 异号，
当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
故选C．【点睛】
此题主要考查了有理数的乘方和乘法的运算方法，以及有理数的减法的运算方法，要熟练掌握，解答此题
的关键是求出a、b的值各是多少．
变式1．（2022·贵州铜仁·七年级期末）比较－ ， ， 的大小，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据乘方运算，求得每个式子的值，再根据有理数大小比较方法，求解即可．
【详解】
解： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C
【点睛】
此题考查了有理数乘方运算以及大小比较，掌握有理数大小比较规则是解题的关键，正数大于零；负数小
于零；两个负数比较大小绝对值大的反而小．
变式2．（2022·广东佛山·七年级开学考试）计算 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】
【分析】
根据有理数的乘法是求几个相同加数和的简便计算，有理数的乘方是求几个相同因数乘积的运算，即可求
解．
【详解】
解：∵m个2相加，
∴
∵n个3相乘，
∴
∴ =2m+3n
故选：D．
【点睛】
本题考查有理数的乘法及乘方的意义，做题的关键是弄清乘法及乘方的区别．
