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专题07 算术平方根的非负性
【例题讲解】
例1.已知a、b、c满足 ，则 的平方根为_________．
【详解】解：由题意得， 且 ，∴ 且 ，∴ ，
∴ ，
由非负数的性质，得 ，即 ，解得 ，
，∴ 的平方根是 ．故答案为：
例2.若 ，求 的平方根．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ 的平方根是 ．
【综合解答】
1．设 均为实数，且 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义得出A是一个非负数，且m-3≥0，推出3-m≤0，得出B≤0，即可得出答案，
【详解】
解：∵
∴A是一个非负数，且m-3≥0，
∴m≥3，
∵ ，∵3-m≤0，
即B≤0，
∴A≥B，
故选：D．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，平方根和立方根，实数的大小比较等知识点，题目比较好，但有
一定的难度．
2．若 ，则 的平方根是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据算术平方根以及完全平方式的非负性得出 的值，然后求出 的值，最后求出平方根
即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的平方根是 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了算术平方根以及完全平方式的非负性、平方根，解题的关键是掌握非负数的性质：有
限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
3．若 ，则 ______________．
【答案】－1
【解析】
【分析】由平方与算术平方根的非负性解得x=-3，y=2，再代入计算即可．
【详解】
解：由题意得，
故答案为：－1．
【点睛】
本题考查平方与算术平方根的非负性、有理数的乘方等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题
关键．
4．若a表示任意实数，则 ＝__．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用算术平方根的非负性，计算求值即可；
【详解】
解：∵ ≥0， ，
∴a＝0，
∴原式＝ ，
＝0+2，
＝2，
故答案为：2；
【点睛】
此题主要考查了算术平方根：如果一个非负数b的平方等于a，那么b叫做a的算术平方根；非负
数a的算术平方根记作 ，其中a叫做被开方数．
5．若 ，则xy=_________．
【答案】【解析】
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值进而得出答案．
【详解】
解：∵ ， 都有意义，
∴2﹣x≥0，且x﹣2≥0，
解得：x＝2，
∴y＝-3，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件和负指数幂法则，正确得出x的值是解题关键．
6．已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|1﹣a|+ 的结果为_____．
【答案】1-2a
【解析】
【详解】
由图可知： ，
∴ ，
∴ .
故答案为 .
7．当x=______时，式子 有最大值．
【答案】2017
【解析】
【分析】
根据算术平方根的非负性得到 ，然后求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴当 的值最小时，式子 的值最大，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时式子 有最大值．
故答案为：2017．
【点睛】
此题考查了算术平方根的非负性，当被减数为固定值时，要使差最大，则需使减数的值最小，解
题的关键是熟练掌握算术平方根的非负性．
8．已知a，b，c满足 ．求a、b、c的值
【答案】 ， ，
【解析】
【分析】
利用绝对值非负性，算术平方根非负性，平方非负性可求得结果．
【详解】
解：∵ ， ， 且 ，
∴ ， ， ，
即： ， ， ，
解得： ， ， ．
【点睛】
本题主要考查的是非负性求值的应用，此类型题较为固定，同时也是常考点，掌握其解题步骤是
解题关键．
9．已知 ，求(x+y)2022的值
【答案】1【解析】
【分析】
根据二次根式的性质得到 ，计算出 ，从而计算出最终的答案．
【详解】
∵
∴
得
∴
∴
∴
∴ ．
【点睛】
本题考查二次根式、幂运算的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式、幂运算的相关知识．
10．已知实数a、b、c满足
(1)求证： ；
(2)求 的平方根．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
根据算术平方根的非负性，即可得证；
（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得 的值，进而求得 的平方根．
(1)
证明：∵ ， ，
；(2)
解： ， ，
，
，
，
，
的平方根是 ．
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为0，掌握非负数的性质以及算术平方根的非负性是
解题的关键．
11．求代数式 的最小值，并求出此时 的值.
【答案】
【解析】
【分析】
根据非负数的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵
∴
∴ 的最小值是5.
此时 ，即 .
【点睛】
此题考查算术平方根和非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质．
12．若a，b为实数，且 ，求 的值．
【答案】-3
【解析】
【分析】
根据二次根式的被开方数为非负数，得到相应的关系式求出a、b的值，然后代入求解.【详解】
因为a，b为实数，且a2－1≥0，1－a2≥0，所以a2－1＝1－a2＝0．
所以a＝±1．又因为a＋1≠0，所以a＝1．代入原式，得b＝ ．
所以 ＝－3．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质和意义，关键是利用被开方数为非负数的性质求出a、b的值.
13．已知数 满足 ，求 ．
【答案】2017.
【解析】
【详解】
试题分析：
由二次根式的意义可得 ，即 ，由此可得 ，从而原等式化为：
，由此可得 ，即 ；
试题解析：
由二次根式的意义可得 ，即 ，
∴ ，
∴原等式可化为： ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
14．已知a,b为实数，且 ，求a2005-b2006的值.
【答案】-2
【解析】
【详解】
试题分析：根据被开方数大于等于0，求出b的取值范围，再根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
试题解析：解：由题意得：1﹣b≥0，∴b≤1，∴原式可化为 ，由非负数的性质
得：1+a=0，1﹣b=0，解得a=﹣1，b=1，∴a2005﹣b2006=（﹣1）2005﹣12006=﹣1﹣1=﹣2．
15．已知实数，b，c满足 ，求 的值．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式的非负性求得 的值，然后根据非负数的性质求得 的值，最后代入代数式求解即
可.
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
，
，
，
.
【点睛】
本题考查了二次根式的非负性，非负数的性质，掌握二次根式的非负性是解题的关键．
